a. Kẻ đường cao CH của tam giác vuông ABC thì CH ⊥ AB’ (định lí ba đường vuông góc).
Trong mp(ABB’A’) kẻ đường thẳng Ht vuông góc với AB’. Khi đó (P) chính là mp(CHt).
Chú ý rằng do ABB’A’ là hình vuông nên AB’ ⊥ A’B. Vậy Ht // A’B, từ đó Ht cắt AA’ tại điểm K thuộc đoạn AA’.
Như vậy, thiết diện của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ khi cắt bởi mp(P) là tam giác CHK.
Do CH ⊥ AB, mp(ABB’A’) ⊥ mp(ABC) nên CH ⊥ (ABB’A’), từ đó tam giác CHK vuông tại H.
b.
\(\eqalign{ & {S_{CHK}} = {1 \over 2}CH.HK \cr & CH.AB = CA.CB \Rightarrow CH = {{ab} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \cr & AH.AB = {a^2} \Rightarrow AH = {{{a^2}} \over {AB}} \cr & {{HK} \over {A'B}} = {{AH} \over {AB}}\cr& \Rightarrow HK = A'B.{{{a^2}} \over {A{B^2}}} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {{\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt 2 {a^2}} \over {{a^2} + {b^2}}} = {{{a^2}\sqrt 2 } \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \cr} \)
Từ đó \({S_{CHK}} = {1 \over 2}{{ab} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.{{{a^2}\sqrt 2 } \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Tức là \({S_{CHK}} = {{{a^3}b\sqrt 2 } \over {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}\)
