Ta có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o}\)
\( \Rightarrow \widehat B + \widehat C = {180^o} - \widehat A\)
\(\eqalign{ & = {180^o} - {60^o} \cr & = {120^o} \cr} \)
\( \Rightarrow \dfrac{{\widehat B} }{ 2} + \dfrac{{\widehat C}}{2} = {60^o}\) hay \(\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = {60^o}\).
Xét \(\Delta BIC\) ta có \(\widehat {BIC} = {180^o} - \left( {\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}} \right) = {120^o}\)
Kẻ phân giác IK của góc \(\widehat {BIC}\) ta có \(\widehat {{I_1}} = \widehat {{I_2}} = {60^o}\)
\(\Rightarrow \widehat {{I_3}} = {180^o} - {120^o} = {60^o}\).
Tương tự ta có \(\widehat {{I_4}} = {60^o}\).
Xét \(\Delta BID\) và \( \Delta BIK\) có:
+) \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (giả thiết)
+) BI cạnh chung
+) \(\widehat {{I_3}} = \widehat {{I_1}} = {60^o}\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow\Delta BID = \Delta BIK\)c(g.c.g)
\( \Rightarrow ID = IK\) (cạnh tương ứng). (1)
Chứng minh tương tự ta có \(\Delta CIK = \Delta CIE \Rightarrow IK = IE\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(ID = IE.\)
