Bài 1. Ta có:
\(\eqalign{ & A = {\sin ^2}10^\circ + {\sin ^2}20^\circ + {\sin ^2}30^\circ + {\sin ^2}40^\circ + {\sin ^2}50^\circ + {\sin ^2}60^\circ + {\sin ^2}70^\circ + {\sin ^2}80^\circ \cr & = \left( {{{\sin }^2}10^\circ + {{\sin }^2}80^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}20^\circ + {{\sin }^2}70^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}30^\circ + {{\sin }^2}60^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}40^\circ + {{\sin }^2}50^\circ } \right) \cr & = \left( {{{\sin }^2}10^\circ + {{\cos }^2}10^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}20^\circ + {{\cos }^2}20^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}30^\circ + {{\cos }^2}30^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}40^\circ + {{\cos }^2}40^\circ } \right) \cr & = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 \cr} \)
Bài 2. a. Ta có:
\(\eqalign{ & AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}} = \sqrt {{{15}^2} - {{12}^2}} = 9\,\left( {cm} \right) \cr & \sin B = {{AC} \over {BC}} = {{12} \over {15}} = {4 \over 5} \Rightarrow \widehat B \approx 53^\circ \cr} \)
Do đó: \(\widehat C \approx 90^\circ - 53^\circ = 37^\circ \)
b. ∆ABC vuông có đường cao AH, ta có: AH.BC = AB.AC (định lí 3)
\( \Rightarrow AH = {{AB.AC} \over {BC}} = {{9.12} \over {15}} = 7,2\,\left( {cm} \right)\)
AD là phân giác của ∆ABC (gt)
\(\widehat {BAD} = \widehat {DAC} = {{\widehat {BAC}} \over 2} = {{90^\circ } \over 2} = 45^\circ \)
Lại có: \(\widehat {HAC} = \widehat B \approx 53^\circ \) (cùng phụ với góc C)
\( \Rightarrow \widehat {HAD} = \widehat {HAC} - \widehat {DAC} \approx 53^\circ - 45^\circ = 8^\circ \)
Xét tam giác vuông AHD ta có:
\(AH = AD.\cos \widehat {HAD} \Rightarrow AD = {{AH} \over {\cos \widehat {HAD}}} = {{7,2} \over {\cos 8^\circ }} \approx 7,27cm.\)
Bài 3.
ABCD là hình bình hành nên \(\widehat C = \widehat A = \alpha \) và \(DC = AB = a\)
Ta có: ∆BDC vuông tại B (gt) nên \(BC = DC.\cosα = a.\cosα\)
Kẻ đường cao BH của tam giác BDC,
ta có ∆BHC vuông tại H:
\(BH = BC.\sin C = a.\cosα.\sinα.\)
Do đó: \({S_{ABCD}} = DC.BH \)\(\;= a.a.\cos \alpha .\sin \alpha = {a^2}.cos\alpha .sin\alpha \) (đvdt)
Bài 4.
\(\tan \alpha = 0,75 = {3 \over 4}\)
- Dựng góc vuông \(\widehat {xAy}\)
- Trên tia Ax lấy \(AB = 3.\)
- Trên tia Ay lấy \(AC = 4.\)
- Nối B với C
Ta được góc ACB là góc \(α\) cần dựng.