Câu 9 trang 135 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Bài 9. Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số :

a. \(0,444…\)

b. \(0,2121…\)

c. \(0,32111…\)

a. Ta có:

\(\eqalign{
& 0,444... = 0,4 + 0,04 + 0,004 + ... \cr
& = {4 \over {10}} + {4 \over {{{10}^2}}} + {4 \over {{{10}^3}}} + ... \cr
& = 4\left( {{1 \over {10}} + {1 \over {{{10}^2}}} + ...} \right) \cr
& = 4.{{{1 \over {10}}} \over {1 - {1 \over {10}}}} = {4 \over 9} \cr} \)

b.

\(\eqalign{
& 0,2121... = 0,21 + 0,0021 + ... \cr
& = {{21} \over {{{10}^2}}} + {{21} \over {{{10}^4}}} + ... = 21\left( {{1 \over {{{10}^2}}} + {1 \over {{{10}^4}}} + ...} \right) \cr
& = 21.{{{1 \over {{{10}^2}}}} \over {1 - {1 \over {{{10}^2}}}}} = {{21} \over {99}} = {7 \over {33}} \cr} \) .

c.

\(\eqalign{
& 0,32111... = {{32} \over {100}} + {1 \over {1000}} + {1 \over {1000}}.\left( {{1 \over {10}}} \right) + {1 \over {1000}}.{\left( {{1 \over {10}}} \right)^2} + ... \cr
& = {{32} \over {100}} + {1 \over {1000}}.{1 \over {1 - {1 \over {10}}}} = {{32} \over {100}} + {1 \over {900}} = {{289} \over {900}} \cr} \)