Bài 1.
a) Ta có \(DN\parallel AB,DM\parallel AC\)
\( \Rightarrow ANDM\) là hình bình hành
\( \Rightarrow OA = OD\) hay A và D đối xứng với nhau qua điểm O.
b) D là trung điểm của BC (gt), \(DM\parallel AC\)
\( \Rightarrow M\) là trung điểm của AB
Tương tự N là trung điểm của AC
Do đó MN là đường trung bình của \(\Delta ABC\)
\( \Rightarrow MN = {1 \over 2}BC = {1 \over 2}.16 = 8cm\) .
Bài 2.
a) Ta có AB = CD (cạnh hình thoi)
BE = DC (gt)
\( \Rightarrow AB + BE = CD + DG\) hay AE = CG
Xét \(\Delta AHE\) và \(\Delta CFG\;(c.g.c)\) \Rightarrow HE = FG\)
Chứng minh tương tự ta có HG = FG
Do đó tứ giác EFGH là hình bình hành (các cạnh đối bằng nhau).
b) Nối E và G. Xét \(\Delta OBE\) và \(\Delta ODG\) có BE = DG (gt), \(\widehat {OBE} = \widehat {ODG}\) (so le trong), OB = OD (tính chất đường chéo của hình thoi ABCD)
\( \Rightarrow \Delta OBE = \Delta ODG\left( {c.g.c} \right)\)
\(\Rightarrow \widehat {BOE} = \widehat {DOG}\)
Mà \(\widehat {DOG} + \widehat {GOB} = {180^ \circ }\) (B, O , D thẳng hàng)
\( \Rightarrow \widehat {DOG} + \widehat {GOB} = {180^ \circ } \Rightarrow \) Ba điểm G, O, E thẳng hàng.
Chứng minh tương tự ta có H, O, F thẳng hàng.
Vậy O là tâm đối xứng của hình bình hành EFGH.
c) Hình bình hành EFGH là hình thoi \( \Leftrightarrow HE = {\rm{EF}}\)
\( \Leftrightarrow \Delta HAE = \Delta EBF\left( {c.c.c} \right)\)
\(\Leftrightarrow \widehat {HAE} = \widehat {EBF}\) mà \(\widehat {EBF} = \widehat {EAD}\) (đồng vị)
\( \Leftrightarrow \widehat {HAE} = \widehat {EAD}\) mà \(\widehat {HAE} + \widehat {EAD} = {180^ \circ }\) (kề bù)
\( \Leftrightarrow \widehat {HAE} = \widehat {EAD} = {90^ \circ } \Leftrightarrow \) hình thoi ABCD có 1 góc vuông.
\( \Leftrightarrow ABCD\) là hình vuông.
Vậy hình thoi ABCD phải là hình vuông thì hình bình hành EFGH trở thành hình thoi.
