Đề kiểm tra 15 phút - Chương III - Giải Tích 12

Câu 1. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x)  nếu:

A. F’(x) = f’’(x)                  

B. F’(x) = f’(x)

C. F’(x) = f(x)     

D. f’(x) = F(x).

Câu 2. Chọn mệnh đề đúng:

A. \(\int {{a^x}\,dx = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\,\,(0 < a \ne 1)} \).     

B. \(\int {{a^x}\,dx}  = {a^x} + C\,\,\,(0 < a \ne 1)\).

C. \(\int {{a^x}\,dx = {a^x}\ln a}  + C\,\,(0 < a \ne 1)\).  

D. \(\int {{a^x}\,dx = {a^x}\ln a\,\,(0 < a \ne 1)} \).

Câu 3. Cho \(C \in R\). Tính \(I = \int {\left( {{x^2} + 3} \right){x^2}\,dx} \):

A. \(I = \dfrac{{{x^5}}}{5} + {x^3} + C\)         

B. \(I = \dfrac{{{x^5}}}{5} + {x^3}\)

C.  \(I = \left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} + 3x} \right)\dfrac{{{x^3}}}{3} + C\)     

D. \(I = {x^4} + 3{x^2} + C\).

Câu 4. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số \(f(x) = \dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^2}}}\) biết F(1)=0.

A. \(\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{x}\).                        

B. \(\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{2}\).

C. \(\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{2}\).                   

D. \(\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{x} - \dfrac{3}{2}\)

Câu 5. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong \(y = {x^2} + 1\), đường thẳng \(y = 3 - x\).

A. \(\dfrac{8}{3}\)                            B. \(\dfrac{7}{3}\)      

C. \(\dfrac{9}{2}\)                            D. \(\dfrac{{10}}{3}\)

Câu 6. Tính \(F(x) = \int {x.{e^{\dfrac{x}{3}}}\,dx} \). Chọn kết quả đúng .

A. \(F(x) = 3(x - 3){e^{\dfrac{x}{3}}} + C\).   

B. \(F(x) = (x + 3){e^{\dfrac{x}{3}}} + C\).

C. \(F(x) = \dfrac{{x - 3}}{3}{e^{\dfrac{x}{3}}} + C\).    

D. \(F(x) = \dfrac{{x + 3}}{3}{e^{\dfrac{x}{3}}} + C\).

Câu 7. Tính tích phân  \(\int\limits_0^3 {x(x - 1)\,dx} \) có giá trị bằng với tích phân nào trong các tích phân dưới đây ?

A.\(\int\limits_0^\pi  {\cos (3x + \pi )\,dx} \).    

B. \(3\int\limits_0^{3x} {\sin x\,dx} \)

C. \(\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + x - 3} \right)} \,dx\).

D. \(\int\limits_0^{\ln \sqrt {10} } {{e^{2x}}} \,dx\).

Câu 8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x\), trục hoành, các đường thẳng \(x =  - 2,\,x = 1\) bằng :

A. \(\left| {\int\limits_{ - 2}^1 {\left( {{x^3} - x} \right)\,dx} } \right|\).    

B. \(\int\limits_{ - 2}^1 {\left( {{x^3} - x} \right)\,dx} \).

C. \(\int\limits_{ - 1}^1 {|{x^3} - x|\,dx} \).  

D. \(\int\limits_{ - 2}^1 {|{x^3} - x|\,dx} \).

Câu 9. Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số \(f(x) = 3\sin x + \dfrac{2}{x}\).

A. \(F(x) =  - 3\cos x + 2\ln |x| + C\).

 B. \(F(x) = 3\cos x + 2\ln |x| + C\).

C. \(F(x) =  - 3\cos x - 2\ln |x| + C\).  

D. \(F(x) = 3\cos x - 2\ln |x| + C\).

Câu 10. Cho hình (H) gới hạn bởi hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox là:

A. \(V = \pi \int\limits_a^b {|f(x)|\,dx} \).    

B. \(V = \int\limits_a^b {|f(x)|\,dx} \).

C. \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)} \,dx\).  

D. \(V = {\pi ^2}\int\limits_a^b {{f^2}(x)\,dx} \).

Câu 1. Chọn mệnh đề đúng :

A. \(\int {0dx = C} \)      

B. \(\int {dx = C} \)

C. \(\int {dx}  = 0\)           

D. \(\int {0dx = x + C} \).

Câu 2. Chọn mệnh đề sai :

A. \(\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C} \).   

B. \(\int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = \cot x + C} \).

C. \(\int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx =  - \cot x + C} \). 

D \(\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} + C\)

Câu 3. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?

A. \(\int\limits_{ - 1}^1 {dx = 1} \).

B. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx.\int\limits_a^b {g(x)\,dx = \int\limits_a^b {f(x).g(x)\,dx} } } \).

C. Nếu f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a ; b] thì \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx \ge 0} \).

D. Nếu \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = 0} \) với \(a \ne b\) thì \(f(x) = 0\).

Câu 4. Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\cos (a - x)\,dx} \):

A. \(I = \left( {1 - \dfrac{\pi }{2}} \right)\cos a + \sin a\).    

B. \(I = \left( {1 - \dfrac{\pi }{2}} \right)\cos a - \sin a\).

C. \(I = \left( {\dfrac{\pi }{2} - 1} \right)\cos a + \sin a\).  

D. \(I = \left( {\dfrac{\pi }{2} + 1} \right)\cos a - \sin a\).

Câu 5. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. \(\int {{e^x}\,dx}  = {e^x} + C\)        

B. \(\int {\sin x\,dx =  - \cos x + C} \)

C. \(\int {\dfrac{1}{{{x^2}\,}}\,dx}  =  - \dfrac{1}{x} + C\,\,\,(x \ne 0)\)   

D. \(\int {{a^x}\,dx}  = {a^x} + C\).

Câu 6. Tính \(I = \int {{e^{3 - 5x}}\,dx} \).

A. \(I = \dfrac{1}{5}{e^{3 - 5x}} + C\).   

B. \(I =  - \dfrac{1}{5}{e^{3 - 5x}} + C\).

C. \(I = {e^{3 - 5x}} + C\).     

D. \(I =   \dfrac{1}{5}{e^{3 - 5x}} + C\).

Câu 7. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = {x^3} - 4x\), trục hoành và hai đường thẳng x = - 3 , x = 4 là:

A. \(\dfrac{{202}}{3}\)                    B. \(\dfrac{{203}}{4}\)    

C. \(\dfrac{{201}}{5}\)                     D. \(\dfrac{{201}}{4}\).

Câu 8. Biết \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}}\,dx}  = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{a + 1}}\ln 2\). Tính a.

A. a = 2                      B. a = -2  

C. a = 1                      D. a = 0.

Câu 9. Họ các nguyên hàm của hàm số f(x)=sinx+ cosx là:

A. six2x + C .                    

B. –cosx – sinx + C

C. cosx + sinx + C.                

D. sinx – cosx + C.

Câu 10. Tìm \(I = \int {\dfrac{1}{{4 - {x^2}}}\,dx} \).

A. \(I = \dfrac{1}{4}\ln \left| {\dfrac{{x - 2}}{{x + 2}}} \right|\)   

B. \(I = \dfrac{1}{2}\ln \left| {\dfrac{{x + 2}}{{x - 2}}} \right|\).

C. \(I = \dfrac{1}{4}\ln \left| {\dfrac{{x + 2}}{{x - 2}}} \right|\).      

D. \(I = \dfrac{1}{2}\ln \left| {\dfrac{{x - 2}}{{x + 2}}} \right|\)

Câu 1. Cho f(x) là đạo hàm của hàm số F(x). Chọn mệnh đề đúng :

A. f’(x) = F(x)           

B. \(\int {f(x)dx = F(x) + C} \)

C. \(\int {F(x)dx = f(x) + C} \)      

D. f’(x) = F’(x).

Câu 2. Chọn mệnh đề đúng :

A. \(\int {\left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx = \tan x - \cot x + C} \)

B. \(\int {\left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx =  - \tan x + \cot x + C} \).

C. \(\int {\left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx = \tan x + \cot x + C} \).

D. \(\int {\left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx =  - \tan x - \cot x + C} \).

Câu 3. Nếu u(t) = v(t) thì:

A. \(dt = \dfrac{{v(x)}}{{u(t)}}dx\)               

B. \(dt = \dfrac{{v'(x)}}{{u'(t)}}dx\)

C. \(dx = \dfrac{{v(x)}}{{u(t)}}dt\)           

D. \(dx = \dfrac{{v'(x)}}{{u'(t)}}dt\).

Câu 4. Cho \(I = \int\limits_1^2 {2x\sqrt {{x^2} - 1} } \,dx\,\,,u = {x^2} - 1\). Khẳng định sai là:

A. \(I = \int\limits_0^3 {\sqrt u du} \)   

B. \(I = \dfrac{2}{3}\sqrt {27} \)

C. \(I = \int\limits_1^2 {\sqrt u \,du} \)                  

D. \(I = \dfrac{2}{3}{u^{\dfrac{3}{2}}}\left| \begin{array}{l}3\\0\end{array} \right.\).

Câu 5. Trong các khẳng định say đây, khẳng định nào  đúng ?

A. \(\int\limits_a^b {v.du = u.v\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. - \int\limits_a^b {u.dv} } \).            

B. \(\int\limits_a^b {u.dv = u.v\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. + \int\limits_a^b {v.du} } \).

C. \(\int\limits_a^b {u.dv = u.v\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. - \int\limits_a^b {v.du} } \).       

D. \(\int\limits_a^b {u.dv = u.v\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. - \int\limits_a^b {u.dv} } \)

Câu 6. Tích phân \(\int\limits_{\dfrac{{ - 1}}{2}}^1 {\dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}\,dx} \) bằng:

A. 1 – ln2                     B. \( - \dfrac{1}{2}\ln 2\).

C. \(\dfrac{1}{2}\ln 2\).                     D. \(3 - 2\ln 2\).

Câu 7. Nếu \(\int\limits_{ - 2}^0 {(5 - {e^{ - x}})\,dx = K - {e^2}} \) thì giá trị của K là:

A. 11                        B. 9       

C. 7                          D. 12,5.

Câu 8. Xét hàm số f(x) có \(\int {f(x)dx = F(x) + C} \). Với a, b là các số thực và \(a \ne 0\), khẳng định nào sau đây luôn đúng ?

A.\(\int {f(ax + b)\,dx = \dfrac{1}{a}F(ax + b) + C} \)   

B. \(\int {f(ax + b)\,dx = aF(ax + b) + C} \).

C. \(\int {f(ax + b)\,dx = F(ax + b) + C} \). 

D. \(\int {f(ax + b)\,dx = aF(a) + b + C} \).

Câu 9. Công thức nào sau đây sai ?

A. \(\int {\cos x\,dx = \sin x + C} \).     

B. \(\int {\dfrac{1}{{{x^2}}}\,dx = \dfrac{{ - 1}}{x} + C\,\,\,(x \ne 0)} \).

C. \(\int {{a^x}\,dx}  = {a^x} + C\).            

D. \(\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\,dx = \tan x + C\,\,(C \ne 0)} \).

Câu 10. Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3}\), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 1. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay  (H) quanh trục Ox được  tính bởi:

A. \(V = {\pi ^2}\int\limits_0^1 {{x^3}\,dx} \).       

B. \(V = \pi \int\limits_0^1 {{x^3}\,dx} \).

C. \(V = \pi \int\limits_0^1 {{x^{6\,}}\,dx} \).   

D. \(V = \pi \int\limits_0^1 {{x^5}\,dx} \)

Câu 1. Chọn mệnh đề sai:

A. \(\int {f'(x)dx = f(x) + C} \) 

B.\(\int {f''(x)dx = f'(x) + C} \)

C. \(\int {f'''(x)dx = f''(x) + C} \)   

D. \(\int {f(x)dx = f'(x) + C} \)

Câu 2. Cho hàm số \(f(x) = \dfrac{1}{{x + 2}}\). Hãy chọn mệnh đề sai:

A. \(\int {\dfrac{1}{{x + 2}}dx = \ln (x + 2) + C} \).

B. \(y = \ln (3|x + 2|)\) là một nguyên hàm của f(x).

C. \(y = \ln |x + 2| + C\) là họ nguyên hàm của f(x).

D. \(y = \ln |x + 2|\) là một nguyên hàm của f(x).

Câu 3. Nếu \(t = {x^2}\) thì:

A. \(xf({x^2})dx = f(t)dt\)           

B. \(xf({x^2})dx = \dfrac{1}{2}f(t)dt\)

C. \(xf({x^2})dx = 2f(t)dt\)     

D. \(xf({x^2})dx = {f^2}(t)dt\)

Câu 4. Giả sử \(\int\limits_1^5 {\dfrac{{dx}}{{2x - 1}} = \ln K} \). Giá trị của K là:

A. 9                                B. 3      

C. 81                              D. 8

Câu 5. Tính \(I = \int {\sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{2}} \right)\,dx} \) ta được kết quả nào dưới đây:

A. \(I =  - \cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{2}} \right) + C\).   

B. \(I = 2\cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{2}} \right) + C\).

C. \(I =  - \dfrac{1}{2}\cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{2}} \right) + C\).   

D. \(I = \dfrac{1}{2}\cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{2}} \right) + C\).

Câu 6. Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a ; b]. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = F(b) - F(a) + C} \).

B. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = F(a) - F(b)} \).

C. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = F(b) - F(a)} \).     

D. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = F(a) - F(b) + C} \).

Câu 7. Tính thể tích vật thể kh quay quanh hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sinx, y = 0, x = 0, \(x = \pi \) quanh trục hoành.

A. \(\dfrac{{{\pi ^2}}}{4}\)                      B. \(\dfrac{\pi }{4}\)       

C. \(\dfrac{{{\pi ^2}}}{2}\)                       D.\(\dfrac{\pi }{2}\).

Câu 8. Cho \(\int\limits_{ - 2}^1 {f(x)\,dx = 1\,,\,\,\int\limits_{ - 2}^1 {g(x)\,dx =  - 2} } \). Tính \(\int\limits_{ - 2}^1 {\left( {1 - f(x) + 3g(x)} \right)} \,dx\).

A. 24                        B. -7    

C. – 4                        D. 8.

Câu 9. Tìm \(\int {\dfrac{{dx}}{{{x^2} - 3x + 2}}} \).

A. \(\ln \left| {\dfrac{{x - 2}}{{x - 1}} + C} \right|\).       

B. \(\ln \left| {\dfrac{{x - 1}}{{x - 2}}} \right| + C\).

C. \(\ln \left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) + C\).  

D. \(\ln \dfrac{1}{{x - 2}} + \ln \dfrac{1}{{x - 1}} + C\).

Câu 10. Công thức tính diện tích hình phẳng gới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), đường thẳng y = 0 và hai đường thẳng x = a,  x = b (a<b) là:

A. \(S = \int\limits_a^b {f(x)\,dx} \).  

B. \(S = \int\limits_0^b {f(x)\,dx} \).

C. \(S = \int\limits_b^a {|f(x)|\,dx} \).

D. \(S = \int\limits_a^b {|f(x)|\,dx} \).

 Câu 1. Mệnh đề nào dưới đây sai ?

A. \(\int {[f(x) + g(x)]dx = \int {f(x)dx + \int {g(x)dx} } } \) với mọi hàm f(x), g(x) liên tục trên R.

B. \(\int {[f(x) - g(x)]dx = \int {f(x)dx - \int {g(x)dx} } } \) với mọi hàm f(x), g(x) liên tục trên R.

C. \(\int {[kf(x)]dx = k\int {f(x)dx} } \) với mọi hằng số k và hàm f(x) liên tục trên R.

D. \(\int {[f'(x)]dx = f(x) + C} \) với mọi f(x) có đạo hàm trên R.

Câu 2. Nếu t=u(x) thì:

A. \(dt = u'(x)dx\)                   

B. \(dx = u'(x)dt\)

C. \(dt = \dfrac{1}{{u(x)}}dx\)            

D. \(dx = \dfrac{1}{{u(t)}}dt\).

Câu 3. Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b]. Chọn mệnh đề sai ?

A. \(\int\limits_a^b {f(x)} dx =  - \int\limits_b^a {f(x)} dx\)

B. \(\int\limits_a^b {kdx}  = k(b - a)\)

C. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx}  + \int\limits_b^c f(x)\,dx = \int\limits_a^c f(x)\,dx\)\(,\,c \in [a;b]  \)

D. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = \int\limits_b^a {f( - x)\,dx} } \).

Câu 4. Biết \(\int\limits_0^5 {f(x)\,dx = 1\,,\,\,\int\limits_5^0 {g(t)\,dt = 2} } \). Giá trị của \(\int\limits_0^5 {[f(x) + g(x)]\,dx} \) là:

A. Không xác định được        

B. 1

C. 3                       

D. – 1 .

Câu 5. Tính tích phân \(I = \int\limits_0^e {\dfrac{{dx}}{{3x + 1}}} \).

A. \(I = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{1}{{{{\left( {3e + 1} \right)}^2}}} - 1} \right)\)          

B. \(I = \dfrac{1}{{{{\left( {3e + 1} \right)}^2}}} - 1\).

C. \(I = \ln \left( {3e + 1} \right)\)       

D. \(I = \dfrac{1}{3}\ln \left( {3e + 1} \right)\).

Câu 6. Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sin 2x\) là:

A. \(\cos 2x + C\).             

B. \( - \cos 2x + C\).

C. \(\dfrac{1}{2}\cos 2x + C\).    

D. \( - \dfrac{1}{2}\cos 2x + C\).

Câu 7.Tính \(\int {2x\ln (x - 1)\,dx} \) bằng:

A.\(\left( {{x^2} - 1} \right)\ln \left( {x - 1} \right) - \dfrac{{{x^2}}}{2} - x + C\).

B. \(\left( {{x^2} + 1} \right)\ln \left( {x - 1} \right) - \dfrac{{{x^2}}}{2} - x + C\).

C. \({x^2}\ln (x - 1) - \dfrac{{{x^2}}}{2} - x + C\).

D. \(\left( {{x^2} - 1} \right)\ln \left( {x - 1} \right) - \dfrac{{{x^2}}}{2} + x + C\).

Câu 8. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol \(y = 2 - {x^2}\) và đường thẳng y = - x là:

A. \(\dfrac{9}{2}\)                         B. \(\dfrac{9}{4}\)      

C. 3                           D. \(\dfrac{7}{2}\).

Câu 9. Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{1}{{5x - 2}}\).

A. \(\int {\dfrac{{dx}}{{5x - 2}} = 5\ln |5x - 2| + C} \).          

B. \(\int {\dfrac{{dx}}{{5x - 2}} =  - \dfrac{1}{2}\ln |5x - 2| + C} \).

C. \(\int {\dfrac{{dx}}{{5x - 2}} = \ln |5x - 2| + C} \).       

D. \(\int {\dfrac{{dx}}{{5x - 2}} = \dfrac{1}{5}\ln |5x - 2| + C} \).

Câu 10. Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số x = f(y), trục tung và hai đường thẳng y = a, y = a, y = b. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Oy là:

A. \(V = \pi \int\limits_a^b {|f(y)|\,dy} \).               

B. \(V = \int\limits_a^b {|f(x)|\,dx} \).

C. \(V = {\pi ^2}\int\limits_a^b {{f^2}(x)\,dx} \).                

D. \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(y)\,} dy\)