Câu hỏi và bài tập

a) Chứng minh rằng hàm số f(x) = ex – x – 1 đồng biến trên nửa khoảng \([0; +∞)\)

b) Từ đó suy ra: ex > x + 1 với mọi x > 0.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x – 10

b) Chứng minh rằng phương trình 2x3 – 3x2 – 12x – 10 = 0 có nghiệm thực duy nhất.

c) Gọi nghiệm thực duy nhất của hàm số là \(α\).

Chứng minh rằng \(3,5 < α < 3,6\).

Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = ln x và (D) là một tiếp tuyến bất kỳ của (C).

Chứng mình rằng trên khoảng (0, +∞); (C) nằm ở phía dưới đường thẳng (D).

Một xưởng in có 8 máy in, mỗi máy in được 3600 bản in trong một giờ. Chi phí để vận hành một máy trong mỗi lầm in là 50 nghìn đồng. Chi phí để n máy chạy trong một giờ là 10(6n + 10) nghìn đồng.

Hỏi nếu in 50000 tờ quảng cáo thì phải sử dụng bao nhiêu máy để được lãi nhiều nhất?

a) Cho \(P(x) = {{{4^x}} \over {{4^x} + 2}}\) và hai số a, b thỏa mãn a + b = 1

Hãy tính P(a) + P(b)

b) Hãy so sánh \(A = \root 3 \of {18} \) và \(B = {({1 \over 6})^{\log _62 - {1 \over 2}\log _{\sqrt 6 }5}}\)

a) Chứng minh rằng nếu a và b là hai số dương thỏa mãn a2 + b2 = 7ab thì          

\({\log _7}{{a + b} \over 3} = {1 \over 2}(log_7a + \log _7b)\)

b) Biết a và b là hai số dương, a ≠ 1 sao cho \(\log _ab = \sqrt 3 \)

Hãy tính \({\log _{a\sqrt b }}{{\root 3 \of a } \over {\sqrt {{b^3}} }}\)

a) Tính đạo hàm của hàm số y = cosx.e^2tanx và y = log₂(sinx)

b) Chứng minh rằng hàm số y = e^4x + 2e^-x thỏa mãn hệ thức y’’' – 13y’ – 12y = 0

a) Vẽ đồ thị của các hàm số y = 2^x; \(y = {(\sqrt 2 )^x}\) và \(y = {(\sqrt 3 )^x}\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ,

Hãy nêu nhận xét về trị trí tương đối của ba đồ thị hàm số đó.

b) Vẽ đồ thị hàm số y = log₃x.

Từ đó suy ra đồ thị của hàm số y = 2 + log₃x và đồ thị của hàm số y = log₃(x + 2)

Giải các phương trình và hệ phương trình sau

a) \({81^{{{\sin }^2}x}} + {81^{{{\cos }^2}x}} = 30\)

b) \({\log _3}(\log _{{1 \over 2}}^2x - 3{\log _{{1 \over 2}}}x + 5) = 2\)

c) \({4^{{{\log }_x} + 1}} - {6^{{{\log }x}}} - {2.3^{\log {x^2} + 2}} = 0\)

d)

\(\left\{ \matrix{ {2^x}{8^{ - y}} = 2\sqrt 2 \hfill \cr {\log _9}{1 \over x} + {1 \over 2} = {1 \over 2}{\log _3}(9y) \hfill \cr} \right.\)

Tìm tập xác định của các hàm số sau

a) y = log[1 – log(x2 – 5x + 16)]

b) \(y = \sqrt {{{\log }_{0,5}}( - {x^2} + x + 6)}  + {1 \over {{x^2} + 2x}}\)

Tìm nguyên hàm của mỗi hàm số sau

a) y = x³ (1 + x⁴)³

b) y = cosx sin2x

c) \(y = {x \over {{{\cos }^2}x}}\)

Tính các tính phân sau

a) \(\int\limits_0^1 {{{dx} \over {{x^2} + 1}}} \)

b) \(\int\limits_0^1 {{{dx} \over {{x^2} + x + 1}}} \)

c) \(\int\limits_0^1 {{x^2}{e^x}dx} \)

Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường

a) y + x² = 0 và y + 3x² = 2

b) y² – 4x = 4 và 4x – y = 16

a) Cho hình thang cong A giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e^x, trục hoành và các đường thẳng x = 0 và x = 1.

Tính thể tích của khối tròn xoay tạo được khi quay A quanh trục hoành.

b) Cho hình phẳng B giới hạn bởi parabol y = x² + 1 và đường thẳng y = 2.

Tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay B quanh trục tung.

Cho các số phức z₁ = 1 + i; z₂ = 1 – 2i

Hãy tính và biểu diễn hình học các số phức:

\(z_1^2;\,\,\,{z_1}{z_2};\,\,\,2{z_1} - {z_2}:\,\,{z_1}\overline {z_2};\,\,\,{{{z_2}} \over {\overline {z_1}}}\)

Tính 

\(\eqalign{
& a)\,\,{(\sqrt 3 + i)^2} - {(\sqrt 3 - i)^2} \cr
& b)\,{(\sqrt 3 + i)^2} + {(\sqrt 3 - i)^2} \cr
& c)\,{(\sqrt 3 + i)^3} - {(\sqrt 3 - i)^3} \cr
& d)\,{{{{(\sqrt 3 + i)}^2}} \over {{{(\sqrt 3 - i)}^2}}} \cr} \)

a) Xác định phần thực của số phức \({{z + 1} \over {z - 1}}\) biết rằng |z| = 1 và z ≠ 1

b) Chứng minh rằng nếu \({{z + 1} \over {z - 1}}\) là số ảo thì |z| = 1

Tìm các căn bậc hai của các số phức

-8 + 6i;  3 + 4i;  \(1 - 2\sqrt 2 i\)

Giải các phương trình sau trên C

a) z² – 3z + 3 + i = 0

b) \({z^2} - (cos\varphi  + i\sin \varphi )z + i\sin \varphi \cos \varphi  = 0\)

trong đó \(\varphi\) là số thực cho trước

Tính:

\({({{4i} \over {1 + i\sqrt 3 }})^6};\,\,{{{{(\sqrt 3  + i)}^5}} \over {{{(1 - i\sqrt 3 )}^{11}}}}\)