Câu 1.
a.P(5): “80 chia hết cho 5” là mệnh đề đúng.
Q(6): “6chia hết cho 5” là mệnh đề sai.
b.Phát biểu: “ Với mọi số tự nhiên n, nếu 3n2 + 5 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5”
Chứng minh: Bằng phương pháp phản chứng.
Giả sử có số tự nhiên n sao cho 3n2 + 5 chia hết cho 5 và n không chia hết cho 5.
Đặt n= 5k + r, với và \(r \in \left\{ { \pm 1; \pm 2} \right\}\) .
Khi đó \(3{n^2} + 5 = 3{\left( {5k + r} \right)^2} + 5 \)\(\,= 5\left( {15{k^2} + 16k + 1} \right) + 3{r^2}\) .
Mà \(3{r^2} \in \left\{ {3;12} \right\}\) nên \(3{r^2}\) không chia hết cho 5.
Suy ra \(3{n^2} + 5\) không chia hết cho 5. Trái với giả thiết.
Vậy với mọi số tự nhiên n, nếu \(3{n^2} + 5\) chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5.
c.Mệnh đề đảo: “Với mọi số tự nhiên n, nếu n chia hết cho 5 thì \(3{n^2} + 5\) chia hết cho 5” là mệnh đề đúng.
Định lí thuận đảo: “Điều kiện cần và đủ để số tự nhiên n chia hết cho 5 là số \(3{n^2} + 5\) chia hết cho 5”.
Câu 2. Mệnh đề đảo: “Trong một hình thang nếu hai đường chéo bằng nhau thì hình thang đó cân”. Mệnh đề đảo này đúng.
Chứng minh: Cho hình thang ABCD với hai đáy là AB và CD có hai đường chéo AC và BD bằng nhau.
Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho CE= AB.
Ta có ABEC là hình bình hành.
Suy ra BE = AC và BE // AC. Mà AC= BD nên BD= BE.
Do đó BDE là tam giác cân tại B.
Suy ra \(\widehat {BDE} = \widehat {BED}\).
Mặt khác \(\widehat {ACD} = \widehat {BED}\) (đồng vị) nên \(\widehat {ACD} = \widehat {BDC}\)
Từ đó \(\Delta ADC = \Delta BCD\) .
Vì vậy \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\) hay ABCD là hình thang cân.
Câu 3.
a. Ta có
+
\(\eqalign{ & \left| {x + {1 \over 2}} \right| \le {9 \over 2}\cr& \Leftrightarrow - {9 \over 2} \le x + {1 \over 2} \le {9 \over 2}\cr& \Leftrightarrow - 5 \le x \le 4.{\rm{ }} \cr & {\rm{Suy \;ra \;A = }}\left[ { - 5;4} \right] \cr} \) .
+
\(\eqalign{ & \left| {x + 1} \right| > 2 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x - 1 < - 2 \hfill \cr x - 1 > 2 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x < - 1 \hfill \cr x > 3 \hfill \cr} \right.. \cr & {\rm{ Suy\; ra\; B = }}\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3, + \infty } \right) \cr} \) .
+
\(\eqalign{ & \left| {x - 2} \right| < 4 \Leftrightarrow - 4 < x - 2 < 4\cr& \Leftrightarrow - 2 < x < 6. \cr & {\rm{ Suy\; ra\; C = }}\left( { - 2;6} \right) \cr} \) .
b. Ta có
\(A \cap B = \left[ { - 5; - 1} \right) \cup \left( {3;4} \right]\)
\({C_R}A = \left( { - \infty ; - 5} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right),\)
\({\rm{ B\backslash C = }}\left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {6; + \infty } \right)\)
Suy ra \({C_R}A \cap \left( {B\backslash C} \right) = \left( { - \infty ; - 5} \right) \cup \left[ {6, + \infty } \right)\) .
c.
Ta có \(A \cap D \ne \emptyset \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a - 1 < 4 \hfill \cr a + 1 \ge - 5 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow - 6 \le a < 5\) .
Câu 4.
1) Ta có
+) \(a = 15,86m \pm 0,03m \)
\(\Rightarrow 15,86m - 0,03m \le a \le 15,86m + 0,03m.\)
+) \(b = 8,73m \pm 0,02m\)
\(\Rightarrow 8,73m - 0,02m \le b \le 8,73m + 0,02m.\)
Suy ra \(24,59m - 0,05m \le a + b \le 24,59m + 0,05m.\)
Do đó \(49,18m - 0,1m \le 2\left( {a + b} \right) \le 49,18 + 0,1m\) .
Vậy chu vi hình chữ nhật là \(P = 49,18m \pm 0,1m\) .
2) Sai số tuyệt của P là \({\Delta _P} = 0,1m\)
Xét chữ số hàng đơn vị của P. Một nửa đơn vị của hàng này là
\(\dfrac{1 }{ 2}m = 0,5m > {\Delta _P}\) . Suy ra chữ số hàng đơn vị là chữ số chắc.
Xét chữ số hàng phân chục của P. Một nửa đơn của hàng này là
\(\dfrac{1 }{ 2} \times 0,1 = 0,05 < {\Delta _P}\) . Suy ra chữ số hàng chục là chữ số không chắc.
Vậy P có các chữ số hàng đơn vị và hàng chục là các chữ số chắc.
Suy ra dạng chuẩn của P là 49m.
