|
Câu
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
Đáp án
|
D
|
A
|
B
|
A
|
C
|
|
Câu
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
|
Đáp án
|
D
|
D
|
A
|
A
|
B
|
|
Câu
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
|
Đáp án
|
C
|
A
|
A
|
B
|
C
|
|
Câu
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
|
Đáp án
|
A
|
A
|
B
|
B
|
A
|
Câu 1:
Phương pháp tự luận
Mặt phẳng \((P)\) cắt mặt cầu \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 12\) theo đường tròn có chu vi lớn nhất nên mặt phẳng \((P)\) đi qua tâm \(I(1; - 2;0)\).
Phương trình mặt phẳng \((P)\) song song với mặt phẳng \(Oxz\) có dạng :\(Ay + B = 0\)
Do \((P)\) đi qua tâm \(I(1; - 2;0)\)có phương trình dạng: \(y + 2 = 0\).
Phương pháp trắc nghiệm
+) Mặt phẳng \((P)\) song song với mặt phẳng \(Oxz\) nên lọai đáp án D.
+) Mặt phẳng \((P)\)đi qua tâm \(I(1; - 2;0)\)nên thay tọa độ điểm \(I\)vào các phương trình loại được đáp án B,C.
Câu 2:
Phương pháp tự luận:
+) Gọi \(H,K\)lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(M\)trên mặt phẳng\((\alpha )\) và trục \(Oy\).
Ta có : \(K(0;2;0)\)
\(d(M,(\alpha )) = MH \le MK\)
Vậy khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng\((\alpha )\) lớn nhất khi mặt phẳng\((\alpha )\)qua \(K\) và vuông góc với\(MK\).
Phương trình mặt phẳng: \(x + 3z = 0\)
Câu 3:
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1,2,3} \right),R = 3\).
Ta có \(IA < R\) nên điểm \(A\)nằm trong mặt cầu.
Ta có : \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {r^2}} \)
Diện tích hình tròn \(\left( C \right)\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \)\(r\)nhỏ nhất \( \Leftrightarrow d\left( {I,\left( P \right)} \right)\) lớn nhất.
Do \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) \le IA\)\( \Rightarrow \max d\left( {I,\left( P \right)} \right) = IA\) Khi đó mặt phẳng\(\left( P \right)\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow {IA} \) làm vtpt
\( \Rightarrow \left( P \right):x + 2y + z - 2 = 0\)
Câu 4:
Gọi \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) lần lượt là giao điểm của \(\left( P \right)\) với các trục \(Ox,Oy,Oz\)
\( \Rightarrow \)\(\left( P \right):\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\left( {a,b,c \ne 0} \right)\)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{N \in \left( P \right)}\\{NA = NB}\\{NA = NC}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 1}\\{\left| {a - 1} \right| = \left| {b - 1} \right|}\\{\left| {a - 1} \right| = \left| {c - 1} \right|}\end{array}} \right. \)
\(\Leftrightarrow a = b = c = 3 \Rightarrow x + y + z - 3 = 0\)
Câu 5:
Gọi \(M\left( {a;0;0} \right),N\left( {0;b;0} \right)\) lần lượt là giao điểm của \(\left( P \right)\) với các tia \(Ox,Oy\)\(\left( {a,b > 0} \right)\)
Do \(OM = 2ON\)\( \Leftrightarrow a = 2b\)\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} \left( { - 2b;b;0} \right) = - b\left( {2; - 1;0} \right)\) .Đặt \(\overrightarrow u \left( {2; - 1;0} \right)\)
Gọi \(\overrightarrow n \) là môt vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\)\( \Rightarrow \)\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( { - 1;2;1} \right)\)
Phương trình măt phẳng \(\left( P \right):x - 2y - z + 2 = 0\).
Câu 6:
Trường hợp 1:\(CD//\left( P \right)\)
\(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 6; - 10; - 14} \right)\)\(\, = - 2\left( {3;5;7} \right)\)
\( \Rightarrow \left( P \right):3x + 5y + 7z - 20 = 0\)
Trường hợp 2:\(\left( P \right)\) đi qua trung điểm \(I\left( {1;1;2} \right)\) của \(CD\)
\(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AI} } \right] = \left( {1;3;3} \right) \)
\(\Rightarrow \left( P \right):x + 3y + 3z - 10 = 0\).
Câu 7:
Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( { - 1;{\rm{ 3}};2} \right)\)và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;\,2;\,1} \right)\).
Gọi H là hình chiếu của I trên D. Ta có : \(IH = d\left( {I;AB} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt {18} \)
\( \Rightarrow {R^2} = I{H^2} + {\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)^2} = 36\).
Vậy phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 36.\)
Lựa chọn đáp án D.
Câu 8:
Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( { - 1;{\rm{ 3}};2} \right)\)và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;\,2;\,1} \right)\).
Gọi H là hình chiếu của I trên D. Ta có : \(IH = d\left( {I;AB} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt {18} \).
\( \Rightarrow IH = R.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow R = \dfrac{{2IH}}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 6 \).
Vậy phương trình mặt cầu là : \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 24.\)
Lựa chọn đáp án A.
Câu 9:
Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( { - 1;{\rm{ 3}};2} \right)\)và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;\,2;\,1} \right)\).
Gọi H là hình chiếu của I trên D. Ta có: \(IH = d\left( {I;AB} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt {18} \).
\( \Rightarrow R = IA = 2\sqrt {18} \).
Vậy phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 72.\)
Lựa chọn đáp án A.
Câu 10: Gọi H là hình chiếu của \(I\left( {3;\sqrt 3 ; - 7} \right)\) trên Oy\( \Rightarrow H\left( {0;\sqrt 3 ;0} \right)\)\( \Rightarrow R = IH = \sqrt {58} \)
Vậy phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {z + 7} \right)^2} = 58.\)
Lựa chọn đáp án B.
Câu 11:
Gọi H là hình chiếu của \(I\left( {\sqrt 5 ;3;9} \right)\) trên Ox\( \Rightarrow H\left( {\sqrt 5 ;0;0} \right)\)\( \Rightarrow R = IH = \sqrt {90} \)
Vậy phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - \sqrt 5 } \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 9} \right)^2} = 90.\)
Lựa chọn đáp án C.
Câu 12:
Gọi 3 đỉnh theo thứ tự là \(A,B,C\)
\(\overrightarrow {AB} = \left( {1;2;3} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {6;6;4} \right)\)
\({S_{hbh}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| \)\(\,= \sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2} + {{14}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = 2\sqrt {83} \)
Câu 13:
\(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng thì \(\left[ {\overrightarrow {\overrightarrow a ,b} } \right].\overrightarrow c = 0 \Rightarrow x = 2.\)
Câu 14: \(\overrightarrow {MA} = \left( {2 - m;5 - m;1 - m} \right),\)\(\,\overrightarrow {MB} = \left( { - 2 - m; - 6 - m;2 - m} \right),\)\(\,\overrightarrow {MC} = \left( {1 - m;2 - m; - 1 - m} \right)\)
\(M{A^2} - M{B^2} - M{C^2} \)\(\,= - 3{m^2} - 24m - 20 \)\(\,= 28 - 3{\left( {m - 4} \right)^2} \le 28\)
Để \(M{A^2} - M{B^2} - M{C^2}\)đạt giá trị lớn nhất thì \(m = 4\)
Câu 15: Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1;2} \right),\,\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 2;1} \right) \)
\(\Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\)
\(\overrightarrow {DC} = \left( { - 2; - 2;4} \right),\,\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1;2} \right) \)
\(\Rightarrow \overrightarrow {DC} = 2.\overrightarrow {AB} \)
\( \Rightarrow ABCD\) là hình thang và \({S_{ABCD}} = 3{S_{ABC}} = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{2}\)
Vì \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} \Rightarrow SH = 3\sqrt 3 \)
Lại có \(H\) là trung điểm của \(CD \Rightarrow H\left( {0;1;5} \right)\)
Gọi \(S\left( {a;b;c} \right) \)
\(\Rightarrow \overrightarrow {SH} = \left( { - a;1 - b;5 - c} \right)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow {SH} = k\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = k\left( {3;3;3} \right) \)\(\,= \left( {3k;3k;3k} \right)\)
Suy ra \(3\sqrt 3 = \sqrt {9{k^2} + 9{k^2} + 9{k^2}} \Rightarrow k = \pm 1\)
+) Với \(k = 1 \Rightarrow \overrightarrow {SH} = \left( {3;3;3} \right) \)\(\,\Rightarrow S\left( { - 3; - 2;2} \right)\)
+) Với \(k = - 1 \Rightarrow \overrightarrow {SH} = \left( { - 3; - 3; - 3} \right) \Rightarrow S\left( {3;4;8} \right)\)
Suy ra \(I\left( {0;1;3} \right)\)
Câu 16:
Đường thẳng\(AB\)cắt mặt phẳng \((Oyz)\) tại điểm \(M \Rightarrow M(0;y;z)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MA} = (2; - 1 - y;7 - z),\)\(\,\overrightarrow {MB} = (4;5 - y; - 2 - z)\)
Từ \(\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} \) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2 = k.4\\ - 1 - y = k\left( {5 - y} \right)\\7 - z = k\left( { - 2 - z} \right)\end{array} \right. \Rightarrow k = \dfrac{1}{2}\)
Câu 17:
\(D \in Oy \Rightarrow D(0;y;0)\)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;2} \right),\)\(\,\overrightarrow {AD} = \left( { - 2;y - 1;1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 2;4} \right)\)
\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0; - 4; - 2} \right) \)
\(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = - 4y + 2\) \({V_{ABCD}} = 5 \)
\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{6}\left| { - 4y + 2} \right| = 5 \Leftrightarrow y = - 7;y = 8\)
\( \Rightarrow {D_1}\left( {0; - 7;0} \right),\,{D_2}\left( {0;8;0} \right) \Rightarrow {y_1} + {y_2} = 1\)
Câu 18:
\(\left( {\dfrac{1}{3}; - \dfrac{1}{3}; - \dfrac{1}{3}} \right)\) có tâm \(\left( {\dfrac{5}{3};\dfrac{7}{3};\dfrac{7}{3}} \right)\) và bán kính \(\left( {1; - 2;1} \right)\)
\(d(M,(P)) = 3 > R = 2 \Rightarrow (P) \cap (S) = \emptyset .\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.,t \in \mathbb{R}.\) cắt \(A\left( {\dfrac{5}{3};\dfrac{7}{3};\dfrac{7}{3}} \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn
Chọn đáp án B.
Câu 19:
\((P)\) tiếp xúc \(M\left( { - \dfrac{{11}}{3};\dfrac{{14}}{3};\dfrac{{13}}{3}} \right)\) \(M\left( {\dfrac{{29}}{3}; - \dfrac{{26}}{3}; - \dfrac{7}{3}} \right)\)
Chọn đáp án B.
Câu 20:
\((S)\) tiếp xúc \((P)\) \( \Rightarrow \)
\(M \in (d)\)
Chọn đáp án A.
