Gọi chân các đường vuông góc hạ từ M lần lượt xuống các cạnh AB, BC, CA là H, K, I.
Ta có tứ giác AHMI nội tiếp ( vì có \(\widehat {AHM} + \widehat {AIM} = 180^\circ \))
\( \Rightarrow \widehat {HAM} = \widehat {HIM}\) (1) ( góc nội tiếp cung chắn MH)
Tương tự tứ giác CKIM nội tiếp ( vì \(\widehat {CKM} + \widehat {CIM} = 90^\circ \))
\( \Rightarrow \widehat {MIK} + \widehat {MCK} = 180^\circ \) (2)
Mặt khác ABCM nội tiếp (O) nên \(\widehat {HAM} = \widehat {MCK}\)
Suy ra \(\widehat {HIM} = \widehat {MCK}\)
Do đó \(\widehat {MIK} + \widehat {HIM} = 180^\circ \)
\(\Rightarrow H, I, K\) thẳng hàng.
Trường hợp M thuộc các cung còn lại chứng minh tương tự.
