Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương III - Giải Tích 12

Câu 1. Cho hình (H) giới hạn bởi đường cong \({y^2} + x = 0\), trục Oy và hai đường thẳng y = 0, y= 1. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Oy được tính bởi:

A. \(V = {\pi ^2}\int\limits_0^1 {{x^4}\,dx} \). 

B. \(V = \pi \int\limits_0^1 {{y^2}\,dy} \).

C. \(V = \pi \int\limits_0^1 {{y^4}\,dy} \).          

D. \(V = \pi \int\limits_0^1 { - {y^4}\,dy} \).

Câu 2. Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{2004\pi } {\sqrt {1 - \cos 2x} \,dx} \). Phát biểu nào sau đây sai?

A. \(I = \sqrt 2 \cos x\left| \begin{array}{l}2004\pi \\0\end{array} \right.\).  

B. \(I = 2004\int\limits_0^\pi  {\sqrt {1 - \cos 2x} } \,dx\).

C. \(I = 4008\sqrt 2 \).        

D. \(I = 2004\sqrt 2 \int\limits_0^\pi  {\sin x\,dx} \).

Câu 3. Tìm nguyên hàm của \(f(x) = 4\cos x + \dfrac{1}{{{x^2}}}\) trên \((0; + \infty )\).

A. \(4\cos x + \ln x + C\). 

B. \(4\cos x + \dfrac{1}{x} + C\).

C. \(4\sin x - \dfrac{1}{x} + C\).   

D. \(4\sin x + \dfrac{1}{x} + C\).

Câu 4. Mệnh đề nào sau đây là sai ?

A. \(\int\limits_a^c {f(x)\,dx = \int\limits_a^b {f(x)\,dx + \int\limits_b^c {f(x)\,dx} } } \).

B. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = \int\limits_a^c {f(x)\,dx - \int\limits_b^c {f(x)\,dx} } } \).

C. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = \int\limits_b^a {f(x)\,dx + \int\limits_a^c {f(x)\,dx} } } \).

D.  \(\int\limits_a^b {cf(x)\,dx =  - c\int\limits_b^a {f(x)\,dx} } \)

Câu 5. Tính nguyên hàm \(\int {{{\sin }^3}x.\cos x\,dx} \) ta được kết quả là:

A. \( - {\sin ^4}x + C\).                 

B. \(\dfrac{1}{4}{\sin ^4}x + C\).

C. \( - \dfrac{1}{4}{\sin ^4}x + C\).                  

D. \({\sin ^4}x + C\).

Câu 6. Giả sử hình phẳng tạo bởi đường cong \(y = {\sin ^2}x,\,\,y =  - {\cos ^2}x\,,\,x = \pi ,\,x = 2\pi \) có diện tích là S. Lựa chọn phương án đúng :

A. \(S = \pi \).    

B. \(S = 2\pi \).

C. \(S = \dfrac{\pi }{2}\).               

D. Cả 3 phương án trên đều sai.

Câu 7. Gọi \(\int {{{2009}^x}\,dx}  = F(x) + C\) . Khi đó F(x) là hàm số:

A. \({2009^x}\ln 2009\).          

B. \(\dfrac{{{{2009}^x}}}{{\ln 2009}}\).

C. \({2009^x} + 1\).                     

D. \({2009^x}\).

Câu 8. Cho tích phân \(I = \int\limits_a^b {f\left( x \right).g'\left( x \right){\text{d}}x} ,\) nếu đặt 

\(\left\{ \matrix{ u = f\left( x \right) \hfill \cr {\rm{d}}v = g'\left( x \right){\rm{d}}x \hfill \cr} \right.\) thì:

A. \(I = \left. {f\left( x \right).g'\left( x \right)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {f'\left( x \right).g\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

B. \(I = \left. {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {f\left( x \right).g\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

C. \(I = \left. {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {f'\left( x \right).g\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

D. \(I = \left. {f\left( x \right).g'\left( x \right)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {f\left( x \right).g'\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

Câu 9. Giả sử \(\int\limits_1^5 {\dfrac{{dx}}{{2x - 1}} = \ln K} \). Giá trị của K là:

A. 1                                 B. 3  

C. 80                               D. 9.

Câu 10. Nếu \(\int\limits_a^d {f(x)\,dx = 5\,,\,\,\int\limits_b^d {f(x)\,dx = 2} \,} \) với a  < d < b thì \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx} \) bằng :

A. 3 .                               B. 2          

C. 10                               D. 0

Câu 11. Nếu \(\int {f(x)\,dx = {e^x} + {{\sin }^2}x}  + C\) thì f(x) bằng

A. \({e^x} + 2\sin x\).     

B. \({e^x} + \sin 2x\).

C. \({e^x} + {\cos ^2}x\).                        

D. \({e^x} - 2\sin x\).

Câu 12. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

A. Nếu f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên R thì \(\int {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} \,dx = \int {f(x)\,dx + \int {g(x)\,dx} } \)

B. Nếu các hàm số u(x), v(x) liên tục và có đạo hàm trên R thì \(\int {u(x)v'(x)\,dx + \int {v(x)u'(x)\,dx = u(x)v(x)} } \)

C. Nếu F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f(x) thì F(x) – G(x) = C ( với C là hằng số )

D. \(F(x) = {x^2}\) là một nguyên hàm của f(x) = 2x.

Câu 13. Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = 2sinx.

A. \(\int {2\sin x\,dx = {{\sin }^2}x}  + C\). 

B. \(\int {2\sin x\,dx = 2\cos x}  + C\).

C. \(\int {2\sin x\,dx =  - 2\cos x}  + C\).  

D. \(\int {2\sin x\,dx = \sin 2x}  + C\).

Câu 14. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(u = {x^2} - 2x + 3\), trục Ox và đường thẳng x = -1 , x =2 bằng :

A. \(\dfrac{1}{3}\)                           B. 17                

C. 7                            D. 9

Câu 15. Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {\cos x + {e^x}} \right)\,dx} \).

A. \(I = {e^{\dfrac{\pi }{2}}} + 2\).  

B. \(I = {e^{\dfrac{\pi }{2}}} + 1\).

C. \(I = {e^{\dfrac{\pi }{2}}} - 2\)              

D. \(I = {e^{\dfrac{\pi }{2}}}\).

Câu 16. Biết rằng hàm số \(f(x) = {\left( {6x + 1} \right)^2}\) có một nguyên hàm \(F(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) thỏa mãn điều kiện F(-1.) 20. Tính tổng a + b + c + d.

A. 46                               B. 44  

C. 36                               D. 54

Câu 17. Để tính \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{x^2}\cos x\,dx} \) theo phương pháp tích pân từng phần , ta đặt:

A. \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = x\cos x\,dx\end{array} \right.\).   

B. \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = \cos x\,dx\end{array} \right.\).

C. \(\left\{ \begin{array}{l}u = \cos x\\dv = {x^2}\,dx\end{array} \right.\). 

D. \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\cos x\\dv = \,dx\end{array} \right.\)

Câu 18. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

A. Hàm số \(y = \dfrac{1}{x}\) có nguyên hàm trên \(( - \infty ; + \infty )\).

B. \(3{x^2}\) là một nguyên hàm của \({x^3}\) trên \(( - \infty ; + \infty )\).

C. Hàm số \(y = |x|\) có nguyên hàm trên \(( - \infty ; + \infty )\).

D. \(\dfrac{1}{x} + C\) là họ nguyên hàm của lnx trên \((0; + \infty )\).

Câu 19. Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của: \(f(x) = {2^{\sqrt x }}\dfrac{{\ln x}}{{\sqrt x }}\) ?

A. \(2\left( {{2^{\sqrt x }} - 1} \right) + C\).

B. \({2^{\sqrt x }} + C\).

C. \({2^{\sqrt x  + 1}}\).                    

D. \(2\left( {{2^{\sqrt x }} + 1} \right) + C\).

Câu 20. Đổi biến u = lnx thì tích phân \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}\,dx} \) thành:

A. \(I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right)\,du} \)

B. \(I = \int\limits_0^1 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}\,du} \).

C. \(I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right)\,{e^{ - u}}du} \).

D. \(I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right)\,{e^{2u}}du} \).

Câu 21. Tính tích phân \(\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} {{x^3}\cos x\,dx} \) ta được:

A. \(\dfrac{{2{\pi ^3}\sqrt 3 }}{{27}} + \dfrac{{{\pi ^2}}}{3} + 6 - 4\sqrt 3 \). 

B. \(\dfrac{{{\pi ^3}\sqrt 3 }}{{27}} + \dfrac{{{\pi ^2}}}{6} + 6 - 4\sqrt 3 \).

C. \(\dfrac{{2{\pi ^3}\sqrt 3 }}{{27}} + \dfrac{{{\pi ^2}}}{3} + 3 - 2\sqrt 3 \). 

D. 0.

Câu 22. Tính nguyên hàm \(\int {{x^2}\sqrt {{x^3} + 5} } \,dx\) ta được kết quả là :

A. \(\dfrac{2}{9}{\left( {{x^3} + 5} \right)^{\dfrac{3}{2}}} + C\).  

B. \(\dfrac{2}{9}{\left( {{x^3} + 5} \right)^{\dfrac{2}{3}}} + C\).

C. \(2{\left( {{x^3} + 5} \right)^{\dfrac{3}{2}}} + C\). 

D. \(2{\left( {{x^3} + 5} \right)^{\dfrac{2}{3}}} + C\).

Câu 23. Tính nguyên hàm \(\int {\dfrac{{1 - 2{{\tan }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\,dx} \) ta thu được:

A. \(\cot x - 2\tan x + C\).  

B. \( - \cot x + 2\tan x + C\).

C. \(\cot x + 2\tan x + C\).  

D. \( - \cot x - 2\tan x + C\)  

Câu 24. Hàm số \(f(x) = x\sqrt {x + 1} \) có một nguyên hàm là F(x). Nếu F(0) = 2 thì F(3) bằng bao nhiêu ?

A. \(\dfrac{{146}}{{15}}\)                            B. \(\dfrac{{116}}{{15}}\)  

C. \(\dfrac{{886}}{{105}}\)                            D. \(\dfrac{{105}}{{886}}\).

Câu 25. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x} + 2x\) thỏa mãn \(F(0) = \dfrac{3}{2}\). Tìm F(x).

A. \(F(x) = {e^x} + {x^2} + \dfrac{3}{4}\).        

B. \(F(x) = {e^x} + {x^2} + \dfrac{1}{2}\).

C. \(F(x) = {e^x} + {x^2} + \dfrac{5}{2}\).   

D. \(F(x) = {e^x} + {x^2} - \dfrac{1}{2}\).

Câu 1. Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {2 - x} ,\,y = x\) xung quanh trục Ox được tính theo công thức nào sau đây :

A. \(V = \pi \int\limits_0^2 {\left( {2 - x} \right)\,dx + \pi \int\limits_0^2 {{x^2}\,dx} } \).  

B. \(V = \pi \int\limits_0^2 {\left( {2 - x} \right)\,dx} \).

C. \(V = \pi \int\limits_0^1 {x\,dx + \pi \int\limits_1^2 {\sqrt {2 - x} \,dx} } \).     

D. \(V = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}\,dx + \pi \int\limits_1^2 {\left( {2 - x} \right)\,dx} } \).

Câu 2. Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}\) là

A. \(\tan x + C\).         

B. \(\dfrac{{ - 1}}{{\cos x}} + C\).

C. \(\cot x + C\).           

D. \(\dfrac{1}{{\cos x}} + C\).

Câu 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {x^2},\,\,y = 2x\) là:

A. \(\dfrac{4}{3}\)                          B. \(\dfrac{3}{2}\)

C. \(\dfrac{5}{3}\)                           D. \(\dfrac{{23}}{{15}}\).

Câu 4. Nếu f(1) = 12, f’(x) liên tục và \(\int\limits_1^4 {f'(x)\,dx = 17} \) thì giá trị của f(4) bằng bao nhiêu ?

A. 29                         B. 5

C. 19                         D. 40 .

Câu 5. Cho f(x), g(x)  là các hàm liên tục trên [a ; b]. Lựa chọn phương án đúng.

A. \(\left| {\int\limits_a^b {f(x)\,dx} } \right| \ge \int\limits_a^b {|f(x)|\,dx} \). 

B. \(\left| {\int\limits_a^b {f(x)\,dx} } \right| \le \int\limits_a^b {|f(x)|\,dx} \).

C. \(\left| {\int\limits_a^b {f(x)\,dx} } \right| = \int\limits_a^b {|f(x)|\,dx} \).   

D. Cả 3 phương án trên đều sai.

Câu 6. Giả sử f(x) là hàm liên tục và 0 < f(x) < 1, \(\forall x \in [0;1]\). Hình phẳng S giới hạn bởi các đường  y = f(x), y = 0, x = 0, x = 1. Hình này quay quanh trục tạo nên các vật thể có thể tích la V_x. Lựa chọn phương án đúng :

A. \(0 < {V_x} < \pi \int\limits_0^1 {f(x)\,dx} \).  

B. \({V_x} < \pi \int\limits_0^1 {{f^4}(x)\,dx} \).

C. \({V_x} > \pi \int\limits_0^1 {f(x)\,dx} \)   

D. Cả 3 phương án trên đều sai.

Câu 7. Tính nguyên hàm \(\int {\dfrac{{1 - 2{{\tan }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\,dx} \) ta được:

A. \( - \cot x - 2\tan x + C\).   

B. \(\cot x - 2\tan x + C\).

C. \(\cot x + 2\tan x + C\).                

D. \( - \cot x + 2\tan x + C\).

Câu 8. Nếu \(F(x) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^{ - x}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \left( { - 2{x^2} + 7x - 4} \right){e^{ - x}}\) thì (a , b ,c) bằng bao nhiêu ?

A. (1 ; 3 ; 2).                   

B. (2 ;  - 3 ; 1).

C. (1 ; - 1 ; 1).                      

D. Một kết quả khác.

Câu 9. Cho hàm số \(y = f(x) = {x^3} - 3{x^2} - 4x\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trên và trục Ox được tính bằng công thức:

A. \(\left| {\int\limits_{ - 1}^4 {f(x)\,dx} } \right|\).         

B. \(\int\limits_{ - 1}^4 {f(x)\,dx} \).

C. \(\int\limits_{ - 1}^0 {f(x)\,dx + \int\limits_0^4 {f(x)\,dx} } \).

D. \(\int\limits_{ - 1}^0 {f(x)\,dx - \int\limits_0^4 {f(x)\,dx} } \).

Câu 10. Cho \(I = \int\limits_1^2 {2x\sqrt {{x^2} - 1} \,dx\,,\,\,u = {x^2} - 1} \). Khẳng định nào dưới đây sai ?

A. \(I = \int\limits_0^3 {\sqrt u \,du} \).     

B. \(I = \dfrac{2}{3}\sqrt {27} \).

C. \(\int\limits_1^2 {\sqrt u \,du} \).                 

D. \(I = \dfrac{2}{3}{u^{\dfrac{3}{2}}}\left| \begin{array}{l}3\\0\end{array} \right.\).

Câu 11. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. \(\int\limits_a^b {[f(x) + g(x)]\,dx}  = \int\limits_a^b {f(x)\,dx + \int\limits_a^b {g(x)\,dx} } \).

B. f(x) liên tục trên [a ; c] và a < b < c thì \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = \int\limits_a^c {f(x)\,dx + \int\limits_b^c {f(x)\,dx} } } \).

C. Nếu \(f(x) \ge 0\) trên đoạn [a ; b] thì \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx \ge 0} \).

D. \(\int {\dfrac{{u'(x)dx}}{{u(x)}} = \ln \left| {u(x)} \right|}  + C\).

Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\left( {1 - 3{e^{ - 2x}}} \right)\).

A. \(F(x) = {e^x} - 3{e^{ - 3x}} + C\).

B. \(F(x) = {e^x} + 3{e^{ - x}} + C\).

C. \(F(x) = {e^x} - 3{e^{ - x}} + C\).    

D. \(F(x) = {e^x} + C\).

Câu 13. Cho \(\int\limits_1^4 {f(x)\,dx = 9} \). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f(3x + 1)\,dx} \) .      

A. I= 27                      B. I= 3

C. I= 9                        D. I= 1.

Câu 14. Cho f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên R và \(k \ne 0\). Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây .

A. \(\int {\left[ {f(x).g(x)} \right]} \,dx = \int {f(x)\,dx.\int {g(x)\,dx} } \)

B. \(\int {k.f(x)\,dx = k\int {f(x)\,dx} } \)

C. \(\int {f'(x)\,dx}  = f(x) + C\)

D. \(\int {\left[ {f(x) \pm g(x)} \right]\,dx = \int {f(x)\,dx \pm \int {g(x)\,dx} } } \)

Câu 15. Cho số thực a thỏa mãn \(\int\limits_{ - 1}^a {{e^{x + 1}}} \,dx = {e^2} - 1\). Khi đó a có giá trị bằng:

A. 0                              B. -1

C. 1                              D. 2.

Câu 16. Tích phân \(I = \int\limits_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{dx}}{{\sin x}}} \) có giá trị bằng:

A. \(2\ln \dfrac{1}{3}\).                        B . \(2\ln 3\).

C. \(\dfrac{1}{2}\ln 3\).                         D. \(\dfrac{1}{2}\ln \dfrac{1}{3}\).

Câu 17. Tích phân \(I = \int\limits_1^e {2x\left( {1 - \ln x} \right)\,dx} \) bằng :

A. \(\dfrac{{{e^2} - 1}}{2}\).                      B. \(\dfrac{{{e^2} + 1}}{2}\). 

C. \(\dfrac{{{e^2} - 3}}{4}\).                     D. \(\dfrac{{{e^2} - 3}}{2}\).

Câu 18. Tìm \(I = \int {\left( {2{x^2} - \dfrac{1}{{\sqrt[3]{x}}} - \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)\,dx} \) trên khoảng \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

A. \(I = \dfrac{2}{3}{x^3} + \dfrac{1}{3}{x^{ - \dfrac{2}{3}}} - \tan x + C\).

B. \(I = \dfrac{2}{3}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^{\dfrac{2}{3}}} - \tan x + C\).

C. \(I = \dfrac{2}{3}{x^3} - \dfrac{2}{3}\sqrt[3]{{{x^2}}} - \tan x + C\). 

D. \(I = \dfrac{2}{3}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^{\dfrac{2}{3}}} + \tan x + C\).

Câu 19. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = {x^2} - x + 3,\,\,y = 2x + 1\) là:

A. \(\dfrac{3}{2}\)                       B. \(\dfrac{{ - 3}}{2}\)

C. \(\dfrac{1}{6}\)                       D. \( - \dfrac{1}{6}\).

Câu 20. Hàm số y = sinx là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây ?

A. y = sin + 1.            B. y = cosx.

C. y = cotx.                 D. y = - cosx.

Câu 21. Tính nguyên hàm \(\int {\dfrac{{{{\left( {3\ln x + 2} \right)}^4}}}{x}\,dx} \) ta được:

A. \(\dfrac{1}{3}{\left( {3\ln x + 2} \right)^5} + C\). 

B. \(\dfrac{1}{{15}}{\left( {3\ln x + 2} \right)^5} + C\).

C. \(\dfrac{{{{\left( {3\ln x + 2} \right)}^5}}}{5} + C\).   

D. \(\dfrac{1}{5}{\left( {3\ln x + 2} \right)^5} + C\).

Câu 22. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = \left( {e + 1} \right)x\,,\,\,y = \left( {{e^x} + 1} \right)x\) là:

A. \(\dfrac{{2 - e}}{e}\).                    B. e   

C. \(\dfrac{{e - 2}}{e}\)                    D. 2e.

Câu 23. Xét f(x) là một hàm số liên tục trê đoạn [a ; b], ( với a  < b) và F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a ; b]. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. \(\int\limits_a^b {f(3x + 5)\,dx = F(3x + 5)\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right.} \).

B. \(\int\limits_a^b {f(x + 1)\,dx = F(x)\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right.} \).

C. \(\int\limits_a^b {f(2x)\,dx = 2\left( {F(b) - F(a)} \right)} \). 

D. \(\int\limits_a^b f (x)\,dx = F(b) - F(a)\).

Câu 24. Cho \(f(x) = \dfrac{{4m}}{\pi } + {\sin ^2}x\). Tìmmđể nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)  thỏa mãn F(0) = 1 và \(F\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{\pi }{8}\).

A. \( - \dfrac{3}{4}\).                        B. \(\dfrac{3}{4}\)  

C.  \( - \dfrac{4}{3}\)                        D. \(\dfrac{4}{3}\).

Câu 25. Xét hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên [a ; b]. Khẳng định nào sau đây luôn đúng ?

A. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = F(a) + F(b)} \).

. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = F(a) - F(b)} \).

C. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = F(b) - F(a)} \).   

D. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = f(b) - f(a)} \).

Câu 1. Tìm \(I = \int {{x^2}\cos x\,dx} \).

A. \({x^2}.\sin x + x.\cos x - 2\sin x + C\).  

B. \({x^2}.\sin x + 2x.\cos x - 2\sin x + C\).

C. \(x.\sin x + 2x.\cos x + C\).      

D. \(2x.\cos x + \sin  + C\).

Câu 2. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và \(y = \sqrt {x\sin x} \,\,(0 \le x \le \pi )\) là:

A. \( - \dfrac{{{\pi ^2}}}{4}\)                      B. \(\pi^2\)

C. \(\dfrac{{{\pi ^2}}}{2}\)                         D. \( - \dfrac{{{\pi ^2}}}{2}\).

Câu 3. Trong các hàm số sau hàm số nào không phải là một nguyên hàm của \(f(x) = \cos x.\sin x\) ?

A. \( - \dfrac{1}{4}\cos 2x + C\)    

B. \(\dfrac{1}{2}{\sin ^2}x + C\).

C. \( - \dfrac{1}{2}{\cos ^2}x + C\).              

D. \(\dfrac{1}{2}\cos 2x + C\).

Câu 4. Cho \(\int\limits_2^5 {f(x)\,dx = 10} \). Khi đó, \(\int\limits_5^2 {[2 - 4f(x)]\,dx} \) có giá trị là:

A. 32                               B. 34   

C. 46                               D. 40.

Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^4}}}\) là:

A. \( - \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{{{x^2}}} - \dfrac{4}{{3{x^2}}} + C\).

B. \(\dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{{{x^2}}} - \dfrac{4}{{3{x^2}}} + C\).

C. \( - \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{1}{{{x^3}}} + C\).    

D. \( - \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}} - \dfrac{4}{{3{x^2}}} + C\).

Câu 6. Hình phẳng S giới hạn bởi các đường y = x, y = 0, y= 4 – x . Hình này quay quanh trục Oy tạo nên vật thể có thể tích là V_y. Lựa chọc phương án đúng.

A. \({V_y} = 12\pi \).                      B. \({V_y} = 8\pi \)

C. \({V_y} = 18\pi \).                      D. \({V_y} = 16\pi \).

Câu 7. Tính nguyên hàm \(\int {x\sqrt {a - x} \,dx} \) ta được :

A. \({\left( {a - x} \right)^{\dfrac{5}{2}}} + ax + C\). 

B. \( - \dfrac{2}{5}{\left( {a - x} \right)^{\dfrac{5}{2}}} + ax + C\).

C.\({\left( {a - x} \right)^{\dfrac{5}{2}}} - a + C\).      

D. \(\dfrac{2}{5}{\left( {a - x} \right)^{\dfrac{5}{2}}} - \dfrac{2}{3}a{\left( {a - x} \right)^{\dfrac{3}{2}}} + C\).

Câu 8. Cho miền (D) giới hạn bởi các đường sau: \(y = \sqrt x ,\,\,y = 2 - x,\,\,y = 0\). Diện tích của miền (D) có giá tri là:

A. \(\dfrac{6}{7}\)                            B. \(\dfrac{7}{6}\)

C. 1                              D. 2.

Câu 9. Hàm số \(F(x) = \dfrac{1}{4}{\ln ^4}x + C\) là nguyên hàm của hàm số nào :
A. \(\dfrac{1}{{x{{\ln }^3}x}}\).                   B. \(x{\ln ^3}x\).

C. \(\dfrac{{{x^2}}}{{{{\ln }^3}x}}\).                      D. \(\dfrac{{{{\ln }^3}x}}{x}\).

Câu 10. Tích phân \(\int\limits_0^e {\left( {3{x^2} - 7x + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)} \,dx\) có giá trị bằng :

A. \({e^3} - \dfrac{7}{2}{e^2} + \ln \left( {1 + e} \right)\).  

B. \({e^2} - 7e + \dfrac{1}{{e + 1}}\).

C. \({e^3} - \dfrac{7}{2}{e^2} - \dfrac{1}{{{{\left( {e + 1} \right)}^2}}}\). 

D. \({e^3} - 7{e^2} - \ln \left( {1 + e} \right)\).

Câu 11. Tích phân \(\int\limits_0^4 {\left( {3x - {e^{\dfrac{x}{2}}}} \right)dx = a + b{e^2}} \) khi đó a – 10b bằng:

A. 6                            B 46  

C. 26                           D. 12.

Câu 12. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ;b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục hoành, các đường thẳng x = a, x = b là :

A. \(\int\limits_a^b {\left| {f(a)} \right|\,dx} \).   

B. \( - \int\limits_a^b {f(x)\,dx} \).

C. \(\int\limits_b^a {f(x)\,dx} \).            

D. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx} \).

Câu 13. Cho \(\int\limits_{ - 2}^1 {f(x)\,dx = 1,\,\,\int\limits_{ - 2}^1 {g(x)\,dx =  - 2} } \). Tính \(\int\limits_{ - 2}^1 {\left( {1 - f(x) + 3g(x)} \right)} \,dx\).

A. 24                               B. – 7  

C. – 4                              D. 8.

Câu 14. Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b]. Hãy chọn mệnh đề sai.

A. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = \int\limits_b^a {f(x)\,dx} } \).

B. \(\int\limits_a^b {k.dx = k\left( {b - a} \right),\,\forall k \in R} \).

C. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx =  - \int\limits_b^a {f(x)\,dx} } \)

D. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = \int\limits_a^c {f(x)\,dx + \int\limits_c^b {f(x)\,dx\,,\,\,\,c \in [a;b]} } } \)

Câu 15. Xét tích phân \(\int\limits_0^{\dfrac{x}{3}} {\dfrac{{\sin 2x}}{{1 + \cos x}}\,dx} \). Thực hiện phép đổi biến t = cosx, ta có thể đưa I về dạng nào sau đây ?

A. \(I = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {\dfrac{{2t}}{{1 + 1}}\,dt} \).  

B. \(I = \int\limits_{\dfrac{0}{2}}^{\dfrac{x}{4}} {\dfrac{{2t}}{{1 + 1}}\,dt} \).

C. \(I =  - \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {\dfrac{{2t}}{{1 + 1}}\,dt} \).    

D. \(I =  - \int\limits_{\dfrac{0}{2}}^{\dfrac{x}{4}} {\dfrac{{2t}}{{1 + 1}}\,dt} \).

Câu 16. Tìm hai số thực A, B sao cho \(f(x) = A\sin \pi x + B\), biết rằng f’(1) = 2 và \(\int\limits_0^2 {f(x)\,dx = 4} \).

A. \(\left\{ \begin{array}{l}A =  - 2\\B =  - \dfrac{2}{\pi }\end{array} \right.\).  

B. \(\left\{ \begin{array}{l}A = 2\\B =  - \dfrac{2}{\pi }\end{array} \right.\).

C. \(\left\{ \begin{array}{l}A =  - 2\\B = \dfrac{2}{\pi }\end{array} \right.\).   

D. \(\left\{ \begin{array}{l}B = 2\\A =  - \dfrac{2}{\pi }\end{array} \right.\)

Câu 17. Tính tích phân \(I = \int\limits_1^e {x\ln x\,dx} \).

A. \(I = \dfrac{1}{2}\)    

B. \(I = \dfrac{{3{e^2} + 1}}{4}\).

C. \(I = \dfrac{{{e^2} + 1}}{4}\).    

D. \(I = \dfrac{{{e^2} - 1}}{4}\).

Câu 18. Tìm nguyên hàm của \(f(x) = 4\cos x + \dfrac{1}{{{x^2}}}\)trên \((0; + \infty )\).

A. \(4\cos x + \ln x + C\).     

B. \(4\cos x + \dfrac{1}{x} + C\).

C. \(4\sin x - \dfrac{1}{x} + C\).         

D. \(4\sin x + \dfrac{1}{x} + C\).

Câu 19. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x + \dfrac{1}{x}\), trục hoành, đường thẳng x= - 1 và đường thẳng x = - 2  là:

A. \(2\ln 2 + 3\).                 

B. \(\dfrac{{\ln 2}}{2} + \dfrac{3}{4}\).

C. \(\ln 2 + \dfrac{3}{2}\).                     

D. \(\ln 2 + 1\).

Câu 20. Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin x\sqrt {8 + \cos x} } \,dx\). Đặt u = 8 + cosx thì kết quả nào sau đây đúng ?

A. \(I = 2\int\limits_8^9 {\sqrt u du} \). 

B. \(I = \dfrac{1}{2}\int\limits_8^9 {\sqrt u \,du} \).

C. \(I = \int\limits_8^9 {\sqrt u \,du} \).               

D. \(I = \int\limits_9^8 {\sqrt u \,du} \)

Câu 21. Biết F(x) là nguyên hàm của \(f(x) = \dfrac{1}{{x - 1}}\,,\,\,F(2) = 1\). Khi đó F(3) bằng :

A. \(\ln \dfrac{3}{2}\)                         B. \(\dfrac{1}{2}\)                           

C. ln 2                          D. ln2 + 1.

Câu 22. Cho hình (H) giới hạn bởi các đường \(y = \sin x,y = 0,\,x = 0,\,x = \pi \). Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi (H) quay quanh trục Ox bằng :

A. \(\pi \int\limits_0^\pi  {{{\sin }^2}x} \,dx\).  

B. \(\dfrac{\pi }{2}\int\limits_0^\pi  {{{\sin }^2}x} \,dx\).

C. \(\dfrac{\pi }{2}\int\limits_0^\pi  {{{\sin }^4}x} \,dx\).   

D. \(\pi \int\limits_0^\pi  {\sin x} \,dx\).

Câu 23. Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{2}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\,dx} \) bằng cách đặt x = 2sint. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. \(I = 2\int\limits_0^1 {dt} \).     

B. \(I = 2\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {dt} \).

C. \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{3}} {dt} \).          

D. \(I = 2\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {dt} \).

Câu 24. Tích phân \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{\sqrt {8\ln x + 1} }}{x}\,dx} \) bằng:

A. – 2   

B. \(\dfrac{{13}}{6}\)                             

C. \(\ln 2 - \dfrac{3}{4}\)

D. \(\ln 3 - \dfrac{3}{5}\).

Câu 25. Tìm họ các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{1}{{6x - 2}}\).

A. \(\int {\dfrac{{dx}}{{6x - 2}} = 6\ln |6x - 2| + C} \).

B. \(\int {\dfrac{{dx}}{{6x - 2}} = \dfrac{1}{6}\ln |6x - 2| + C} \).

C. \(\int {\dfrac{{dx}}{{6x - 2}} = \dfrac{1}{2}\ln |6x - 2| + C} \).

D. \(\int {\dfrac{{dx}}{{6x - 2}} = \ln |6x - 2| + C} \).

Câu 1. Tìm \(\int {\dfrac{{5x + 1}}{{{x^2} - 6x + 9}}\,dx} \).

A. \(I = \ln |x - 3| - \dfrac{{16}}{{x - 3}} + C\).    

B. \(I = \dfrac{1}{5}\ln |x - 3| - \dfrac{{16}}{{x - 3}} + C\).

C. \(I = \ln |x - 3| + \dfrac{{16}}{{x - 3}} + C\).     

D. \(I = 5\ln |x - 3| - \dfrac{{16}}{{x - 3}} + C\).

Câu 2. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \tan x,\,\,y = 0,\,\,x = \dfrac{\pi }{3}\) quanh Ox là:

A. \(\sqrt 3  - \dfrac{\pi }{3}\)    

B. \(\dfrac{\pi }{3} - 3\)                     

C. \(\dfrac{{{\pi ^2}}}{3} - \pi \sqrt 3 \)  

D. \(\pi \sqrt 3  - \dfrac{{{\pi ^2}}}{3}\).

Câu 3. Tìm \(I = \int {\cos \left( {4x + 3} \right)\,dx} \).

A. \(I = \sin \left( {4x + 2} \right) + C\).        

B. \(I =  - \sin \left( {4x + 3} \right) + C\).

C. \(I = \dfrac{1}{4}\sin \left( {4x + 3} \right) + C\). 

D. \(I = 4\sin \left( {4x + 3} \right) + C\).

Câu 4. Đặt \(F(x) = \int\limits_1^x {t\,dt} \). Khi đó F’(x) là hàm số nào dưới đây ?

A . F’(x) = x.          

B. F’(x) = 1.

C. F’(x) = x – 1.                  

D. F’(x) = \(\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}\).

Câu 5. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của \(f(x) = \dfrac{{2x\left( {x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) ?

A. \(2\ln |x + 1| + \dfrac{{2{x^2} + 2x + 4}}{{x + 1}}\). 

B. \(\ln \left( {x + 1} \right) + \dfrac{{2{x^2} + 2x + 4}}{{x + 1}}\).

C. \(\ln {\left( {x + 1} \right)^2} + \dfrac{{2{x^2} + 3x + 5}}{{x + 1}}\). 

D. \(\dfrac{{2{x^2} + 3x + 5}}{{x + 1}} + \ln {e^2}{\left( {x + 1} \right)^2}\).

Câu 6. Tính nguyên hàm \(\int {{{\left( {5x + 3} \right)}^3}\,dx} \) ta được:

A. \(\dfrac{1}{{20}}{\left( {5x + 3} \right)^4} + C\).  

B. \(\dfrac{1}{{20}}{\left( {5x + 3} \right)^4}\).

C. \(\dfrac{1}{4}{\left( {5x + 3} \right)^4} + C\).           

D. \(\dfrac{1}{5}{\left( {5x + 3} \right)^4} + C\).

Câu 7. Cho \(f(x) \ge g(x),\forall x \in [a;b]\). Hình phẳng S₁ giới hạn bởi đường  y = f(x), y = 0, x = a, x = b (a<b) đem quay quanh Ox có thể tích V₁. Hình phẳng S₂ giới hạn bởi đường  y = g(x), y = 0, x = a, x = b  đem quay quanh Ox có thể tích V₂. Lựa chọn phương án đúng.

A. Nếu V₁ = V₂ thì chắc chắn suy ra \(f(x) = g(x),\forall x \in [a;b]\).

B. S₁>S₂.

C. V₁ > V₂.

D. Cả 3 phương án trên đều sai.

Câu 8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : \(y = {x^2}\,,\,y = \dfrac{{{x^2}}}{8},\,\,y = \dfrac{{27}}{x}\) là:

A. 27ln2.             

B. 72ln27

C. 3ln72.                   

D. Một kết quả khác.

Câu 9. Chọn phương án đúng.

A. \(\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}}  =  - \cot x\left| {\dfrac{\pi }{4} - \dfrac{\pi }{4} =  - 2} \right.\)

B. \(\int\limits_2^1 {dx}  = 1\).

C. \(\int\limits_{ - e}^e {\dfrac{{dx}}{x} = ln|2e|}  - \ln | - e| = \ln 2\).

D. Cả 3 phương án đều sai.

Câu 10. Tính tích phân \(\int\limits_a^{\dfrac{\pi }{2} - a} {{\sin }^2}x\,dx;\,\,\dfrac{\pi }{2} > a > 0 \)

A. \( - \dfrac{1}{4}\sin \left( {\pi  - 2a} \right) - \sin 2a + \pi  - 4a\).

B. \(  \dfrac{1}{4}\left( {\sin \left( {\pi  - 2a} \right) - \sin 2a + \pi  - 4a} \right)\).

C. \( - \dfrac{1}{4}\left( {\sin \left( {\pi  - 2a} \right) - \sin 2a + \pi  - 4a} \right)\).

D. 0.

Câu 11. Tích phân \(\int\limits_0^1 {x\sqrt {{x^2} + 1} } dx = \dfrac{{a\sqrt 2  - b}}{3}\)  thì a + b bằng :

A. 2                         B. 4   

C. 3                         D. 5

Câu 12. Trong các hàm số f(x) dưới đây, hàm số nào thỏa mãn đẳng thức \(\int {f(x).\sin x\,dx =  - f(x).\cos x + \int {{\pi ^x}.\cos x\,dx} } \)?

A. \(f(x) = {\pi ^x}\ln x\).   

B. \(f(x0 =  - {\pi ^x}\ln x\).

C. \(f(x) = \dfrac{{{\pi ^x}}}{{\ln \pi }}\).      

D. \(f(x) = \dfrac{{{\pi ^x}}}{{\ln x}}\).

Câu 13. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x} + 2x\) thỏa mãn \(F(0) = \dfrac{3}{2}\). Tìm F(x) ?

A. \(F(x) = {e^x} + {x^2} + \dfrac{3}{2}\).

B. \(F(x) = {e^x} + {x^2} + \dfrac{5}{2}\)

C. \(F(x) = {e^x} + {x^2} + \dfrac{1}{2}\)

D. \(F(x) = 2{e^x} + {x^2} - \dfrac{1}{2}\).

Câu 14. Biết F(x) là  nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{1}{{x - 1}}\,,\,\,F(2) = 1\). Tính F(3).

A. \(F(3) = \dfrac{1}{2}\).        

B. \(F(3) = \ln \dfrac{3}{2}\).

C. F(3) = ln2.             

D. F(3) = ln2 + 1.

Câu 15. Hàm số \(F(x) = 3{x^2} - \dfrac{1}{{\sqrt x }} + \dfrac{1}{{{x^2}}} - 1\) có một nguyên hàm là:

A. \(f(x) = {x^3} - 2\sqrt x  - \dfrac{1}{x} - x\).

B. \(f(x) = {x^3} - \sqrt x  - \dfrac{1}{{\sqrt x }} - x\).

C. \(f(x) = {x^3} - 2\sqrt x  + \dfrac{1}{x}\).

D. \(f(x{x^3} - \dfrac{1}{2}\sqrt x  - \dfrac{1}{x} - x\).

Câu 16. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol \(y = 2 - {x^2}\) và đường thẳng \(y =  - x\) là:

A. \(\dfrac{9}{2}\).                            B. 3 

C. \(\dfrac{9}{4}\)                              D. \(\dfrac{7}{2}\).

Câu 17. Kết quả của tích phân \(\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {x + 1 + \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)\,dx} \) được viết dưới dạng a + bln2. Tính giá trị của a + b.

A. \(\dfrac{3}{2}\)                              B. \( - \dfrac{3}{2}\)

C. \(\dfrac{5}{2}\)                               D. \( - \dfrac{5}{2}\)          

Câu 18. Tìm \(I = \int {\sin 5x.\cos x\,dx} \).

A. \(I =  - \dfrac{1}{5}\cos 5x + C\). 

B. \(I = \dfrac{1}{5}\cos 5x + C\).

C. \(I =  - \dfrac{1}{8}\cos 4x - \dfrac{1}{{12}}\cos 6x + C\).  

D. \(I = \dfrac{1}{8}\cos 4x + \dfrac{1}{{12}}\cos 6x + C\).

Câu 19. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {e^x} - {e^{ - x}}\), trục hoành, đường thẳng x= - 1 và  đường thẳng x = 1.

A. \(e + \dfrac{1}{e} - 2\)

B. 0

C. \(2\left( {e + \dfrac{1}{e} - 2} \right)\).      

D. \(e + \dfrac{1}{e}\).

Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x\left( {2 + 3{x^2}} \right)\) là:

A. \({x^2}\left( {1 + \dfrac{3}{4}{x^2}} \right) + C\).  

B. \(\dfrac{{{x^2}}}{2}\left( {2x + {x^3}} \right) + C\).

C. \({x^2}\left( {2 + 6x} \right) + C\).         

D. \({x^2} + \dfrac{3}{4}{x^4}\).

Câu 21. Nguyên hàm của hàm số \(\int {\sin \left( {\dfrac{\pi }{3} - 2x} \right)\,dx} \) là:

A. \(\cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - 2x} \right) + C\). 

B. \( - \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - 2x} \right) + C\).

C. \(\dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - 2x} \right) + C\).

D. \( - \cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - 2x} \right) + C\).

Câu 22. Tính nguyên hàm \(\int {\dfrac{{dx}}{{\sqrt x  + 1}}} \) ta được :

A. \(2\sqrt x  + 2\ln \left( {\sqrt x  + 1} \right) + C\). 

B. \(2 - 2\ln \left( {\sqrt x  + 1} \right) + C\).

C. \(2\sqrt x  - 2\ln \left( {\sqrt x  + 1} \right) + C\).

D. \(2 + 2\ln \left( {\sqrt x  + 1} \right) + C\).

Câu 23. Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}\) và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng :

A. S= ln 2 – 1     

B. S = ln 4 – 1 .

C. S =ln 4 + 1.              

D. S = ln 2 + 1.

Câu 24. Tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn \(\int\limits_0^m {\left( {2x + 5} \right)\,dx = 6} \).

A. m = 1, m = - 6    

B. m = - 1 , m = - 6.

C. m = - 1, m = 6.          

D. m = 1, m = 6.

Câu 25. Biết \(\int\limits_2^4 {\dfrac{1}{{2x + 1}}\,dx = m\ln 5 + n\ln 3\,\left( {m,n \in R} \right)} \). Tính P = m – n .

A. \(P =  - \dfrac{3}{2}\).               

B. \(P = \dfrac{3}{2}\).

C. \(P =  - \dfrac{5}{3}\).          

D. \(P = \dfrac{5}{3}\).

Câu 1. Tìm \(I = \int {\dfrac{{{{\cos }^3}x}}{{1 + \sin x}}\,dx} \).

A. \(I =  - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}x + \sin x + C\).

B. \(I = \dfrac{1}{2}{\sin ^2}x + \sin x + C\).

C. \(I = {\sin ^2}x - \sin x + C\)

D. \(I =  - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}x - \sin x + C\).      

Câu 2. Một vật chuyển động với vận tốc \(v(t) = 1,2 + \dfrac{{{t^2} + 4}}{{1 + 3}}\,\,\,(m/s)\). Quãng đường vật đi được sau 4s  xấp xỉ bằng :

A. 11m                           B. 12m 

C. 13m                            D. 14m.

Câu 3. Cho hai hàm số \(f(x) = {x^2},\,\,g(x) = {x^3}\). Chọn mệnh đề đúng :

A. \(\int\limits_0^1 {f(x)\,dx \ge 0} \).     

B. \(\int\limits_0^1 {g(x)\,dx \le 0} \).

C. \(\int\limits_0^1 {g(x)\,dx \ge \int\limits_0^1 {f(x)\,dx} } \). 

D. \(\int\limits_0^1 {f(x)\,dx \le 0} \).

Câu 4. Đặt \(I = \int\limits_1^e {\ln x\,dx} \). Lựa chọn phương án đúng :

A. I = 1.                        

B. Cả ba phương án đều sai.

C. I = 2 – e                                   

D. I = 3 – 1 .

Câu 5. Cho f(x) là hàm liên tục trên (a ; b) và không phải là hàm hằng. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x). Lựa chọn phương án đúng:

A. F(x) –C không phải là nguyên hàm của f(x) với mọi số thực C.

B. F(x) +2C không phải là nguyên hàm của f(x) với mọi số thực C.

C. CF(x) không phải là nguyên hàm của f(x) với mọi số thực \(C \ne 1\).

D. Cả 3 phương án đều sai.

Câu 6. Tính nguyên hàm \(\int {{{\left( {{e^3}} \right)}^{\cos x}}\sin x\,dx} \) ta được:

A. \( - {e^{3\cos x}} + C\).       

B. \({e^{3\cos x}} + C\).

C. \( - \dfrac{{{e^{3\cos x}}}}{3} + C\).                 

D. \(\dfrac{{{e^{3\cos x}}}}{3} + C\).

Câu 7. Tính nguyên hàm \(\int {\dfrac{{2{x^2} - 7x + 7}}{{x - 2}}\,dx} \) ta được:

A. \({x^2} - 3x - \ln |x - 2| + C\).   

B. \({x^2} - 3x + \ln |x - 2| + C\).

C. \(2{x^2} - 3x - \ln |x - 2| + C\)

D.\(2{x^2} - 3x + \ln |x - 2| + C\).

Câu 8. Chọn phương án đúng .

A. \(\int {\dfrac{{dx}}{{{x^\alpha }}} = \dfrac{{{x^{1 - \alpha }}}}{{1 - \alpha }} + C\,,\forall \alpha  \in R} \).

B. \(\int {\dfrac{{dx}}{x} = \ln |Cx|} \), với C là hằng số .

C. \(\int {\dfrac{{dx}}{{\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)}} = \dfrac{1}{{a - b}}\ln \left| {\dfrac{{x + b}}{{x + a}}} \right| + C} \), với mọi số thực a, b.

D. Cả 3 phương án trên đều sai.

Câu 9. Tính nguyên hàm \(\int {{3^{{x^2}}}x\,dx} \) ta được:

A. \(\dfrac{{{3^{{x^2}}}}}{2}\ln 3 + C\).         

B. \({3^{{x^2}}} + C\).

C. \(\dfrac{{{3^{{x^2}}}}}{{2\ln 3}} + C\).            

D. \(\dfrac{{{3^{{x^2}}}}}{2} + C\).

Câu 10. Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x.\cos \left( {a - x} \right)\,dx} \).

A. \(I = \left( {1 - \dfrac{\pi }{2}} \right)\cos a + \sin a\).

B. \(I = \left( {1 - \dfrac{\pi }{2}} \right)\cos a - \sin a\).

C. \(I = \left( {\dfrac{\pi }{2} - 1} \right)\cos a + \sin a\).

D. \(I = \left( {1 + \dfrac{\pi }{2}} \right)\cos a - \sin a\)

Câu 11. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3}\), trục hoành và hai đường thẳng x = - 1 , x = - 2 .

A. 17                           B. \(\dfrac{{17}}{4}\)

C. \(\dfrac{{15}}{4}\)                           D. 4.

Câu 12. Tìm hàm số F(x) biết rằng \(F'(x) = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) và đồ thị của hàm số F(x) đi qua điểm \(M\left( {\dfrac{\pi }{6};0} \right)\).

A. \(F(x) = \cot x + \sqrt 3 \).    

B. \(F(x) =  - \cot x + \sqrt 3 \).

C. \(F(x) = \dfrac{1}{{\sin x}} + \sqrt 3 \).     

D. \(F(x) =  - \dfrac{1}{{\sin x}} + \sqrt 3 \).

Câu 13. Xét hàm số f(x) có \(\int {f(x)\,dx = F(x) + C} \). Với a, b là các số thực và \(a \ne 0\), khẳng định nào sau đây luôn đúng ?

A. \(\int {f(ax + b) = \dfrac{1}{a}F(ax + b) + C} \). 

B. \(\int {f(ax + b) = aF(ax + b) + C} \).

C. \(\int {f(ax + b) = F(ax + b) + C} \).

D. \(\int {f(ax + b) = aF(x) + b + C} \).

Câu 14. Biến đổi \(\int\limits_0^3 {\dfrac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}\,dx} \)thành \(\int\limits_1^2 {f(t)\,dt\,,\,\,t = \sqrt {x + 1} } \). Khi đó f(t) là hàm nào trong các hàm số sau ?

A. \(f(t) = 2{t^2} + 2t\).            

B. \(f(t) = 2{t^2} - 2t\).

C. \(f(t) = {t^2} + t\).           

D. \(f(t) = {t^2} - t\).

Câu 15. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0 ; 6]. Nếu \(\int\limits_1^5 {f(x)\,dx = 2\,,\,\,\int\limits_1^3 {f(x)\,dx = 7} } \) thì \(\int\limits_3^5 {f(x)\,dx} \) có giá trị bằng bao nhiêu ?

A. 5                             B. -5      

C. 9                              D. -9 .

Câu 16. Cho tích phân \(I = \int\limits_a^b {f(x).g'(x)\,dx} \) , nếu đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f(x)\\dv = g'(x)\,dx\end{array} \right.\) thì:

A. \(I = f(x).g'(x)\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. - \int\limits_a^b {f'(x).g(x)\,dx} \)

B. \(I = f(x).g(x)\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. - \int\limits_a^b {f(x).g(x)\,dx} \).

C. \(I = f(x).g(x)\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. - \int\limits_a^b {f'(x).g(x)\,dx} \)

D. \(I = f(x).g'(x)\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. - \int\limits_a^b {f(x).g'(x)\,dx} \).

Câu 17. Biết \(\int\limits_1^4 {f(t)\,dt = 3,\,\,\int\limits_1^2 {f(t)\,dt = 3} } \). Phát biểu nào sau đây nhân giá trị đúng ?

A. \(\int\limits_2^4 {f(t)\,dt = 3} \).        

B. \(\int\limits_2^4 {f(t)\,dt =  - 3} \).

C. \(\int\limits_2^4 {f(t)\,dt = 6} \).       

D. \(\int\limits_2^4 {f(t)\,dt = 0} \).

Câu 18.Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^{2x}}{.3^x}{.7^x}\).

A. \(\int {f(x)\,dx = \dfrac{{{{84}^x}}}{{\ln 84}} + C} \).

B. \(\int {f(x)\,dx = \dfrac{{{2^{2x}}{3^x}{7^x}}}{{\ln 4.\ln 3.\ln 7}} + C} \).

C. \(\int {f(x)\,dx = {{84}^x} + C} \). 

D. \(\int {f(x)\,dx = {{84}^x}\ln 84 + C} \).

Câu 19. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x  - x\) và trục hoành.

A. 1                            B. \(\dfrac{1}{6}\)       

C. \(\dfrac{5}{6}\)                           D. \(\dfrac{1}{3}\).

Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}\).

A. \(\dfrac{{{x^3}}}{3} - 2x - \dfrac{1}{x} + C\).

B. \(\dfrac{{{x^3}}}{3} - 2x + \dfrac{1}{x} + C\).

C. \(\dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{1}{x} + C\).              

D. \(\dfrac{{{x^3}}}{2} + 2x - \dfrac{1}{x} + C\).

Câu 21. Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{{\cos 2x}}{{{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x}}\)  là:

A. \(\cot x - \tan x\).         

B. \( - \cot x + \tan x\).

C. \( - \cot x - \tan x\).          

D. \(\cot x + \tan x\).

Câu 22. Tính tích phân \(\int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\cot x\,dx} \) ta được kết quả là :

A. \(\ln \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).   

B. \(\ln \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

C. \( - \ln \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).                 

D. \( - \ln \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Câu 23. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình \(y = {x^{\dfrac{1}{2}}}{e^{\dfrac{x}{2}}}\), trục Ox, x =1 , x = 2 quay một vòng quanh trục Ox bằng :

A. \(\pi e\).                        B. \(2\pi {e^2}\)   

C. \(4\pi \)                         D. \(16\pi \).

Câu 24. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 1, y = x và đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{{x^2}}}{4}\) trong miền \(x \ge 0,y \le 1\) là \(\dfrac{a}{b}\). Khi đó b – a bằng:

A. 4                              B. 2  

C. 3                              D. - 1

Câu 25. Cho \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2x + 1} \right){e^x}\,dx} \). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 2x + 1\\dv = {e^x}\,dx\end{array} \right.\). Chọn khẳng định đúng .

A.   A. \(I = 3e - 1 + 2\int\limits_0^1 {{e^x}\,dx} \).  

B. \(I = 3e - 1 - 2\int\limits_0^1 {{e^x}\,dx} \).

C. \(I = 3e - 2\int\limits_0^1 {{e^{x\,}}\,dx} \).            

D. \(I = 3e + 2\int\limits_0^1 {{e^x}\,dx} \).