Câu hỏi 3 trang 106 SGK Giải tích 12

Hãy chứng minh các tính chất 1 và 2.

Tính chất 1:

+) Nếu \(k = 0\) thì tính chất đúng.

+) Nếu \(k \ne 0\) thì \(\int {kf\left( x \right)dx}  = k\int {f\left( x \right)dx}  = F\left( x \right)\) \( \Rightarrow \int {f\left( x \right)dx}  = \dfrac{{F\left( x \right)}}{k}\)

Do đó \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx}  = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\) và \(k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = k.\left. {\dfrac{{F\left( x \right)}}{k}} \right|_a^b\) \( = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)

Từ đó suy ra \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx}  = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).

Tính chất 2:

Giả sử \(F\left( x \right),G\left( x \right)\) lần lượt là các nguyên hàm của hai hàm số \(f\left( x \right),g\left( x \right)\).

Ta có: \(\int {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx}  = \int {f\left( x \right)dx}  \pm \int {g\left( x \right)dx} \) \( = F\left( x \right) \pm G\left( x \right)\)

Khi đó \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx}  = \left. {\left[ {F\left( x \right) \pm G\left( x \right)} \right]} \right|_a^b\) \( = \left[ {F\left( b \right) \pm G\left( b \right)} \right] - \left[ {F\left( a \right) \pm G\left( a \right)} \right]\) \( = \left[ {F\left( b \right) - F\left( a \right)} \right] \pm \left[ {G\left( b \right) - G\left( a \right)} \right]\).

Lại có \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \pm \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \) \( = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b \pm \left. {G\left( x \right)} \right|_a^b\) \( = \left[ {F\left( b \right) - F\left( a \right)} \right] \pm \left[ {G\left( b \right) - G\left( a \right)} \right]\).

Từ đó ta có điều phải chứng minh.