Trường hợp BC là đường kính thì H trùng A, do đó H nằm trên đường tròn cố định (O ; R) Xét trường hợp BC không là đường kính.
Giả sử đường thẳng AH cắt đường tròn (O ; R)
tại H’.Như vậy với mỗi điểm A ∈ (O ; R), khác
với B và C thì ta xác định điểm H’ ∈ (O ; R).
Gọi AA’ là đường kính của đường tròn (O ; R)
thì A’B // CH (vì cùng vuông góc với AB) và
A’C // BH (vì cùng vuông góc với AC) nên
A’BHC là hình bình hành. Vậy BC đi qua
trung điểm của HA’
Mặt khác BC // A’H’ (vì cùng vuông góc với AH) nên BC cũng đi qua trung điểm của HH’, do đó H và H’ đối xứng với nhau qua BC
Nếu gọi Đ là phép đối xứng có trục là đường thẳng BC thì Đ biến H’ thành H. Nhưng H’ luôn luôn nằm trên (O ; R) nên H nằm trên đường tròn cố định là ảnh của đường tròn (O ; R) qua phép đối xứng trục Đ
Cách khác: Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua BC. Chứng minh tứ giác ABH’C nội tiếp, từ đó suy ra H’ nằm trên (O ; R)
