|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
C
|
D
|
D
|
A
|
C
|
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
|
B
|
A
|
D
|
D
|
D
|
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
|
B
|
C
|
D
|
A
|
B
|
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
|
B
|
D
|
A
|
A
|
C
|
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
|
B
|
C
|
A
|
B
|
D
|
Câu 1: (C)
\(\begin{array}{l}{z^3} - {z^2} - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {z - 1} \right)\left( {{z^2} + 2z + 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z - 1 = 0\\{z^2} + 2z + 2 = 0\end{array} \right.\end{array}\)\(\)
Giải pt (2)
Ta có \(\Delta = {(b')^2} - a.c = 1 - 2 = - 1 = {i^2}\)
\(\Delta \) có hai căn bậc hai là i và – i
Nghiệm của pt (2) là \({x_1} = - 1 - {\rm{ }}i\) và
Tập nghiệm S trên trường số phức là: S={ 1, -1- i, -1+ i}
Câu 2: (D)
\(\begin{array}{l}z = \dfrac{{1 + 2i}}{{1 - i}} = \dfrac{{\left( {1 + 2i} \right).\left( {1 + i} \right)}}{{\left( {1 - i} \right)\left( {1 + i} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{1 + 3i + 2.{i^2}}}{{1 - {i^2}}} = \dfrac{{ - 1 + 3.i}}{2}\\\,\,\,\, = \dfrac{{ - 1}}{2} + \dfrac{3}{2}i\\ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt {10} }}{2}\end{array}\)
Câu 3: (D)
\(\begin{array}{l}z = \dfrac{{1 - i}}{{1 + i}} - 3 + 4i\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{\left( {1 - i} \right)}^2}}}{{1 - {i^2}}} - 3 + 4i\\\,\,\,\,\, = - i - 3 + 4i = - 3 + 3i\end{array}\)
Số phức liên hợp của z là: \(\overline z = - 3 - 3i\)
Câu 4: (A)
Câu 5: (C)
Đặt z = a + bi \(a,b \in \mathbb{Z}\)
\(\begin{array}{l}z + \left( {2 + i} \right)\overline z = 3 + 5i\\ \Leftrightarrow \left( {a + bi} \right) + \left( {2 + i} \right)\left( {a - bi} \right) = 3 + 5i\\ \Leftrightarrow 3a + b + ai - bi = 3 + 5i\\ \Leftrightarrow 3a + b + \left( {a - b} \right)i = 3 + 5i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a + b = 3\\a - b = 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 3\end{array} \right.\left( {tm} \right)\\ \Rightarrow z = 2 - 3i\\ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {13} \end{array}\)
Câu 6: (B)
Câu 7: (A) \({z^2} + 2z + 10 = 0\)
Có \(\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac = 1 - 10 = - 9 = {\left( {3i} \right)^2}\)
\(\Delta \) có hai căn bậc hai là 3i và – 3i
Phương trình có hai nghiệm \({z_1} = {\rm{ }} - 1{\rm{ }} + {\rm{ }}3i\) và \({z_2} = {\rm{ }} - 1{\rm{ }}--{\rm{ }}3i\)
\(\begin{array}{l}\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {10} \\ \Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} = {\left| {{z_2}} \right|^2} = 10\\ \Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 20\end{array}\)
Câu 8: (D)
\(\begin{array}{l}z{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}3i\\ \Rightarrow 2iz - \overline z = {\rm{ }}2i\left( {2{\rm{ }} + 3i} \right){\rm{ }}--{\rm{ }}\left( {2{\rm{ }}--{\rm{ }}3i} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4i - 6 - 2 + 3i\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 8 + 7i\end{array}\)
Câu 9: (D)
Câu 10: (D)
Câu 11: (B)
Câu 12: (C)
\(\begin{array}{l}\dfrac{{x - 3}}{{3 + i}} + \dfrac{{y - 3}}{{3 - i}} = i\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {3 - i} \right) + \left( {y - 3} \right)\left( {3 + i} \right) = i\left( {3 - i} \right)\left( {3 + i} \right)\\ \Leftrightarrow 3\left( {x - 3} \right) - \left( {x - 3} \right)i + 3\left( {y - 3} \right) + \left( {y - 3} \right)i = 10i\\ \Leftrightarrow 3\left( {x + y - 6} \right) + \left( {y - x} \right)i = 10i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y - 6 = 0\\y - x = 10\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 6\\y - x = 10\end{array} \right.\end{array}\)
Câu 13: (D)
Đặt \(z = a + bi;\,\,\,\,a,b \in \mathbb{Z}\)
\(\begin{array}{l}|z| + z = 3 + 4i\\ \Rightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} + a + bi = 3 + 4i\\\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{a^2} + {b^2}} + a = 3{\rm{ (1)}}\\b = 4{\rm{ (2)}}\end{array} \right.\end{array}\)
Thay (2) v ào (1) ta được:
\(\begin{array}{l}\sqrt {{a^2} + {{16}^2}} + a = 3\\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{16}^2}} = 3 - a\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \le 3\\6a = - 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \le 3\\a = \dfrac{{ - 7}}{6}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow a = \dfrac{{ - 7}}{6}\\ \Rightarrow z = - \dfrac{7}{6} + 4i\end{array}\)
Câu 14: (A)
Đặt z = x +yi M(x,y) \(x,y \in \mathbb{Z}\)
\(\begin{array}{l}|z - 2 - 2i| = 1\\ \Leftrightarrow |x + yi - 2 - 2i| = 1\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 2} \right)i} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{(y - 2)}^2}} = 1\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1\end{array}\)=1
Điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường tròn tâm I(2,2), bán kính r = 1
Ta lại có: \(\left| {z--i} \right| = \left| {x + yi--i} \right| \)\(\,= \left| {x + \left( {y--1} \right)} \right| = \sqrt {{x^2} + {{(y - 1)}^2}} \)
Lấy H(0, 1) suy ra \(HM = \sqrt {{x^2} + {{(y - 1)}^2}} \)
Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH nhỏ nhất khi M là giao điểm của HI với đường tròn.
Có H(0,1) , I(2,2) nên \(\overrightarrow {HI} = \left( {2;1} \right)\) = (2,1)
Pt đường thẳng HI: (1) \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 + t\end{array} \right.\)
Mặt khác, HI giao với đường tròn tại M nên thay (1) vào pt đường tròn ta được :
\(\begin{array}{l}{\left( {2t - 2} \right)^2} + {\left( {t - 1} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow 5{\left( {t - 1} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} = \dfrac{1}{5}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 1 = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\\t - 1 = - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\\t = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{M_1} = \left( {2 + \dfrac{2}{{\sqrt 5 }},2 + \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)\\{M_2} = \left( {2 - \dfrac{2}{{\sqrt 5 }},2 - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)\end{array} \right.\\\\\end{array}\)
Có \(H{M_1} = \sqrt 5 + 1;\,\,H{M_2} = \sqrt 5 - 1\)
\(|z - i{|_{\min }} \Leftrightarrow |z - i| = H{M_2} = \sqrt 5 - 1\) với \({M_2} = \left( {2 - \dfrac{2}{{\sqrt 5 }},2 - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)\)
Câu 15: (B)
\(\begin{array}{l}w = 3{z_1}--2{z_2}\\\,\,\,\,\,\, = 3\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}2i} \right)--2\left( {2--3i} \right)\\\,\,\,\,\,\, = 3 + 6i - 4 + 6i\\\,\,\,\,\,\, = - 1 + 12i\end{array}\)
Phần thực: -1 , phần ảo: 12
Câu 16: (B) Đặt \(z = a + bi;\,\,\,\,a,b \in \mathbb{Z}\)
\(\begin{array}{l}\left| {z + 3} \right| + \left| {z--3} \right| = 10\\ \Leftrightarrow |a + bi + 3| + |a + bi - 3| = 10\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}} + \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}} = 10\end{array}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:
\(10 = \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}} + \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}} \)\(\,\le \sqrt {2{\rm{[}}{{(a + 3)}^2} + {b^2} + {{(a - 3)}^2} + {b^2}{\rm{]}}}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {2\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 18} \right)} \ge 10\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 9 \ge 25\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 16\\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} \ge 4\\ \Leftrightarrow |z| \ge 4\\ \Leftrightarrow |z{|_{\min }} = 4\end{array}\)
Câu 17: (D)
\(\begin{array}{l}2{z^4} + {z^2} - 1 = 0\\\Delta = {b^2} - 4ac = 1 + 4.2 = 9\end{array}\)
Nghiệm của phương trình là:
\(\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{z^2} = \dfrac{{ - 1 - 3}}{4} = - 1 = {i^2}\\{z^2} = \dfrac{{ - 1 + 3}}{4} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \pm i\\z = \pm \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\end{array}\)
Câu 18: (A)
\(\left| z \right| = \left| {2 + 2i} \right| = 2\sqrt 2 \)
Đặt z= a+ bi
\(\begin{array}{l}|z| = 2\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow |a + bi| = 2\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 2\sqrt 2 \end{array}\)
Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z là đường tròn có tâm O(0,0), bán kính \(r = 2\sqrt 2 \)
Câu 19: (A)
Câu 20: (C)
\({z_1} + {z_2} = 1--2i + 2 + 3i = 3 + i\)
Câu 21: (B)
Câu 22: (C) Đặt z = x + yi
\(\begin{array}{l}|z + 1 - i| \le 3\\ \Leftrightarrow |x + yi + 1 - i| \le 3\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {x + 1} \right) + \left( {y - 1} \right) \le 3} \right|\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \le 3\end{array}\)
Điểm biểu diễ số phức z là một hình tròn tâm I(-1,1), bán kính \(r = 3\)
Câu 23: (A) \({z_1} + {z_2} = 4 + 5i + 1 + 2i = 5 + 7i\)
Câu 24: (B)
Câu 25: (D)
