Ta có: \(A{C^2} = 3{a^2},AB{'^2} = 2{a^2},AC{'^2} = 3{a^2} + {m^2},\)
\(B'C{'^2} = 4{a^2} + {\left( {m - a} \right)^2}\)
a. Tam giác AB’C’ vuông ở A khi và chỉ khi :
\(5{a^2} + {m^2} - 2ma = 2{a^2} + 3{a^2} + {m^2}\)
Vậy tam giác AB’C’ vuông ở A khi và chỉ khi m = 0
Vậy tam giác AB’C’ vuông ở C’ khi và chỉ khi :\(2{a^2} = 3{a^2} + {m^2} + 4{a^2} + {\left( {m - a} \right)^2}.\) Điều này không xảy ra.
Tam giác AB’C’ vuông ở B’ khi và chỉ khi :
\(2{a^2} + 4{a^2} + {\left( {m - a} \right)^2} = 3{a^2} + {m^2} \Leftrightarrow m = 2a\)
Vậy tam giác AB’C’ vuông ở B’ khi và chỉ khi m = 2a
b. Giả sử tam giác AB’C’ vuông ở B’, tức là m = 2a
Vì AH ⊥ BC nên BH.BC = AB2 = \({a^2} \Rightarrow BH = {a \over 2}\)
Từ đó \(HC = {{3a} \over 2}\) và \(B'{H^2} = {a^2} + {{{a^2}} \over 4} = {{5{a^2}} \over 4}\)
\(C'{H^2} = {{9{a^2}} \over 4} + 4{a^2} = {{25{a^2}} \over 4};B'C{'^2} = 5{a^2}\)
Như vậy : \(B'{H^2} + B'C{'^2} = C'{H^2}\), tức là tam giác B’C’H vuông tại B’
Tính góc giữa mp(ABC) và mp(AB’C’) khi m = 2a.
Gọi I là giao điểm của B’C’ và BC. Do BB’ // CC’ , BB’ = a, CC’ = 2a nên BC = BI, B’C’ = B’I.
Xét phép chiếu lên mp(ABC). Ta có tam giác AIC là hình chiếu của tam giác AIC’. Gọi φ là góc giữa mp(ABC) và mp(AB’C’) thì \({S_{AIC}} = {S_{AIC'}}\cos \varphi \)
Ta có: \({S_{AIC}} = 2{S_{ABC}} = {a^2}\sqrt 3 \)
Mặt khác : \({S_{AIC'}} = {1 \over 2}IC'.AB' = {1 \over 2}.2a\sqrt 5 .a\sqrt 2 = {a^2}\sqrt {10} \)
Từ đó : \(\cos \varphi = {{{a^2}\sqrt 3 } \over {{a^2}\sqrt {10} }} = {{\sqrt {30} } \over {10}}\)
Vậy góc giữa mp(ABC) và mp(AB’C’) là φ được tính bởi \(\cos \varphi = {{\sqrt {30} } \over {10}},0^\circ < \varphi < 90^\circ \)
