Bình giảng đoạn văn sau trong Người lái đò Sông Đà: "Thuyền tôi trôi trên sông Đà... mình dây cổ điển trên dòng trên"

Xét hai phương trình bậc nhất hai ẩn \(2x+y=3\) và \(x-2y=4\).

Kiểm tra rằng cặp số \((x; y) = (2; -1)\) vừa là nghiệm của phương trình thứ nhất, vừa là nghiệm của phương trình thứ hai.

Tìm từ thích hợp để điền vào chỗ trống (…) trong câu sau:

Nếu điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(ax + by = c\) thì tọa độ \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) của điểm \(M\) là một … của phương trình \(ax + by = c.\)

Ví dụ 3: Xét hệ phương trình  \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 3\\ - 2x + y =  - 3\end{array} \right.\) 

Hệ phương trình trong ví dụ 3 có bao nhiêu nghiệm ? Vì sao ?

Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao:

a) \(\left\{\begin{matrix} y = 3 - 2x & & \\ y = 3x - 1 & & \end{matrix}\right.\);                     

b) \(\left\{\begin{matrix} y = -\dfrac{1}{2}x+ 3 & & \\ y = -\dfrac{1}{2}x + 1 & & \end{matrix}\right.\);

c) \(\left\{\begin{matrix} 2y = -3x & & \\ 3y = 2x & & \end{matrix}\right.\);                           

d) \(\left\{\begin{matrix} 3x - y = 3 & & \\ x - \dfrac{1}{3}y = 1 & & \end{matrix}\right.\)

Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình sau bằng hình học:

a) \( \left\{ \matrix{2{\rm{x}} - y = 1 \hfill \cr x - 2y = - 1 \hfill \cr} \right. \);           b) \( \left\{ \matrix{2{\rm{x + }}y = 4 \hfill \cr - x + y = 1 \hfill \cr} \right. \)

Đố: Bạn Nga nhận xét: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương với nhau. Bạn Phương khẳng định: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có vô số nghiệm thì cũng luôn tương đương với nhau.

Theo em, các ý kiến đó đúng hay sai ? Vì sao ? (có thể cho một ví dụ hoặc minh họa bằng đồ thị).

Cho hai phương trình \(2x + y = 4\) và \(3x + 2y = 5\).

a) Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên.

b) Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong mỗi một hệ trục tọa độ, rồi xác định nghiệm chung của chúng.

Cho các hệ phương trình sau:

\(a)\left\{ \matrix{
x = 2 \hfill \cr 
2x - y = 3 \hfill \cr} \right.\)

\(b)\left\{ \matrix{
x + 3y = 2 \hfill \cr 
2y = 4 \hfill \cr} \right.\)

Trước hết, hãy đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình trên (giải thích rõ lí do). Sau đó, tìm tập nghiệm của các hệ đã cho bằng cách vẽ hình.

Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao:

a) \(\left\{\begin{matrix} x + y = 2 & & \\ 3x + 3y = 2 & & \end{matrix}\right.\);                 

b) \(\left\{\begin{matrix} 3x -2 y = 1 & & \\ -6x + 4y = 0 & & \end{matrix}\right.\)

Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao:

a) \(\left\{\begin{matrix} 4x - 4y = 2 & & \\ -2x + 2y = -1 & & \end{matrix}\right.\);                                  

b) \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{3}x - y = \dfrac{2}{3} & & \\ x -3y = 2 & & \end{matrix}\right.\).

Nếu tìm thấy hai nghiệm phân biệt của một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (nghĩa là hai nghiệm được biểu diễn bởi hai điểm phân biệt) thì ta có thể nói gì về số nghiệm của hệ phương trình đó ? Vì sao ?

Bài 1: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất : 

\(\left\{ \matrix{ 3x{\rm{ }} - {\rm{ }}2y{\rm{ }} = {\rm{ }}6 \hfill \cr mx{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}3 \hfill \cr} \right.\)

Bài 2: Cho hệ phương trình : 

\(\left\{ \matrix{ 3x + y = 5 \hfill \cr 5x - y = 11 \hfill \cr} \right.\)

a) Minh họa hình học tập nghiệm của mỗi phương trình trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Xác định nghiệm của hệ.

Bài 1: Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm :

\(\left\{ \begin{array}{l}4x - y = 3\\mx + 3y = 5\end{array} \right.\)

Bài 2: Tìm m và n để hệ phương trình :

\(\left\{ \begin{array}{l}mx - y = 5\\nx + my = 4\end{array} \right.\)

có một nghiệm là ( 2; − 1).

Bài 3: Hai hệ phương trình sau có tương đương không ?

(A)\(\left\{ \matrix{  x - y = 1 \hfill \cr  2x - 2y = 2 \hfill \cr}  \right.\)  và (B) \(\left\{ \matrix{  2x - y = 1 \hfill \cr  4x - 2y = 2. \hfill \cr}  \right.\)

Bài 1: Cho phương trình \(3x – y = 5.\) Hãy cho thêm một phương trình để được một hệ có nghiệm duy nhất.

Bài  2: Hai hệ phương trình sau có tương đương không ?

\((A)\,\,\,\left\{ \matrix{  x + y = 2 \hfill \cr  2x + 2y = 1 \hfill \cr}  \right.\)         

và (B)\(\left\{ \matrix{  x - y = 1 \hfill \cr  x - y = 2. \hfill \cr}  \right.\)

Bài 3: Tìm m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm : \(\left\{ \matrix{  4x - y = 3 \hfill \cr  mx + y =  - 3. \hfill \cr}  \right.\)

Bài 1: Tìm m, n để cặp số \((2; − 1)\) là nghiệm của hệ : \(\left\{ \matrix{  mx + 4y = 2 \hfill \cr  mx + ny = 5. \hfill \cr}  \right.\)

Bài 2: Tìm m để hệ sau vô nghiệm : \(\left\{ \matrix{  mx + 3y = 5 \hfill \cr  4x - y = 3. \hfill \cr}  \right.\)

Bài 3: Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình sau và tìm nghiệm của hệ  \(\left\{ \matrix{  x - y = 3 \hfill \cr  x + y = 1. \hfill \cr}  \right.\)

Bài 1: Tìm a, b để hệ : \(\left\{ \matrix{  ax + y = 1 \hfill \cr  bx + ay =  - 5 \hfill \cr}  \right.\) có nghiệm \(( 1; − 1).\)

Bài 2: Đoán nhận số nghiêm của phương trình sau, giải trình vì sao ?

\(\left\{ \matrix{  2x - 2y = 4 \hfill \cr   - x + y =  - {1 \over 2} \hfill \cr}  \right.\)

Bài 3: Tìm a, b, c biết rằng hệ phương trình : \(\left\{ \matrix{  ax - 2y = 4 \hfill \cr  bx + y = c \hfill \cr}  \right.\) có hai nghiệm \(( 4; 0)\) và \((− 2; − 3).\)