a. Với n = 1 ta có \({u_1} = 3 = {{{2^3} + 1} \over 3}\)
(1) đúng với n = 1
Giả sử (1) đúng với n = k tức là ta có : \({u_k} = {{{2^{2k + 1}} + 1} \over 3}\)
Với n = k + 1 ta có :
\(\eqalign{ & {u_{k + 1}} = 4{u_k} - 1 = 4.{{{2^{2k + 1}} + 1} \over 3} - 1 = {{4\left( {{2^{2k + 1}} + 1} \right) - 3} \over 3} \cr & = {{{2^{2k + 3}} + 1} \over 3} = {{{2^{2\left( {k + 1} \right)+1}} + 1} \over 3} \cr} \)
Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với ∀ n ≥ 1
b. Ta có:
\(\eqalign{ & {u_{n + 1}} - {u_n} = {{{2^{2n + 3}} + 1} \over 3} - {{{2^{2n + 1}} + 1} \over 3} = {{{2^{2n + 1}}\left( {{2^2} - 1} \right)} \over 3} \cr & = {2^{2n + 1}} > 0 \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \cr} \)
⇒ (un) là dãy số tăng.
