Câu 54 trang 176 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho hàm số

\(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{1 \over x}\, \text{ với } \,x \ne 0} \cr { - 1\,  \text{ với } \,x = 0} \cr} } \right.\)

a. Chứng tỏ rằng \(f(-1)f(2) < 0\)

b. Chứng tỏ rằng phương trình \(f(x) = 0\) không có nghiệm thuộc khoảng (-1 ; 2)

c. Điều khẳng định trong b có mâu thuẫn với định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục hay không ?

a. Ta có:

\(\eqalign{
& f\left( { - 1} \right) = - 1 \cr
& f\left( 2 \right) = {1 \over 2} \cr
& \Rightarrow f\left( { - 1} \right).f\left( 2 \right) < 0 \cr} \)

b. \(f(x) ≠ 0\) với mọi \(x\ne 0\)

    \(f(0)=-1\ne0\)

Do đó \(f(x)\ne 0\) với mọi \(x \in\mathbb R\) nên phương trình \(f(x) = 0\) không có nghiệm.

c. Điều khẳng định trong b không mâu thuẫn với định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục vì  hàm số f gián đoạn tại điểm \(x = 0 \in [-1 ; 2]\)