Gọi cạnh của hình bát giác đều là AB.
Kẻ \(BH \bot AO\). Ta có ∆BHO vuông cân \( \Rightarrow BH = OH.\)
Đặt \(BH = OH = x\). Theo định lí Py-ta-go :
\({x^2} + {x^2} = {R^2} \Rightarrow 2{x^2} = {R^2}\)
\(\Rightarrow {x^2} = \dfrac{{{R^2}}}{ 2}\)
\( \Rightarrow x = \dfrac{{R\sqrt 2 } }{ 2}\)
Hay \(BH = OH =\dfrac {{R\sqrt 2 }}{2}\)
Do đó \(AH = R - OH = R - \dfrac{{R\sqrt 2 } }{2}\)\(\, = R\left( {\dfrac{{2 - \sqrt 2 } }{2}} \right)\)
Xét tam giác vuông AHB có :
\(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;= {\left[ {R\left( {\dfrac{{2 - \sqrt 2 } }{ 2}} \right)} \right]^2} + {\left( {\dfrac{{R\sqrt 2 } }{ 2}} \right)^2}\)
\( \;\;\;\;\;\;\;\;=\dfrac {{{R^2}} }{ 4}\left( {4 - 4\sqrt 2 + 2} \right) + \dfrac{{2{R^2}} }{ 4}\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;=\dfrac {{{R^2}}}{ 4}\left( {4 - 4\sqrt 2 + 2 + 2} \right)\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\; =\dfrac {{{R^2}}}{ 4}.4\left( {2 - \sqrt 2 } \right) \)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;= {R^2}\left( {2 - \sqrt 2 } \right)\)
\( \Rightarrow AB = R\sqrt {2 - \sqrt 2 } \)
Vậy cạnh bát giác đều nội tiếp (O; R) là \(R\sqrt {2 - \sqrt 2 } .\)
