Theo giả thiết ta có :
\({p_n} = 4{u_n}\text{ và }{S_n} = u_n^2\) với mọi \(n \in N^*\)
a. Gọi d là công sai của cấp số cộng (un) , d ≠ 0. Khi đó với mọi \(n \in N^*\), ta có :
\({p_{n + 1}} - {p_n} = 4\left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right) = 4d\) (không đổi)
Vậy (pn) là cấp số cộng.
\({S_{n + 1}} - {S_n} = \left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right)\left( {{u_{n + 1}} + {u_n}} \right) = d\left( {{u_{n + 1}} + {u_n}} \right)\) không là hằng số (do d ≠ 0)
Vậy (Sn) không là cấp số cộng.
b. Gọi q là công bội của cấp số nhân (un), q > 0. Khi đó với mọi \(n \in N^*\), ta có :
\({{{p_{n + 1}}} \over {{p_n}}} = {{4{u_{n + 1}}} \over {4{u_n}}} = q\) (không đổi)
\({{{S_{n + 1}}} \over {{S_n}}} = {{u_{n + 1}^2} \over {u_n^2}} = {q^2}\) (không đổi)
Từ đó suy ra các dãy số (pn) và (Sn) là cấp số nhân.
