Câu 1.
Thuận: Cho tích mn chia hết cho 7. Chứng minh m hoặc n chia hết cho 7.
Giả sử có hai số tự nhiên m, n sao cho mn chia hết cho 7 và m, n đêu khong chia hết cho 7.
Đặt \(m= 7a + r\) và \(n= 7b + s\), với và \(r,s \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;1;2;3} \right\}\) .
Khi đó \(mn = \left( {7a + r} \right)\left( {7b + s} \right) = 7\left( {7ab + as + br} \right) + rs\) .
Mà \(r,s \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;1;2;3} \right\}\) nên \(rs \in \left\{ { - 9; - 6; - 4; - 3; - 2; - 1;1;2;3;4;6;9} \right\}\) .
Suy ra rs không chia hết cho 7. Do đó mn không chia hết cho 7. Trái với giả thiết.
Vậy nếu mn chia hết cho 7 thì m hoặc n không chia hết cho 7.
Đảo: Cho m hoặc n chia hết cho 7. Chứng minh tích mn chia hết cho 7.
Nếu m chia hết cho 7 thì \(m= 7a\), với . Suy ra \(mn= 7an\) chia hết cho 7.
Nếu n chia hết cho 7 thì \(n= 7b\), với . Suy ra \(mn= 7bm\) chia hết cho 7.
Câu 2. Mệnh đề đảo: “Nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân”.
Mệnh đề này đúng.
Chứng minh: Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN bằng nhau.
Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD= NM.
Khi đó CDMN là hình bình hành. Suy ra NC= MD và NC // MD.
Mà BM= CN nên MB = MD.
Suya ra MBD là tam giác cân tại M.
Do đó \(\widehat {MBD}= \widehat {NCB}\) (đồng vị) nên \(\widehat {MBC} = \widehat {NCB}\).
Từ đó \(\Delta MBC = \Delta NCB\) .
Suy ra MC = NB hay AB = AC.
Vậy tam giác ABC cân tại A.
Câu 3.
Do \(X \subset A\) và \(X \subset B\) nên \(X \subset A \cap B\) .
Mà \(A \cap B = \left\{ {2;4;6} \right\}\) .
Do đó X là các tập sau: \(\emptyset ,\left\{ 2 \right\},\left\{ 4 \right\},\left\{ 6 \right\},\left\{ {2;4} \right\},\left\{ {2;6} \right\},\left\{ {4;6} \right\},\)\(\,\left\{ {2;4;6} \right\}\) .
Bài toán có 8 nghiệm.
Câu 4.
a.Ta có
+)
\(\left| {x - 2} \right| \le 3 \Leftrightarrow - 3 \le x - 2 \le 3\)
\(\Leftrightarrow - 1 \le x \le 5.\)
Suy ra \(P = \left[ { - 1;5} \right]\) .
+
\(\eqalign{ & \left| {x + 2} \right| > 4\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x + 2 < - 4 \hfill \cr x + 2 > 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x < - 6 \hfill \cr x > 2 \hfill \cr} \right..{\rm{ }} \cr & {\rm{Suy\; ra\; Q = }}\left( { - \infty ; - 6} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right) \cr} \) .
b.Ta có
\(\eqalign{ & +)\; P \cup Q = \left( { - \infty ; - 6} \right) \cup \left[ { - 1; + \infty } \right).{\rm{ }} \cr & {\rm{Suy\; ra\; }}{{\rm{C}}_R}\left( {P \cup Q} \right) = \left[ { - 6; - 1} \right) \cr} \)
\(\eqalign{ & +)\; {C_R}P = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right),\cr&\;\;{C_R}Q = \left[ { - 6;2} \right]. \cr & {\rm{Suy \;ra \;}}{{\rm{C}}_R}P \cap {C_R}Q = \left[ { - 6; - 1} \right) \cr} \) .
Vậy \({C_R}\left( {P \cup Q} \right) = {C_R}P \cap {C_R}Q\)
Câu 5.
a. Ta có
+ \(a = 5,86m \pm 0,05m \)
\(\Rightarrow 5,86m - 0,05m \le a \le 5,85m + 0,05m\) .
+ \(b = 3,73m \pm 0,02m\)
\(\Rightarrow 3,73m - 0,02m \le b \le 3,73m + 0,02m\) .
Suy ra: \(21,8205{m^2} - 0,3045{m^2} \le ab \le 21,8205{m^2} \pm 0,3045{m^2}\) .
Vậy diện tích hình chữ nhật là \(S = 21,8205{m^2} \pm 0,3045{m^2}\) .
b.Sai số tuyệt đối của S là \({\Delta _S} = 0,3045{m^2}\) .
Xét chữ số hàng đơn vị của S.
Một nửa đơn vị của hàng này là \(\dfrac{1 }{2} \times 1{m^2} = 0,5{m^2} > {\Delta _S}\) .
Suy ra chữ số hàng phần chục là chữ số chắc.
Xét chữ số hàng chục của S.
Một nửa đơn vị của hàng này là \(\dfrac{1 }{2} \times 0,1{m^2} = 0,05{m^2} < {\Delta _S}\) .
Suy ra chữ số hàng phần chục là chữ số không chắc.
Vậy các chữ số chắc của S là các chữ số hàng đơn vị và hàng chục.
Dạng chuẩn của S là 21m2.
