ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 1 (ĐỀ THI HỌC KÌ 1) - TOÁN 9

Bài 1: 

1) Thực hiện phép tính:

a) \(\sqrt 8  - 2\sqrt {18}  + 5\sqrt {32}  - \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}^2}} \)

b) \(\dfrac{{5 + 6\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }} + \dfrac{{7 - \sqrt 7 }}{{\sqrt 7  - 1}} - \left( {\sqrt 5  + \sqrt 7 } \right)\)

2) Giải phương trình: \(x - \sqrt {x - 15}  = 17\).

Bài 2:  Cho biểu thức \(P = \dfrac{{3x + \sqrt {9x}  - 3}}{{x + \sqrt x  - 2}} - \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 2}} + \dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{1 - \sqrt x }}\) với \(x \ge 0,x \ne 1\)

a) Rút gọn biểu thức \(P\).

b) So sánh \(P\) với \(\sqrt P \) với điều kiện \(\sqrt P \)có nghĩa

c) Tìm \(x\) để \(\dfrac{1}{P}\) nguyên.

Câu 3:  Cho đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)  :y = \left( {m - 1} \right)x + 2m + 1\).

a) Tìm \(m\) để đường thẳng \({d_1}\) cắt trục tung tại điểm có tung độ là \( - 3\). Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được và chứng tỏ giao điểm của đồ thị hàm số vừa tìm được với đường thẳng \(\left( d \right):y = x + 1\) nằm trên trục hoành.

b) Tìm \(m\) để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng \({d_1}\) đạt giá trị lớn nhất.

Bài 4:   Cho điểm M  bất kì trên đường tròn tâm O đường kính AB. Tiếp tuyến tại M và tại B của \(\left( O \right)\) cắt nhau tại D. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OD cắt MD tại C và cắt BD tại N.

a) Chứng minh \(DC = DN\).

b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.

c) Gọi H  là chân đường vuông góc kẻ từ M xuống AB, I  là trung điểm MH. Chứng minh B, C, I  thẳng hàng.

d) Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt \(\left( O \right)\) tại K  (K và M nằm khác phía với đường thẳng AB ). Tìm vị trí của M để diện tích tam giác MHK  lớn nhất.

Bài 5: 

            Cho các số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(x + 2y + 3z \ge 20\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : \(A = x + y + z + \dfrac{3}{x} + \dfrac{9}{{2y}} + \dfrac{4}{z}\).

d) Qua O kẻ đường vuông góc với AB,  cắt \(\left( O \right)\) tại K  (K và M nằm khác phía với đường thẳng AB). Tìm vị trí của M để diện tích tam giác MHK  lớn nhất.

Gọi P  là giao điểm của MK và AB.

Không mất tính tổng quát, ta chọn bán kính đường tròn bằng 1, giả sử độ dài đoạn \(OH = a\;\;\left( {0 < a < 1} \right).\)

\( \Rightarrow MH = \sqrt {O{M^2} - O{H^2}}  = \sqrt {1 - {a^2}} \).

Có MH song song với OK  (do cùng vuông góc với AB)

\( \Rightarrow \dfrac{{PH}}{{PO}} = \dfrac{{MH}}{{OK}} = \dfrac{{\sqrt {1 - {a^2}} }}{1} \Rightarrow PH = \sqrt {1 - {a^2}} .OP.\)

Ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{PH}}{{PO}} = \sqrt {1 - {a^2}} \\PH + PO = OH = a\end{array} \right. \\\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}PO = \dfrac{{PH}}{{\sqrt {1 - {a^2}} }}\\PH + \dfrac{{PH}}{{\sqrt {1 - {a^2}} }} = a\end{array} \right.\\ \Rightarrow PH = \dfrac{{a.\sqrt {1 - {a^2}} }}{{\sqrt {1 - {a^2}}  + 1}}\\ \Rightarrow OP = \dfrac{a}{{\sqrt {1 - {a^2}}  + 1}}.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{MHK}} = {S_{MHP}} + {S_{PKH}} = \dfrac{1}{2}MH.HP + \dfrac{1}{2}OK.HP\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\sqrt {1 - {a^2}} .\dfrac{{a\sqrt {1 - {a^2}} }}{{\sqrt {1 - {a^2}}  + 1}} + 1.\dfrac{{a\sqrt {1 - {a^2}} }}{{\sqrt {1 - {a^2}}  + 1}}} \right)\\ = \dfrac{1}{2}a\sqrt {1 - {a^2}} .\dfrac{{\sqrt {1 - {a^2}}  + 1}}{{\sqrt {1 - {a^2}}  + 1}} = \dfrac{1}{2}a\sqrt {1 - {a^2}} .\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: \(a\sqrt {1 - {a^2}}  \le \dfrac{{{a^2} + 1 - {a^2}}}{2} = \dfrac{1}{2}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = \sqrt {1 - {a^2}}  \Rightarrow a = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \)

\(\Rightarrow \cos \angle MOH = \dfrac{{OH}}{R} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \angle MOH = {45^o}\).

Vậy M là điểm nằm trên đường tròn sao cho \(\angle MOH = {45^o}\) là điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 5:

            Cho các số thực dương \(x,\;y,\;z\) thỏa mãn \(x + 2y + 3z \ge 20\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : \(A = x + y + z + \dfrac{3}{x} + \dfrac{9}{{2y}} + \dfrac{4}{z}\).

Ta có: \(A = x + y + z + \dfrac{3}{x} + \dfrac{9}{{2y}} + \dfrac{4}{z}\)\(\, = \dfrac{1}{4}x + \left( {\dfrac{3}{4}x + \dfrac{3}{x}} \right) + \dfrac{1}{2}y + \left( {\dfrac{1}{2}y + \dfrac{9}{{2y}}} \right) + \dfrac{3}{4}z + \left( {\dfrac{1}{4}z + \dfrac{4}{z}} \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho các số dương ta có:

\(\begin{array}{l} + )\dfrac{3}{4}x + \dfrac{3}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{3}{4}x.\dfrac{3}{x}}  = 3\\ + )\dfrac{1}{2}y + \dfrac{9}{{2y}} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{2}y.\dfrac{9}{{2y}}}  = 3\\ + )\dfrac{1}{4}z + \dfrac{4}{z} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{4}z.\dfrac{4}{z}}  = 2\end{array}\)

\( \Rightarrow A \ge \dfrac{1}{4}\left( {x + 2y + 3z} \right) + 3 + 3 + 2 = \dfrac{{20}}{4} + 3 + 3 + 2 = 13\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{4}x = \dfrac{3}{x}\\\dfrac{1}{2}y = \dfrac{9}{{2y}}\\\dfrac{1}{4}z = \dfrac{4}{z}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\\z = 4\end{array} \right.\).

Bài 1:  . Thực hiện các phép tính

a) \(2\sqrt {75}  - 3\sqrt {27}  - \dfrac{1}{4}\sqrt {192} \). 

b) \(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 }  + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 2} \right)}^2}} \).

c) \(\dfrac{{\sqrt {15}  - \sqrt {12} }}{{\sqrt 5  - 2}} - \dfrac{1}{{2 - \sqrt 3 }}\). 

d) \(\left( {\dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}} - \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 2}}} \right).\left( {\sqrt x  - \dfrac{4}{{\sqrt x }}} \right)\left( {x > 0;x \ne 4} \right)\).

Bài 2:  Cho hai hàm số bậc nhất \(y =  - \dfrac{1}{2}x\) có đồ thị là \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(y = 2x - 5\) có đồ thị là \(\left( {{d_2}} \right)\)

a) Vẽ \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)\) trên cùng hệ trục tọa độ.

b) Cho đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right):y = ax + b.\) Tìm \(a,b\) để \({d_3}//{d_1}\) và cắt \(\left( {{d_2}} \right)\) tại một điểm có tung độ bằng 3.

Bài 3: .Tìm \(x\) biết \(\sqrt {4x - 20}  = 7\sqrt {\dfrac{{x - 5}}{9}}  - 2\).

Bài 4: Năm nay số dân ở một thành phố  A có 2 000 000 người. Hỏi 2 năm sau số dân của thành phố A là bao nhiêu người? Biết rằng bình quân mỗi năm số dân của thành phố A này tăng 0,5%.

Bài 5: Các tia sáng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ \({30^o}\). Tại thời điểm đó, bóng của một cái cây trên mặt đất dài \(20m\). Hỏi cái cây đó cao bao nhiêu mét ? (làm tròn tới phần thập phân thứ nhất).

Bài 6:  Từ điểm \(M\) nằm ở ngoài đường tròn \(\left( {O,R} \right)\) với \(OM > 2R\), vẽ hai tiếp tuyến \(MA,MB\;\;(A,B\)là hai tiếp điểm). Gọi \(H\)là giao điểm của \(AB,OM\)

a)Nếu cho \(OM = R\sqrt 5 \). Tính độ dài đoạn \(MA\) theo \(R\) và số đo \(\angle AOM\) (làm tròn tới độ).

b)Chứng minh bốn điểm \(M,A,O,B\) thuộc một đường tròn.

c)Gọi \(AC\) là đường kính của đường tròn\(\left( O \right)\), tia \(CH\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\)tại \(N\). Chứng minh \(4OH.OM = A{C^2}\).

d) Chứng minh rằng đường thẳng \(AN\) đi qua trung điểm của \(MH\)

Suy ra \(\left( {{d_3}} \right)\) đi qua điểm \(M\left( {4;3} \right)\)\( \Rightarrow 4.\dfrac{{ - 1}}{2} + b = 3 \Rightarrow b = 5\;\;\left( {tm} \right).\)

Vậy phương trình đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\)là: \(y =  - \dfrac{1}{2}x + 5\).

Bài 3:

Tìm \(x\) biết \(\sqrt {4x - 20}  = 7\sqrt {\dfrac{{x - 5}}{9}}  - 2\).

ĐKXĐ: \(x \ge 5\)

\(\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow \sqrt {4x - 20}  = 7\sqrt {\dfrac{{x - 5}}{9}}  - 2\\ \Leftrightarrow \sqrt 4 .\sqrt {x - 5}  = 7.\sqrt {\dfrac{1}{9}} .\sqrt {x - 5}  - 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{7}{3}\sqrt {x - 5}  - 2\sqrt {x - 5}  = 2\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 5}  = 6\\ \Leftrightarrow x - 5 = 36\;\;\;\left( {do\;\;6 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow x = 41\;\;\left( {tm} \right).\end{array}\)

Vậy \(x = 41\) là nghiệm của phương trình.

Bài 4:

Năm nay số dân ở một thành phố  A có 2 000 000 người. Hỏi 2 năm sau số dân của thành phố A là bao nhiêu người? Biết rằng bình quân mỗi năm số dân của thành phố A này tăng 0,5%.

Cách 1: Áp dụng công thức trên ta có só dân của thành phố sau 2 năm là:

\({P_2} = 2000000.{\left( {1 + 0,5\% } \right)^2} = 2020050\) người

Vậy sau 2 năm dân số của thành phố là 2020050 người.

Cách 2:

Dân số của thành phố A sau 1 năm là: \(2000000 + 2000000.0,5\%  = 2010000\) người.

Dân số của thành phố A sau 2 năm là: \(2010000 + 2010000.0,5\%  = 2020050\) người.

Vậy sau 2 năm dân số của thành phố là 2020050 người.

Bài 5:Các tia sáng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ \({30^o}\). Tại thời điểm đó, bóng của một cái cây trên mặt đất dài \(20m\). Hỏi cái cây đó cao bao nhiêu mét ? (làm tròn tới phần thập phân thứ nhất)

Ta có hình vẽ minh họa:

Trong đó đoạn thẳng AB là độ dài của bóng cây, đoạn BC là chiều cao của cây

Xét tam giác ABC vuông tại B có: \(\tan \alpha  = \tan {30^o} = \dfrac{{BC}}{{AB}} = \dfrac{h}{{20}} \Rightarrow h = 20.\tan {30^o} = 11,5\left( m \right)\)

Vậy chiều cao của cây là: \(h = 11,5m\)

Bài 6:Từ điểm \(M\) nằm ở ngoài đường tròn \(\left( {O,R} \right)\) với \(OM > 2R\), vẽ hai tiếp tuyến \(MA,MB\;\;(A,B\)là hai tiếp điểm). Gọi \(H\)là giao điểm của \(AB,OM\)

a)      Nếu cho \(OM = R\sqrt 5 \). Tính độ dài đoạn \(MA\) theo \(R\) và số đo \(\angle AOM\) (làm tròn tới độ)

Xét tam giác OAM vuông tại A có:

+)  \(A{M^2} + O{A^2} = O{M^2} \)

\(\Rightarrow AM = \sqrt {O{M^2} - O{A^2}}  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 R} \right)}^2} - {R^2}}  = 2R\) (định lí Py-ta-go)

+)  \(\cos \left( {\angle AOM} \right) = \dfrac{{OA}}{{OM}} = \dfrac{R}{{R\sqrt 5 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }} \)

\(\Rightarrow \angle AOM = \arccos \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right) \approx {63^o}\)\(\)

b)     Chứng minh bốn điểm \(M,A,O,B\) thuộc một đường tròn.

Xét đường tròn \(\left( {O,R} \right)\) có: MA,MB là hai tiếp tuyến với A,B là tiếp điểm

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OA \bot AM\\OB \bot BM\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\angle OAM = {90^o}\\\angle OBM = {90^o}\end{array} \right.\)

Xét tứ giác MAOB có: \(\angle OAM + \angle OBM = {90^o} + {90^o} = {180^o}\), suy ra tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn, suy ra bốn điểm M,O,A,B cùng thuộc một đường tròn (đpcm).

c)Gọi \(AC\) là đường kính của đường tròn\(\left( O \right)\), tia \(CH\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\)tại \(N\). Chứng minh:\(4OH.OM = A{C^2}\).

Có \(OA = OB\) (cùng là bán kính), suy ra O thuộc trung trực của AB.

Xét đường tròn \(\left( {O,R} \right)\) có: MA,MB là hai tiếp tuyến với A,B là tiếp điểm, suy ra \(MA = MB\), suy ra M thuộc trung trực của AB.

Từ hai điều trên ta được OM là trung trực của AB, suy ra OM vuông góc với AB tại H.

+) Xét tam giác vuông OAM vuông tại A có AH là đường cao

\( \Rightarrow O{A^2} = OH.OM\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

+) Mà có: \(OA = \dfrac{1}{2}AC\) (do OA là bán kính, AC là đường kính)

\( \Rightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}AC} \right)^2} = OH.OM \Rightarrow A{C^2} = 4.OH.OM\) (đpcm).

d) Chứng minh rằng đường thẳng \(AN\) đi qua trung điểm của \(MH\).

Gọi D là giao điểm của AN và OM

Xét tam giác ADM và tam giác CHA có:

+) \(\angle ACN = \angle MAD\) ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AN )

+) \(\angle AMD = \angle CAH\) (do cùng phụ với \(\angle HAM\))

\( \Rightarrow \Delta ADM \sim \Delta CHA\;\;\left( {g - g} \right)\)

\(\Rightarrow \dfrac{{DM}}{{HA}} = \dfrac{{AD}}{{HC}} \Rightarrow DM = AD.\dfrac{{HA}}{{HC}}\)                                (1)

Có AB vuông góc với OM (cmt) \( \Rightarrow \angle AHD = {90^o}\)

Có \(\angle ANC\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \( \Rightarrow \angle ANC = {90^o}\)

Xét hai tam giác vuông HDN và ADH  có chung \(\angle NDH\)

\( \Rightarrow \Delta HDN \sim \Delta ADH\;\left( {g - g} \right)\)

\(\Rightarrow \dfrac{{HD}}{{AD}} = \dfrac{{HN}}{{AH}} \Rightarrow HD = AD.\dfrac{{HN}}{{AH}}\).                                (2)

Xét tam giác AHC và tam giác NHB có:

+) \(\angle AHC = \angle NHB\) (hai góc đối đỉnh)

+) \(\angle CAH = \angle HNB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC )

\( \Rightarrow \Delta AHC \sim \Delta NHB\;\;\left( {g - g} \right) \Rightarrow \dfrac{{HN}}{{HA}} = \dfrac{{HB}}{{HC}}\)

Mà có: \(HA = HB\) (do OM là trung trực của AB) \( \Rightarrow \dfrac{{HN}}{{HA}} = \dfrac{{HA}}{{HC}}\)                        (3)

Từ (1) , (2) , (3) suy ra \(HD = DM\), suy ra D là trung điểm của HM, suy ra AN đi qua trung điểm của HM(đpcm).

Bài 1: Tính:

a)\(4\sqrt {12}  - 15\sqrt {\dfrac{1}{3}}  - \dfrac{{9 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}\)                                  

b)\(\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}}  - \sqrt {\dfrac{8}{{7 - 3\sqrt 5 }}} \).

Bài 2:

a)Giải phương trình sau: \(\sqrt {36{x^2} - 12x + 1}  = 2\).

b) Rút gọn: \(A = \dfrac{x}{{\sqrt x  - 1}} - \dfrac{{2x - \sqrt x }}{{x - \sqrt x }}\) ( với \(x > 0,x \ne 1\)).

Bài 3: 

a)Một khu vườn hình chữ nhật có kích thước là 25m và 40m. Người ta tăng mỗi kích thước của khu vườn thêm \(x\) (m). Gọi \(S,P\) theo thứ tự là diện tích và chu vi của khu vườn mới tính theo \(x\). Hỏi các đại lương \(S,P\) có phải là hàm số bậc nhất của \(x\) không? Vì sao? Tính giá trị của \(x\) khi biết giá trị tương ứng của \(P\) là 144 (tính theo đơn vị m).

b) Cho hàm số \(y =  - 2x + 3\) có đồ thị \(\left( {{d_1}} \right)\)và hàm số \(y = x\) có đồ thị là \(\left( {{d_2}} \right)\). Vẽ \(\left( {{d_1}} \right)\)và \(\left( {{d_2}} \right)\) trên cùng mặt phẳng tọa độ. Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\)và \(\left( {{d_2}} \right)\) bằng phép tính.

Bài 4: 

a) Muốn tính khoảng cách từ điểm A đến điểm B bên kia bờ sông, ông Việt vạch từ A đường vuông góc với AB. Trên đường vuông góc này lấy một đoạn thẳng \(AC = 30m\), rồi vạch  \(CD\) vuông góc với phương BC cắt AB tại D. Do\(AD = 20m\), từ đó ông Việt tính được khoảng cách từ A đến B. Em hãy tính độ dài AB và số đo góc \(\angle ACB\).

b) Có 150g dung dịch chứa 40g muối. Ta phải pha thêm bao nhiêu nước nữa để dung dịch có tỉ lên 20% muối

Bài 5: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) ( B, C là tiếp điểm), gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh rằng: \(OA \bot BC\).

b) Gọi D, E là giao điểm của OA với đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) ( D nằm giữa O và A). Chứng minh rằng \(OH.HA = HD.HE\).

c)Chứng minh rằng \(2HD.AB = DA.BC\).

Vậy giá trị của \(x\) là: \(x = \dfrac{7}{2}\).

b)Cho hàm số \(y =  - 2x + 3\)có đồ thị \(\left( {{d_1}} \right)\)và hàm số \(y = x\) có đồ thị là \(\left( {{d_2}} \right)\). Vẽ \(\left( {{d_1}} \right)\)và \(\left( {{d_2}} \right)\) trên cùng mặt phẳng tọa độ. Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\)và \(\left( {{d_2}} \right)\) bằng phép tính.

Ta có bảng giá trị: 

Vậy đồ thị hàm số \({d_1}:\;\;y =  - 2x + 3\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {0;\;3} \right),\;\;\left( {1;\;1} \right)\)  và đồ thị hàm số \({d_2}:\;\;y = x\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {0;\;0} \right),\;\;\left( {1;\;1} \right).\)

Từ đó ta có đồ thị của hai hàm số trên:

Hoành độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\)và \(\left( {{d_2}} \right)\) là nghiệm của phương trình:

\( - 2x + 3 = x \Leftrightarrow 3x = 3 \Leftrightarrow x = 1\)

Với \(x = 1 \Rightarrow y = x = 1\). Vậy giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\)và \(\left( {{d_2}} \right)\) là điểm \(M\left( {1;1} \right)\).

Bài 4:

a)Muốn tính khoảng cách từ điểm A đến điểm B bên kia bờ sông, ông Việt vạch từ A đường vuông góc với AB. Trên đường vuông góc này lấy một đoạn thẳng \(AC = 30m\), rồi vạch \(CD\) vuông góc với phương BC cắt AB tại D. Do\(AD = 20m\), từ đó ông Việt tính được khoảng cách từ A đến B. Em hãy tính độ dài AB và số đo góc \(\angle ACB\).

Ta có hình vẽ minh họa :

Xét tam giác vuông BCD vuông tại C cóAC là đường cao ta có:

\( \Rightarrow AB.AD = A{C^2} \Leftrightarrow AB = \dfrac{{A{C^2}}}{{AD}} = 45\left( m \right)\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét tam giác BAC vuông tại A có:

\(\tan \left( {\angle ACB} \right) = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{45}}{{30}} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow \angle ACB = \arctan \dfrac{3}{2} \approx {56^o}\).

b)Có 150g dung dịch chứa 40g muối. Ta phải pha thêm bao nhiêu nước nữa để dung dịch có tỉ lệ 20% muối.

Gọi lượng nước cần cho thêm vào dung dịch là \(x\;\;\left( g \right),\;\;\left( {x > 0} \right).\)

Suy ra khối lượng dung dịch sau khi thêm nước là: \(150 + x\;\;\left( g \right).\)

\(\dfrac{{40}}{{150 + x}} = \dfrac{{20}}{{100}} \Leftrightarrow 200 = 150 + x \Leftrightarrow x = 50\left( g \right)\;\;\left( {tm} \right)\)

 Vậy cần thêm vào dung dịch 50 (g) nước.

Bài 5:Cho điểm A nằm ngoài đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) ( B, C là tiếp điểm), gọi H là giao điểm của OA và BC.

a)Chứng minh rằng: \(OA \bot BC\).

Xét đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) có \(OB = OC\) (do cùng là bán kính)

Suy ra O cách đều hai điểm B, C, suy ra O nằm trên đoạn trung trực của BC.          (1)

Xét đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)có: AB, AC là tiếp tuyến (A, B là tiếp điểm)

Suy ra \(AB = AC\) ( tính chất tiếp tuyến )

Suy ra A cách đều hai điểm B, C, suy ra A nằm trên trung trực của BC.                    (2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là trung trực của BC, suy ra \(OA \bot BC\).

b)Gọi D, E là giao điểm của OA với đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) (D nằm giữa O và A)

Chứng minh rằng \(OH.HA = HD.HE\).

Xét \(\left( {O;R} \right)\) có AB là tiếp tuyến (B là tiếp điểm)

\( \Rightarrow AB \bot OB\) (tính chất tiếp tuyến)

Xét tam giác vuông \(OBA\) vuông tại B có BH là đường cao

\( \Rightarrow OH.HA = B{H^2}\)( hệ thức lượng trong tam giác vuông)                                     (3)

Xét \(\left( {O;R} \right)\)có \(\angle EBD\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \( \Rightarrow \angle EBD = {90^o}\)

Xét tam giác EBD vuông tại B có BH là đường cao

\( \Rightarrow EH.HD = B{H^2}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)                                      (4)

Từ (3), (4) \( \Rightarrow OH.HA = HD.HE\) (đpcm). 

c)Chứng minh rằng \(2HD.AB = DA.BC\).

Có D nằm trên đường trung trực của BC (D nằm trên OA)

Suy ra \(BD = BC\) (tính chất đường trung trực), suy ra cung BD bằng cung DC (hai cung bằng nhau thì căng hai dây bằng nhau)

Xet đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)có:

+) \(\angle CBD\) là góc nội tiếp chắn cung DC

+) \(\angle DBA\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung BD

+) Cung BD và cung DC bằng nhau (cmt)

\( \Rightarrow \angle CBD = \angle DBA \Rightarrow BD\)là phân giác \(\angle HBA\)

Áp dụng tính chất đường phân giác vào tam giác HBA có: \(\dfrac{{HD}}{{DA}} = \dfrac{{BH}}{{AB}} \Rightarrow HD.AB = DA.BH\)

Mà có: \(BH = \dfrac{1}{2}BC\) (do H là trung điểm của BC)

\( \Rightarrow HD.AB = DA.\dfrac{{BC}}{2} \Leftrightarrow 2HD.AB = DA.BC\) (đpcm)

Bài 1  Thực hiện phép tính:

a) \(A = 3\sqrt {32}  - 6\sqrt 2  - \sqrt {50} \)

b) \(B = \sqrt {{{\left( {5 + \sqrt 3 } \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \)

Bài 2

            Cho đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = 2x - 1\) và đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):y = x + 1\)

a) Vẽ \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm \(B\) của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) bằng phép toán.

Bài 3:  Rút gọn biểu thức sau

a) \(C = \dfrac{{\sqrt {14}  + \sqrt 7 }}{{\sqrt 2  + 1}} - \sqrt 7 \)    

b) \(D = \left( {4 - \sqrt {15} } \right){\left( {\sqrt {2 - \sqrt 3 }  + \sqrt {3 + \sqrt 5 } } \right)^2}\)

Bài 4:  

            Nhân ngày “Black Friday” (24/11/2017). Một cửa hàng điện tử thực hiện giảm giá 50% trên một tivi trong lô hàng gồm 40 cái tivi với giả bán lẻ ban đầu là 6.500.000 đ/cái. Đến trưa cùng ngày đã bán được 20 cái, khi đó cửa hàng quyết định giảm thêm 10% nữa  trên giá đang bán cho mỗi tivi thì bán được hết lô hàng. Biết rằng giá vốn là 3.050.000 đ/một tivi. Hỏi cửa hàng đó lời hay lỗ khi bán hết lô hàng tivi?

Bài 5: 

            Tính chiều cao của một ngọn núi (làm tròn đến mét), biết tại hai điểm A, B cách nhau 500m , người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nắng lần lượt là \({34^o}\) và \({38^o}\).

Bài 6: 

Hiện nay tại nước Mỹ quy định cầu thang cho người khuyết tật dùng xe lăn có hệ số góc không quá \(\dfrac{1}{{12}}\). Để phù hợp với tiêu chuẩn ấy thì chiều cao cầu thang tối đa là bao nhiêu khi biết đáy của cầu thang có độ dài là 4m ?

Bài 7: 

Cho nửa đường tròn \(\left( O \right)\)đường kính \(AB\). Vẽ các tiếp tuyến \(Ax,By\). Từ một điểm M trên nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến với \(\left( O \right)\) cắt \(Ax,By\) lần lượt tại D, C.

a) Chứng minh: \(CD = AD + BC\) và \(\angle COD = {90^o}\).

b) Gọi N là giao điểm của AC và BD. Chứng minh MN vuông góc với AB.

Câu 1

Thực hiện phép tính:

a) \(3\sqrt {80}  - 2\sqrt {45}  - \sqrt {125} \).

b) \(\dfrac{3}{{\sqrt 7  - 1}} - \dfrac{{\sqrt 7  - \sqrt {21} }}{{2 - 2\sqrt 3 }}\).

c) \(\sqrt {{{\left( {2\sqrt 5  - 5} \right)}^2}}  + \sqrt {24 - 8\sqrt 5 } \).

Câu 2: (1 điểm)

Giải phương trình:

a)\(\sqrt {4 - 3x}  = 4\).                      

b)\(\sqrt {4{x^2} + 4x + 1}  = 5\).

Câu 3:

Cho hàm số \(y =  - \dfrac{1}{2}x\) có đồ thị \(\left( {{d_1}} \right)\) và hàm số \(y = x - 3\) có đồ thị \(\left( {{d_2}} \right)\).

a)Vẽ \(\left( {{d_1}} \right)\)và \(\left( {{d_2}} \right)\) trên cùng hệ trục tọa độ

b)Tìm tọa độ giao điểm A của \(\left( {{d_1}} \right)\)và \(\left( {{d_2}} \right)\) bằng phép toán.

Câu 4: 

Một máy bay cất cánh theo phương có góc nâng là \({23^o}\)so với mặt đất. Hỏi muốn đạt độ cao 250m so với mặt đất thì máy bay phải bay lên một đoạn đường là bao nhiêu mét? (làm tròn đến mét)

Câu 5: 

 Một hỗn hợp dung dịch gồm nước và muối trong đó 6% muối (về khối lượng). Hỏi phải thêm bao nhiêu kg nước vào 50kg dung dịch trên để có được một dung dịch mới có 3% muối.

Câu 6: (1 điểm)

Một cửa hàng có hai loại quạt, giá tiền như nhau. Quạt màu xanh được giảm giá hai lần, mỗi lần giảm giá 10% so với giá đang bán. Quạt màu đỏ được giảm giá một lần 20%. Hỏi sau khi giảm giá như trên thì loại quạt nào rẻ hơn.

Câu 7: 

Cho \(\left( O \right)\)đường kính \(AB\). Lấy C thuộc \(\left( O \right)\), gọi E là trung điểm BC. Tiếp tuyến tại C của \(\left( O \right)\)cắt OE ở D

a)Chứng minh: \(\Delta ACB\)vuông và \(OE \bot BC\).

b)Chứng minh: DB là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).

c)Kẻ CH vuông góc với AB. Chứng minh: \(CB.OC = OD.HC\).

Bài 1:  Thực hiện phép tính (thu gọn):

1) \(2\sqrt {48}  + \dfrac{1}{3}\sqrt {108}  - 5\sqrt 3  - 3\sqrt {27} \).

2) \(\dfrac{{6 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 6  - 1}} - 9\sqrt {\dfrac{2}{3}}  - \dfrac{4}{{2 - \sqrt 6 }}\).

Bài 2: Giải phương trình: \(\dfrac{5}{3}\sqrt {9x - 18}  - \dfrac{1}{2}\sqrt {16x - 32}  - 15 = 0\).

Bài 3:  Cho hàm số \(y = 3x\) có đồ thị \(\left( D \right)\) và hàm số \(y = x + 2\) có đồ thị \(\left( {{D_1}} \right)\).

1) Vẽ \(\left( D \right)\)và \(\left( {{D_1}} \right)\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ \(Oxy\).

2) Tìm \(m\) để đường thẳng \(y = \left( {m - 5} \right)x + m + 2\) có đồ thị \(\left( {{D_2}} \right)\) cắt \(\left( {{D_1}} \right)\)tại điểm B có hoành độ bằng 2.

Bài 4:  Cho  tam giác ABC vuông tại A, đường tròn \(\left( O \right)\)đường kính ACcắtBC tại K, vẽ dây cung ADcủa \(\left( O \right)\) vuông góc với BOtạiH.

1) Chứng minh bốn điểm B, K, H, A cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh: BD là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)

3) Chứng minh \(BH.BO = BK.BC\).

4) Từ \(\left( O \right)\)vẽ đường thẳng song song với AD cắt tia BA tại E, từ B vẽ đường thẳng vuông góc với EC tại F, BF cắt AO tại M. Chứng minh: \(MA = MO\)

Bài 5 Nhà bạn Bình có gác lửng cao so với nền nhà là 3m. Ba bạn Bình cần đặt một thang đi lên gác, biết khi đặt thang phải để thang tạo được với mặt đất một góc \({70^o}\)thì đảm bảo sự an toàn khi sử dụng. Với kiến thức đã học, Bình hãy giúp Ba tính chiều dài thang là bao nhiêu mét để sử dụng. (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Bài 6: 

Tháng 11 vừa qua có ngày Black Friday, phần lớn các trung tâm thương mại đều giảm giá rất nhiều mặt hàng. Mẹ bạn An có dẫn An đến một trung tâm thương mại để mua một đôi giày. Biết đôi giày đang khuyến mại giảm giá 40%, mẹ bạn An có thẻ khách hàng thân thiết của trung tâm thương mại nên được giảm thêm 5% trên giá đã giảm nữa, do đó mẹ bạn An phải trả 684.000 đ cho đôi giày. Hỏi giá ban đầu của đôi giày nếu không khuyến mại là bao nhiêu?

Bài 1: 

a) Tính chu vi tam giác ABC biết độ dài 3 cạnh là \(AB = 5\sqrt 2 \left( {cm} \right),AC = \sqrt {32} \left( {cm} \right)\),\(BC = \sqrt {98} \left( {cm} \right)\). (Không yêu cầu vẽ hình)

b) Thu gọn: \(B = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7  - 1} \right)}^2}}  - \dfrac{6}{{\sqrt 7  - 1}}\).

Bài 2:  Cho đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y =  - 3x + 1\) và đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):y = x - 3\).

a)Vẽ \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) trên cùng mặt phẳng tọa độ \(Oxy\).

b)Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) bằng phép tính.

c)Tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( D \right):y = \left( {2m + 3} \right)x - 5\) song song vơi đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\).

Bài 3:Trong một tòa nhà ngoài thang máy người ta còn xây thêm một cầu thang đi bộ. Từ tầng 1 đến tầng 2 có 30 bậc thang. Các tầng còn lại cứ hai tầng liên tiếp cách nhau 21 bậc thang. Do thang máy bị hư nên bạn Vy đi bộ bắt đầu từ tầng 1 về căn hộ của mình. Tổng số bậc thang Vy đã đi là 135. Hỏi căn hộ của Vy ở tầng thứ bao nhiêu của tòa nhà?

Bài 4:  Tàu ngầm đang ở trên mặt biển bỗng đột ngột lặn xuống theo phương tạo với mặt nước biển một góc\({21^o}\). Nếu tàu chuyển động theo phương lặn xuống được 300m thì nó ở độ sâu bao nhiêu? Khi đó khoảng cách theo phương nằm ngang so với nơi xuất phát là bao nhiêu mét ? (kết quả làm tròn đến mét)

Bài 5:  Cho nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến \(Ax\) và \(By\) của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\).

a)Chứng minh: \(Ax//By\).

b)Trên \(\left( {O;R} \right)\)lấy điểm M. Tiếp tuyến tại M của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)lần lượt cắt \(Ax\) và \(By\) tại D và E. Chứng minh: \(DE = DA + BE\).

c)Chứng minh: \(\angle DOE = {90^o}\) và \(DA.BE = {R^2}\).

\(30 + 21\left( {n - 2} \right) = 135 \Leftrightarrow n - 2 = 5 \Leftrightarrow n = 7\;\;\left( {tm} \right)\).

Vậy nhà bạn Vy ở tầng 7 của tòa nhà.\(\)

Bài 4:Tàu ngầm đang ở trên mặt biển bỗng đột ngột lặn xuống theo phương tạo với mặt nước biển một góc \({21^o}\). Nếu tàu chuyển động theo phương lặn xuống được 300m thì nó ở độ sâu bao nhiêu? Khi đó khoảng cách theo phương nằm ngang so với nơi xuất phát là bao nhiêu mét ? (kết quả làm tròn đến mét)

Trong hình vẽ ta có:

+)  Đoạn AC là quãng đường tàu di chuyển trong quá trình lặn,

+) Đoạn BC là độ sâu mà tàu lặn được.

+) Đoạn AB là khoảng cách theo phương ngang tính từ vị trí xuất phát tới vị trí của tàu sau khi lặn.

+) \(\alpha \) là góc tạo bởi quãng đường tàu chuyển động và mặt biển.

Xét tam giác vuông ABC vuông tại B có:

+) \(\sin \alpha  = \dfrac{{BC}}{{AC}}\) \( \Rightarrow BC = AC.\sin \alpha  = 300.\sin {21^o} \approx 107\left( m \right)\)

+) \(\cos \alpha  = \dfrac{{AB}}{{AC}}\) \( \Rightarrow AB = AC.\cos \alpha  = 300.cos{21^o} = 280\left( m \right)\)

Vậy tàu lặn xuống độ sâu 107 (m) và khoảng cách theo phương ngang từ vị trí ban đầu tới vị trí sau khi lặn là 280 (m).

Bài 5:Cho nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến \(Ax\) và \(By\) của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\).

a)Chứng minh: \(Ax//By\).

Xét đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)có \(Ax\) là tiếp tuyến với A là tiếp điểm.

\( \Rightarrow Ax \bot OA\)(tính chất tiếp tuyến)\( \Rightarrow Ax \bot AB\)(do OA nằm trên AB)\(\)

Chứng minh tương tự có \(By \bot AB\)

Suy ra \(Ax//By\) (do cùng vuông góc với AB)(đpcm).\(\)

b)Trên \(\left( {O;R} \right)\)lấy điểm M. Tiếp tuyến tại M của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)lần lượt cắt \(Ax\) và \(By\) tại D và E. Chứng minh: \(DE = DA + BE\).

Xét \(\left( {O;R} \right)\)có DM, AD là tiếp tuyến với A, Mlà tiếp điểm

\( \Rightarrow AD = DM\)(tính chất tiếp tuyến)                                          (1)

Tương tự ta có: \(ME = BE\)                                                 (2)

Vì M nằm trên đoạn DE nên ta có: \(DE = DM + ME\)                    (3)

Từ (1) , (2) , (3) suy ra\(DE = DA + BE\)(đpcm).

c)Chứng minh: \(\angle DOE = {90^o}\) và \(DA.BE = {R^2}\).

+)Chứng minh \(\angle DOE = {90^o}\)

Có: \(DM = DA\)(cmt), suy ra D cách đều A và M, suy ra D nằm trên đường trung trực của AM

Mà có: \(OA = OM\) (cùng là bán kính) suy ra O cách đều A và M, suy ra O nằm trên trung trực của AM

Suy ra OD là trung trực của AM, suy ra \(OD \bot AM.\)

Chứng minh tương tự có \(OE \bot MB.\)

Xét tứ giác MCOF có:

+) \(\angle MCO = {90^o}\) (do \(OD \bot AM\))

+)  \(\angle MFO = {90^o}\)(do \(OE \bot MB\))

+)  \(\angle CMF = {90^o}\)(do là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra MCOF là hình chữ nhật (dhnb), suy ra \(\angle DOE = {90^o}\). (đpcm)

+) Chứng minh \(DA.BE = {R^2}\).

Xét tam giác DOE vuông tại O có: OM là đường cao (do DE là tiếp tuyến nên OM vuông góc với DE )

\( \Rightarrow ME.MD = O{M^2}\)

Mà có: \(\left\{ \begin{array}{l}DA = MD\\BE = ME\end{array} \right.\) (cmt)

Suy ra \(DA.BE = {R^2}\) (đpcm).

Bài 1:  Thực hiện phép tính:

1) \(A = \sqrt {12}  - 2\sqrt {48}  + \dfrac{7}{5}\sqrt {75} \) 

2) \(B = \sqrt {14 - 6\sqrt 5 }  + \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}} \)

Bài 2:

1)Cho biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  + 2}}\left( {x \ge 0} \right)\). Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 36\).

2)Rút gọn biểu thức \(B = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 4}} + \dfrac{4}{{\sqrt x  - 4}}} \right):\dfrac{{x + 16}}{{\sqrt x  + 2}}\) (với \(x \ge 0,x \ne 16\)).

3)Với các biểu thức \(A,B\)nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của \(x\) để giá trị của biểu thức \(P = B\left( {A - 1} \right)\)là số nguyên.

Bài 3:  Cho hàm số \(y = 2x + 4\) có đồ thị là \(\left( {{d_1}} \right)\)và hàm số \(y =  - x + 1\) có đồ thị là \(\left( {{d_2}} \right)\)

1)Vẽ \(\left( {{d_1}} \right)\)và \(\left( {{d_2}} \right)\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ .

2)Gọi A là giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\)và \(\left( {{d_2}} \right)\). Tìm tọa độ của điểm A.

3)Xác định các hệ số \(a,b\) của đường thẳng \({d_3}:y = ax + b\). Biết rằng \(\left( {{d_3}} \right)\)song song với \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right)\)cắt \(\left( {{d_2}} \right)\) tại một điểm có hoành độ bằng 2.

Bài 4: 

1)Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Biết \(BH = 9\)cm, \(HC = 16\)cm. Tính độ dài AH, AC, số đo \(\angle ABC\) (số đo làm tròn đến độ).

2)Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn, M là một điểm nằm trên nửa đường tròn ( M khác A và B), từ M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C và D.

a)Chứng minh rằng: \(CD = AC + BD\)

b)AM cắt OCtại E, BM cắt OD tại F. Chứng minh \(EF = OM\).

c)Chứng minh rằng tích \(AC.BD\) không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

d)Kẻ MH vuông góc với AB tại H, MHcắtBCtại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của MH.

Bài 5: 

Cho \(a,b,c\)là các số dương thỏa mãn điều kiện \(a + b + c + ab + bc + ca = 6\). Chứng minh rằng:  \(\dfrac{{{a^3}}}{b} + \dfrac{{{b^3}}}{c} + \dfrac{{{c^3}}}{a} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\)

Mà có: \(ab + bc + ca \le \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3}\) (cmt)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {a + b + c} \right) + \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} \ge 6 \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} + 3\left( {a + b + c} \right) - 18 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {a + b + c - 3} \right)\left( {a + b + c + 6} \right) \ge 0 \Leftrightarrow a + b + c \ge 3\end{array}\)

Do \(a,b,c > 0 \Rightarrow a + b + c + 6 > 0\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho bộ ba số \(\left( {1;1;1} \right)\) và \(\left( {a;b;c} \right)\) có:

\(\left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {a.1 + b.1 + c.1} \right)^2} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} \ge \dfrac{{{3^2}}}{3} = 3\).

Vậy ta chứng minh được \(\dfrac{{{a^3}}}{b} + \dfrac{{{b^3}}}{c} + \dfrac{{{c^3}}}{a} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\).

Phần I: Trắc nghiệm 

Hãy chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng cho các câu hỏi sau:

Câu 1 : Điều kiện để biểu thức\(A = \dfrac{{2017}}{{\sqrt x  - 1}}\) xác định là:

A.\(x > 0\)                  

B.\(x > 1\)

C.\(x > 0,x \ne 1\)        

D.\(x \ge 0,x \ne 1\)

Câu 2 (TH): Cho\(\sqrt {x - 1}  = 2\), giá trị của \(x\) là:

A.\( - 3\)                                  B.3

C.\( - 1\)                                  D.5

Câu 3 : Cho biểu thức \(P = \sqrt {\dfrac{{5a}}{{32}}} .\sqrt {\dfrac{{2a}}{5}} \) với \(a \ge 0\), kết quả thu gọn của \(P\) là:

A.\(\dfrac{{\sqrt a }}{{16}}\).                         B.\(\dfrac{a}{4}\).

C.\(\dfrac{a}{{16}}\).                         D.\(\dfrac{{\sqrt a }}{4}\).

Câu 4 : Trong các hàm số dưới đây, hàm số bậc nhất có đồ thị đi qua điểm \(A\left( {1;4} \right)\)là:

A.\(y = {x^2} + 3\)    B.\(y = x - 3\)

C.\(y = 4x\).                D.\(y = 4 - x\).

Câu 5 : Cho 2 đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = \left( {{m^2} + 1} \right)x + 2\) và \(\left( {{d_2}} \right):y = 5x + m\). Hai đường thẳng đó trùng nhau khi:

A.\(m =  \pm 2\)               B.\(m = 2\)

C.\(m =  - 2\)               D.\(m \ne  \pm 2\)

Câu 6 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Trong các hệ thức sau, hệ thức đúng là:

A.\(\sin C = \dfrac{{BC}}{{AC}}\) 

B.\(\cos C = \dfrac{{BC}}{{AC}}\)  

C.\(\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}}\) 

D.\(\cot C = \dfrac{{AB}}{{AC}}\)

Câu 7 : Cho hai điểm phân biệt A, B. Số đường thẳng đi qua hai điểm A, B là:

A.0                              B.1

C.2                              D.Vô số

Câu 8 : Cho hình vẽ, MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O,3cm} \right)\), \(MA = 4cm\). Độ dài đoạn thẳng AB là: A.4,8cm          B.2,4cm C.1,2cm          D.9,6cm

Phần II. Tự luận 

Câu 1

            Cho hai biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 5}} - \dfrac{{3\sqrt x }}{{x - 25}}\) với\(x > 0,x \ne 25\).

a) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi\(x = 81\).

b) Cho\(P = A.B\), chứng minh rằng \(P = \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 5}}\)

c) So sánh \(P\) và\({P^2}\).

Câu 2

Cho hàm số \(y = \left( {m + 2} \right)x + 2{m^2} + 1\) (\(m\)là tham số)

a)Vẽ đồ thị hàm số trên khi\(m =  - 1\). 

b)Tìm \(m\)để hai đường thẳng \(\left( d \right)y = \left( {m + 2} \right)x + 2{m^2} + 1\)và \(\left( {d'} \right):y = 3x + 3\) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

Câu 3

            Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn \(\left( O \right)\)(C khác Avà B) sao cho\(AC > BC\). Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với dây cung AC tại H. Tiếp tuyến tại Acủa đường tròn \(\left( O \right)\) cắt OHtại D. Đoạn thẳng DB cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại E.

a) Chứng minh \(HA = HC,\angle DCO = {90^o}\)

b) Chứng minh rằng \(DH.DO = DE.DB\)

c) Trên tia đối của tia EA lấy điểm F sao cho Elà trung điểm cạnh AF. Từ F vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AD tại K. Đoạn thẳng FK cắt đường thẳng BC tại M. Chứng minh\(MK = MF\).

Câu 4

Cho các số dương \(x,y\) thoả mãn\(x + y \le \dfrac{4}{3}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(S = x + y + \dfrac{3}{{4x}} + \dfrac{3}{{4y}}\)

Câu 1 : Hãy tính giá trị của:

a) \(M = \left( {2\sqrt {300}  + 3\sqrt {48}  - 4\sqrt {75} } \right):\sqrt 3 \) ;

b) \(N = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 2} \right)}^2}}  + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \) ;

c) \(P = \dfrac{2}{{\sqrt 3  + 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt 3  - 2}} + \dfrac{{12}}{{\sqrt 3  + 3}}\) ;

Câu 2 : Cho các biểu thức:

\(A = 1 - \dfrac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}\)  và  \(B = \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{x - 5\sqrt x  + 6}}\)  với \(x \ge 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9.\)

a) Hãy tính giá trị của A khi \(x = 16\).

b) Rút gọn B.

c) Xét biểu thức \(T = \dfrac{A}{B}\) . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của T.

Câu 3 : Cho hàm số \(y = \left( {2 - m} \right)x + m + 1\) (với m là tham số và \(m \ne 2\)) có đồ thị là đường thẳng \(\left( d \right).\)

a) Khi \(m = 0\), hãy vẽ \(\left( d \right)\) trên hệ trục tọa độ \(Oxy\).

b) Tìm m để \(\left( d \right)\) cắt đường thẳng \(y = 2x - 5\) tại điểm có hoành độ bằng 2.

c) Tìm m để \(\left( d \right)\) cùng với các trục tọa độ \(Ox,\,\,Oy\) tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2.

Câu 4 : Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm A nằm ngoài \(\left( O \right)\). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với \(\left( O \right)\) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh OA là đường trung trực của BC.

c) Lấy D đối xứng với B qua O. Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng AD với \(\left( O \right)\) (E không trùng với D). Chứng minh \(\dfrac{{DE}}{{BE}} = \dfrac{{BD}}{{BA}}\).

d) Tính số đo góc HEC.

Câu 5 : Cho \(x > 0,\,\,y > 0\) thỏa mãn \(xy = 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(Q = \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} + \dfrac{6}{{3x + 2y}}\) .

c) Tìm m để \(\left( d \right)\) cùng với các trục tọa độ \(Ox,\,\,Oy\) tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2.

Gọi A và B là giao điểm của \(\left( d \right)\) lần lượt với hai trục tọa độ Ox, Oy.

Tọa độ điểm A thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}y = \left( {2 - m} \right)x + m + 1\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{m + 1}}{{m - 2}} \)

\(\Rightarrow A\left( {\dfrac{{m + 1}}{{m - 2}};0} \right) \Rightarrow OA = \left| {\dfrac{{m + 1}}{{m - 2}}} \right|\)

Tọa độ điểm B thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}y = \left( {2 - m} \right)x + m + 1\\x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow y = m + 1\)

\(\Rightarrow B\left( {0;m + 1} \right) \Rightarrow OB = \left| {m + 1} \right|\)

\({S_{\Delta OAB}} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{OA.OB}}{2} = 2\)

\(\Leftrightarrow \left| {\dfrac{{m + 1}}{{m - 2}}} \right|.\left| {m + 1} \right| = 4\)

\(\Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = 4\left| {m - 2} \right|\)

Trường hợp 1: \(m > 2 \Rightarrow pt \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = 4\left( {m - 2} \right) \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 9 = 0\) vô nghiệm.

Trường hợp 2: \(m < 2 \Rightarrow pt \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} =  - 4\left( {m - 2} \right) \Leftrightarrow {m^2} + 6m - 7 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\;\;\;\left( {tm} \right)\\m =  - 7\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Câu 4: Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm A nằm ngoài \(\left( O \right)\). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với \(\left( O \right)\) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

Ta có AB, AC là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)\( \Rightarrow \angle OBA = \angle OCA = {90^o}\)

\( \Rightarrow \)B, C cùng thuộc đường tròn đường kính OA

\( \Rightarrow \) A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn đường kính OA. (đpcm)

b) Chứng minh OA là đường trung trực của BC.

Ta có AB, AC là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) cắt nhau tại A

\( \Rightarrow \)\(AB = AC\) và AO là phân giác \(\angle BAC\)  (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) là tam giác cân tại A

\( \Rightarrow \)AO vừa là phân giác \(\angle BAC\)  vừa là đường trung trực của BC (tính chất tam giác cân)

c) Lấy D đối xứng với B qua O. Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng AD với \(\left( O \right)\) (E không trùng với D). Chứng minh \(\dfrac{{DE}}{{BE}} = \dfrac{{BD}}{{BA}}\).

Ta có D đối xứng với B qua O\( \Rightarrow \)BD là đường kính của \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \)\(\angle BED = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét \(\Delta BED\) và \(\Delta ABD\) có: \(\angle BED = \angle ABD = {90^o}\), \(\angle D\) chung

d) Tính số đo góc HEC.

\(\angle BCD = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\angle AHB = {90^o}\) (AO là trung trực của BC)

Xét \(\Delta BCD\) và \(\Delta AHB\) có: \(\angle BCD = \angle AHB = {90^o},\;\angle BDC = \angle ABH\)(BA là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại B)

   kết hợp c) \( \Rightarrow \dfrac{{DE}}{{BE}} = \dfrac{{CD}}{{BH}}\)

Xét \(\Delta BHE\) và \(\Delta DCE\) có     (2 góc t.ư)

\( \Rightarrow \angle BEH + \angle HED = \angle DEC + \angle HED \Rightarrow \angle BED = \angle HEC\)

Mà \(\angle BED = {90^o}\) (chứng minh trên)

Vậy \(\angle HEC = {90^o}\)

Câu 5:

Cho \(x > 0,\,\,y > 0\) thỏa mãn \(xy = 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(Q = \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} + \dfrac{6}{{3x + 2y}}\) .

\(Q = \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} + \dfrac{6}{{3x + 2y}} = \dfrac{{2y + 3x}}{{xy}} + \dfrac{6}{{3x + 2y}} = \dfrac{{3x + 2y}}{6} + \dfrac{6}{{3x + 2y}}\)

Đặt \(t = 3x + 2y \Rightarrow t \ge 2\sqrt {3x.2y}  \Leftrightarrow t \ge 2\sqrt {6.6}  = 12\)

Theo bất đẳng thức AM-GM và vì \(t \ge 12\) nên ta có:

\(Q = \dfrac{t}{6} + \dfrac{6}{t} = \left( {\dfrac{t}{6} + \dfrac{{24}}{t}} \right) - \dfrac{{18}}{t} \ge 2\sqrt {\dfrac{t}{6}.\dfrac{{24}}{t}}  - \dfrac{{18}}{{12}} = \dfrac{5}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}3x = 2y\\xy = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2y}}{3}\\\dfrac{{2{y^2}}}{3} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2y}}{3}\\{y^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\;\;\left( {do\;\;y > 0} \right)\end{array} \right.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là \(\dfrac{5}{2}\) đạt được khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\).

Câu 1 :Cho hai biểu thức\(A = \frac{{x - 2\sqrt x  + 9}}{{\sqrt x  - 3}}\)và \(B = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} - \frac{{x + 9}}{{x - 9}}\)với \(x > 0,\,\,x \ne 9\)

1) Tính giá trị của biểu thức A khi \(x = 3\)

2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}\)

3) So sánh \(\frac{A}{B}\) và 4.

Câu 2:Cho hàm số \(y = \left( {m + 1} \right)x + m\) (với \(m \ne  - 1\)có đồ thị là đường thẳng \(\left( d \right)\)

1) Tìm giá trị của m để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1

2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng \(\left( d \right)\) với giá trị m tìm được ở câu 1

3) Tìm giá trị của m để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt đường thẳng \(y = 3x + 2\) tại một điểm nằm trên trục hoành

Câu 3 :

Giải hệ phương trình:  \(\left\{ \begin{array}{l}x + \left( {\sqrt 2  - 1} \right)y = 1\\\left( {\sqrt 2  + 1} \right)x - y = \sqrt 2  + 1\end{array} \right.\)

Câu 4 :Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và một điểm H cố định nằm ngoài đường tròn. Qua H kẻ đường thẳng d vuông góc với đoạn thẳng OH. Từ một điểm S bất kì trên đường thẳng d kẻ hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) (A, B là tiếp điểm). Gọi M,N lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng SO với đoạn thẳng AB và với đường tròn \(\left( {O;R} \right)\).

1) Chứng minh bốn điếm S, A, O, B cùng nằm trên một đường tròn

2) Chứng minh \(OM.OS = {R^2}\)

3) Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SAB

4) Khi điểm S di chuyển trên đường thẳng d thì điểm M di chuyển trên đường nào? Tại sao?

Câu 5 :Cho ba số thực dương \(x,\,y,\,z\) thỏa mãn \(x + y + z = 1\)

Chứng minh rằng \(P = \frac{{5{y^3} - {x^3}}}{{yx + 3{y^2}}} + \frac{{5{z^3} - {y^3}}}{{zy + 3{z^2}}} + \frac{{5{x^3} - {z^3}}}{{xz + 3{x^2}}} \le 1\)

Câu 3:

Giải hệ phương trình:  \(\left\{ \begin{array}{l}x + \left( {\sqrt 2  - 1} \right)y = 1\\\left( {\sqrt 2  + 1} \right)x - y = \sqrt 2  + 1\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + \left( {\sqrt 2  - 1} \right)y = 1\\\left( {\sqrt 2  + 1} \right)x - y = \sqrt 2  + 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \left( {\sqrt 2  - 1} \right)y\\\left( {\sqrt 2  + 1} \right)x - y = \sqrt 2  + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \left( {\sqrt 2  - 1} \right)y\\\left( {\sqrt 2  + 1} \right)\left[ {1 - \left( {\sqrt 2  - 1} \right)y} \right] - y = \sqrt 2  + 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \left( {\sqrt 2  - 1} \right)y\\\sqrt 2  + 1 - \left( {\sqrt 2  + 1} \right)\left( {\sqrt 2  - 1} \right)y - y = \sqrt 2  + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \left( {\sqrt 2  - 1} \right)y\\ - y - y = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \left( {\sqrt 2  - 1} \right)y\\ - 2y = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \left( {\sqrt 2  - 1} \right)y\\y = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là\(\left( {x;y} \right) = \left( {1;0} \right)\)

Câu 4:

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và một điểm H cố định nằm ngoài đường tròn. Qua H kẻ đường thẳng d vuông góc với đoạn thẳng OH. Từ một điểm S bất kì trên đường thẳng d kẻ hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) (A, B là tiếp điểm). Gọi M,N lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng SO với đoạn thẳng AB và với đường tròn \(\left( {O;R} \right)\).

1) Chứng minh bốn điếm S, A, O, B cùng nằm trên một đường tròn

Ta có SA,SBlà hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)\( \Rightarrow \angle OAS = \angle OBS = {90^o}\)

\( \Rightarrow \)A, Bcùng thuộc đường tròn đường kính OS

\( \Rightarrow \) A, B, O, Scùng thuộc một đường tròn đường kính OS.

2)Chứng minh \(OM.OS = {R^2}\)

Ta có SA, SBlà hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) cắt nhau tại S

\( \Rightarrow \)\(SA = SB\) và SO là phân giác \(\angle ASB\)  (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \Delta SAB\) là tam giác cân tại S.

\( \Rightarrow \)SO vừa là phân giác \(\angle ASB\) vừa là đường trung trực của AB (tính chất tam giác cân)

\( \Rightarrow SO \bot AB\) tại M.

\( \Rightarrow \)AMlà đường cao trong tam giác OAS

Xét tam giác OAS vuông tại A, đường cao AMta có:

\(OM.OS = O{A^2} = {R^2}\)(hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông)

3) Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SAB

Có \(\angle OBS = {90^o}\) ( SB là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\))\( \Rightarrow \angle OBN + \angle NBS = {90^o}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Có  \(SO \bot AB\) (chứng minh trên)\( \Rightarrow \)Tam giác MNB vuông tại M\( \Rightarrow \angle MNB + \angle NBM = {90^o}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Có \(ON = OB = R \Rightarrow \) Tam giác ONB cân tại O\( \Rightarrow \angle MNB = \angle OBN\)(tính chất tam giác cân) \(\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right) \Rightarrow \angle NBS = \angle NBM\)\( \Rightarrow \)BN là phân giác \(\angle SBA\)

Mặt khác SN là phân giác \(\angle ASB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và \(SN \cap BN = \left\{ N \right\}\)

\( \Rightarrow \)N là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SAB.

4) Khi điểm S di chuyển trên đường thẳng d thì điểm M di chuyển trên đường nào? Tại sao?

Gọi \(HO \cap AB = \left\{ K \right\}\).

Xét \(\Delta OMK\) và \(\Delta OHS\) có: \(\angle O\)chung; \(\angle OMK = \angle OHS\,\,\,( = {90^o})\)

\( \Rightarrow \Delta OMK \sim \Delta OHS\)(g.g) \( \Rightarrow \frac{{OK}}{{OS}} = \frac{{OM}}{{OH}} \Rightarrow OK.OH = OM.OS = {R^2}\)

Vì H cố định \( \Rightarrow \)OH cố định mà R cố định\( \Rightarrow \)OK cố định.

Mặt khác \(\angle OMK = {90^o}\)\( \Rightarrow \)M thuộc đường tròn đường kính OK cố định.

Vậy khi điểm S di chuyển trên đường thẳng d thì điểm M di chuyển trên đường tròn đường kính OK cố định.

Câu 5:

Cho ba số thực dương \(x,\,y,\,z\) thỏa mãn \(x + y + z = 1\)

Chứng minh rằng \(P = \frac{{5{y^3} - {x^3}}}{{yx + 3{y^2}}} + \frac{{5{z^3} - {y^3}}}{{zy + 3{z^2}}} + \frac{{5{x^3} - {z^3}}}{{xz + 3{x^2}}} \le 1\)

Với \(x,y,z > 0\) ta có :  \(\frac{{5{y^3} - {x^3}}}{{yx + 3{y^2}}} \le 2y - x \Leftrightarrow 5{y^3} - {x^3} \le  - {x^2}y + 6{y^3} - x{y^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} - xy\left( {x + y} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( {x + y} \right){\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\)luôn đúng với mọi \(x,\;y > 0.\)

\( \Rightarrow \frac{{5{y^3} - {x^3}}}{{yx + 3{y^2}}} \le 2y - x\)đúng với \(x,y,z > 0\)

Tương tự ta được \(\frac{{5{z^3} - {y^3}}}{{zy + 3{z^2}}} \le 2z - y\,;\,\,\frac{{5{x^3} - {z^3}}}{{xz + 3{x^2}}} \le 2x - z\)

\( \Rightarrow P = \frac{{5{y^3} - {x^3}}}{{yx + 3{y^2}}} + \frac{{5{z^3} - {y^3}}}{{zy + 3{z^2}}} + \frac{{5{x^3} - {z^3}}}{{xz + 3{x^2}}} \le 2y - x + 2z - y + 2x - z = x + y + z = 1\)

Dấu ‘=’ xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = y = z\\x + y + z = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z = \frac{1}{3}\)

I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 

Chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng và ghi vào tờ giấy thi của em.

Câu 1 :Căn bậc hai số học của \(16\) là

A.\(4\)                          B.\( - 4\)

C.\( \pm 4\)                       D.\(256\)

Câu 2 : Điều kiện xác định của biểu thức \(\sqrt {\dfrac{{2017}}{{x - 2018}}} \)  là  

A.\(x \ge 2018\)             B.\(x \ne 2018\)

C.\(x > 2018\)             D.\(x < 2018\)

Câu 3 : Rút gọn biểu thức \(\sqrt {7 - 4\sqrt 3 }  + \sqrt 3 \) ta được kết quả là

A.\(2\)                          B.\(2\sqrt 3  - 2\)

C.\(2\sqrt 3  + 2\)              D.\(2 - \sqrt 3 \)

Câu 4 : Hàm số \(y = (m - 2017)x + 2018\) đồng biến khi

A.\(m \ne 2017\)                     B.\(m \ge 2017\)

C.\(m > 2017\)                        D.\(m < 2017\)

Câu 5 : Tìm giá trị của \(m\) để đồ thị của hàm số \(y = (m - 2017)x + 2018\) đi qua điểm \((1\,;\,\,1)\) ta được

A.\(m = 2017\)                        B.\(m = 0\)

C.\(m > 2017\)                        D.\(m < 2017\)

Câu 6 : Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AC = 3,AB = 4\). Khi đó \(\cos B\) bằng

A.\(\dfrac{3}{4}\)                               B.\(\dfrac{3}{5}\)

C.\(\dfrac{4}{3}\)                               D.\(\dfrac{4}{5}\)

Câu 7 :Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Biết \(AB = 9cm,\,\,BC = 15cm\). Khi đó độ dài \(AH\) bằng:

A.\(6,5cm\)                  B.\(7,2cm\)

C.\(7,5cm\)                  D.\(7,7cm\)

Câu 8 :  Giá trị của biểu thức \(P = {\cos ^2}{20^0} + {\cos ^2}{40^0} + {\cos ^2}{50^0} + {\cos ^2}{70^0}\) bằng

A.\(0\)                          B.\(1\)

C.\(2\)                          D.\(3\)

II. TỰ LUẬN 

Bài 1 

Cho biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \dfrac{{3x + 9}}{{x - 9}}\)  với \(x \ge 0,\,\,x \ne 9\).

a) Rút gọn biểu thức \(P\).

b) Tính giá trị của biểu thức \(P\) tại \(x = 4 - 2\sqrt 3 \).

Bài 2 (2,0 điểm):

Cho hàm số \(y = (m - 1)x + m\).

a) Xác định giá trị của \(m\) để đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(2\).

b) Xác định giá trị của \(m\) để đồ thị của hàm số cắt hoành tại điểm có hoành độ bằng \( - 3\).

c) Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với giá trị của \(m\) tìm được ở các câu a) và b) trên cùng hệ trục tọa độ \(Oxy\) và tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng vừa vẽ được.

Câu 3 

Cho đường tròn \((O,R)\,\)và đường thẳng \(d\) cố định không cắt đường tròn. Từ một điểm \(A\) bất kì trên đường thẳng \(d\) kẻ tiếp tuyến \(AB\) với đường tròn (\(B\) là tiếp điểm). Từ \(B\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AO\) tại \(H\), trên tia đối của tia \(HB\) lấy điểm \(C\) sao cho \(HC = HB\).

a) Chứng minh \(C\) thuộc đường tròn \((O,R)\,\)và \(AC\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O,R)\,\).

b) Từ \(O\) kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng \(d\) tại \(I\), \(OI\) cắt \(BC\) tại \(K\). Chứng minh \(OH.OA = OI.OK = {R^2}\).

c) Chứng minh khi \(A\) thay đổi trên đường thẳng \(d\) thì đường thẳng \(BC\) luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 4 

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q = x - 2\sqrt {2x - 1} \).

b) Giải phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x + 2}  + 3 = 3\sqrt {x - 1}  + \sqrt {x - 2} \).

Câu 1

a) Nêu điều kiệnđể \(\sqrt A \) có nghĩa.

Áp dụng: Tìm điều kiện của \(x\) để \(\sqrt {3x - 7} \) có nghĩa.

b) Tính: \(\dfrac{1}{2}\sqrt {48}  - 2\sqrt {75}  + \dfrac{{\sqrt {33} }}{{\sqrt {11} }}.\)

c) Rút gọn biểu thức: \(P = \left( {\dfrac{{x\sqrt x  - 1}}{{x - \sqrt x }} - \dfrac{{x\sqrt x  + 1}}{{x + \sqrt x }}} \right):\left[ {\dfrac{{2\left( {x - 2\sqrt x  + 1} \right)}}{{x - 1}}} \right]\)   (với \(x > 0\)và \(x \ne 1\))

Câu 2

Cho hàm số \(y = 2x - 2\).

a) Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Vì sao?

b) Vẽ đồ thị hàm số \(y = 2x - 2\).

c) Với giá trị nào của \(m\) thì đường thẳng \(y = (m - 1)x + 3\,\,\,\,\,(m \ne 1)\) song song với đường thẳng \(y = 2x - 2\).

Câu 3 

Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 3\\2x - y = 7\end{array} \right.\)

Câu 4 

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\), biết \(BH = 9cm,\,\,CH = 25cm\). Tính \(AH\).

Câu 5 

Cho đường tròn \((O)\), điểm \(A\) nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến \(AM,AN\) với đường tròn (\(M,N\) là các tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng \(OA \bot MN\).

b) Vẽ đường kính \(NOC\). Chứng minh rằng MC// AO.

Câu 1 

a) Tính: \(3\sqrt {16}  + 5\sqrt {36} \)

b) Chứng minh rằng: với \(x > 0\) và \(x \ne 1\) thì \(\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} - \dfrac{1}{{x - \sqrt x }} = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\)

Câu 2 Cho hàm số \(y = (2m + 1)x - 6\) có đồ thị \((d)\).

a) Với giá trị nào của \(m\) thì hàm số nghịch biến trên \(R\).

b) Tìm \(m\) để đồ thị hàm số \((d)\) đã cho đi qua điểm \(A(1;\,\,2)\).

c) Vẽ \((d)\) khi \(m =  - 2\).

Câu 3 

Một cột đèn cao \(7m\) có bóng trên mặt đất dài \(4m\). Gần đó có một tòa nhà cao tầng có bóng trên mặt đất dài \(80m\) (hình vẽ). Em hãy cho biết tòa nhà đó có bao nhiêu tầng, biết rằng mỗi tầng cao \(2m\).

Câu 4 

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) (\(H\) thuộc \(BC\)). Biết \(\angle ACB = {60^0},\,\,CH = a\). Tính độ dài \(AB\) và \(AC\) theo \(a\).

Câu 5 

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\,\,(AB < AC)\). Vẽ đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AC\) cắt cạnh \(BC\) tại \(D\,\,(D \ne C)\). Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(DC.\) Tia \(OH\) cắt cạnh \(AB\) tại \(E\) . Chứng minh:

a) \(AD\) là đường cao của tam giác \(ABC\).

b) \(DE\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\).

c) Tứ giác \(OHDK\) là hình chữ nhật.

Bài 1 

Giải phương trình \({x^2} + 28x - 128 = 0\)

Bài 2

Cho phương trình \((m + 1){x^2} - (2m + 3)x + m + 4 = 0\,\,\,\,\,(1)\), với \(m\) là tham số.

a) Giải phương trình khi \(m =  - 1\) .

b) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình (1) có nghiệm.

Bài 3 

Cho \((P)\) là đồ thị hàm số \(y =  - \dfrac{1}{2}{x^2},\,\,\,(d)\) là đồ thị hàm số \(y = 2x\) và \((d')\) là đồ thị hàm số \(y =  - x\).

a) Vẽ đồ thị của các hàm số \(y =  - \dfrac{1}{2}{x^2},\,\,\,y = 2x,\,\,\,y =  - x\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Các đồ thị \((P),\,\,(d)\,\)và \(\,(d')\) có một điểm chung là gốc tọa độ\(O\). Gọi \(A\) là giao điểm thứ hai của \((P)\) và \((d)\), gọi \(B\) là giao điểm thứ hai của \((P)\) và \((d')\). Chứng minh rằng tam giác \(OAB\) vuông và tính diện tích tam giác \(OAB\) (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét).

Bài 4 

Tìm hai số tự nhiên, biết rằng hiệu của số lớn và số nhỏ bằng \(1814\) và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là \(9\) và số dư là \(182\).

Bài 5 

Cho góc \(\widehat {xAy} = {60^0}\) và \((O)\) là đường tròn tiếp xúc với tia \(Ax\) tại \(B\) và tiếp xúc với tia \(Ay\) tại \(C\). Trên cung nhỏ  của đường tròn \((O)\) lấy điểm \(M\) và gọi \(D,\,\,E,\,\,F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(BC,\,\,CA,\,\,AB\).

a)  Chứng minh tứ giác \(CDME\) là tứ giác nội tiếp.

b) Tính số đo của góc \(\widehat {EDF}\).

c) Chứng minh rằng \(M{D^2} = ME.MF\).

Nên ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}y - x = 1814\\y = 9x + 182\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x + 1814\\x + 1814 = 9x + 182\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8x = 1632\\y = x + 1814\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 204\\y = 2018\end{array} \right.\)

Vậy hai số tự nhiên cần tìm là \(204\) và \(2018\).

Bài 5:

a) Ta có \(\widehat {CDM} = {90^0}\)(do \(MD \bot BC\))

                \(\widehat {CEM} = {90^0}\) (do \(ME \bot AC\))

\( \Rightarrow \widehat {CDM} + \widehat {CEM} = {180^0}\)

\( \Rightarrow \)\(CDME\) là tứ giác nội tiếp.

b) Từ câu a ta có \(\widehat {MDE} = \widehat {MCE}\) (cùng chắn  của đường tròn \((CDME)\))

Mà \(\widehat {MCE} = \widehat {MBC}\) (cùng chắn  của đường tròn \((O)\))

\( \Rightarrow \widehat {MDE} = \widehat {MBC}\,\,\,\,(1)\)

Tương tự câu a ta cũng có tứ giác \(BDMF\) nội tiếp nên ta có:

\(\widehat {MDE} = \widehat {MBF}\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\)   (cùng chắn  của đường tròn \((BDME)\))

Từ (1) và (2)  ta suy ra:

\(\widehat {EDF} = \widehat {MDE} + \widehat {MDF} = \widehat {MBC} + \widehat {MBF} = \widehat {CBA} = {60^0}\) (vì tam giác \(ABC\) đều do có \(AB = AC\) và \(\widehat {BAC} = {60^0}\) )

c) Ta có \(\widehat {MED} = \widehat {MCD}\) (cùng chắn  của đường tròn \((CDME)\))

Mà \(\widehat {MCD} = \widehat {MBF}\) (cùng chắn  của đường tròn \((O)\))

Kết hợp (2) \( \Rightarrow \widehat {MED} = \widehat {MDF}\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\)

Từ (1): \(\widehat {MDE} = \widehat {MBC}\)

Mà \(\widehat {MBC} = \widehat {MFD}\) (cùng chắn  của đường tròn \((BDMF)\))

\( \Rightarrow \widehat {MDE} = \widehat {MFD}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(\Delta MDE\) và \(\Delta MFD\) đồng dạng

\( \Rightarrow \dfrac{{MD}}{{MF}} = \dfrac{{ME}}{{MD}}\,\, \Rightarrow M{D^2} = ME.MF\)

Câu 1 Thực hiện phép tính

a) \(2\sqrt {50}  - 3\sqrt {32}  - \sqrt {162}  + 5\sqrt {98} \)

b) \(\sqrt {8 + 2\sqrt 7 }  + \sqrt {11 - 4\sqrt 7 } \)

c) \(\dfrac{{10}}{{\sqrt 5 }} + \dfrac{8}{{3 + \sqrt 5 }} - \dfrac{{\sqrt {18}  - 3\sqrt 5 }}{{\sqrt 2  - \sqrt 5 }}\)

Câu 2 :Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \dfrac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\dfrac{{2\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 3}} - 1} \right)\), với \(x \ge 0\)và \(x \ne 9\)

a) Rút gọn P.  

b) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 3 :Cho hàm số\(y = 0,5x\) có đồ thị là \(\left( {{d_1}} \right)\)và hàm số \(y =  - x + 3\) có đồ thị là \(\left( {{d_2}} \right)\).

a) Vẽ\(\left( {{d_1}} \right)\)và\(\left( {{d_2}} \right)\)trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy.

b) Xác định các hệ số a, b của đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\)\(:\,\,y = ax + b\). Biết \(\left( {{d_3}} \right)\) song song với \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right)\) cắt \(\left( {{d_2}} \right)\) tại một điểm có hoành độ bằng 4.

Câu 4 :1. Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất 4m. Cùng thời điểm đó, một tòa nhà cao tầng có bóng trên mặt đất là 60m. Hãy cho biết tòa nhà đó cao bao nhiêu tầng, biết rằng mỗi tầng cao 3m. (Hình vẽ minh họa)

2.Cho \(\Delta ABC\,\,(AB < AC)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\)có BC là đường kính, vẽ đường cao AH của \(\Delta ABC\). \((H \in BC)\)

a) Biết \(AB = 6cm,\,\,AC = 8cm\). Tính độ dài AH và HB.

b) Tiếp tuyến tại A của \(\left( O \right)\) cắt các tiếp tuyến tại B và C lần lượt tại M và N. Chứng minh \(MN = MB + NC\) và \(\angle MON = {90^o}\).

c) Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho \(AB = AE\), gọi I là trung điểm của BE. Chứng minh 3 điểm M, I, O thẳng hàng.

d) Chứng minh HI là tia phân giác của \(\angle AHC\).

Câu 5  : Xe lăn cho người khuyết tật.

Với sự phát triển của khoa học kỹ thuật hiện nay, người ta tạo ra nhiều mẫu xe lăn đẹp và tiện dụng cho người khuyết tật. Công ty A đã sản xuất ra những chiếc xe lăn cho người khuyết tật với số vốn ban đầu là 500 triệu đồng (dùng để mua nguyên vật liệu và thiết bị sản xuất). Chi phí để sản xuất ra một chiếc xe lăn là 2,5 triệu đồng. Giá bán ra thị trường mỗi chiếc là 3 triệu đồng.

a) Em hãy viết hàm số biểu diễn tổng số tiền đã đầu tư đến khi sản xuất ra được x chiếc xe lăn (gồm vốn ban đầu và chi phí sản xuất) và hàm số biểu diễn số tiền thu được khi bán ra x chiếc xe lăn.

b) Công ty A phải bán bao nhiêu chiếc xe lăn với giá trên mới có thể thu hồi được đủ số tiền vốn đã đầu tư ban đầu? (Gồm vốn ban đầu và chi phí sản xuất)

I. TRẮC NGHIỆM

Trả lời câu hỏi bằng cách viết lại chữ cái trước đáp án đúng vào bài làm:

Câu 1 : Nếu x thỏa mãn điều kiện \(\sqrt {3 + \sqrt x }  = 2\) thì x nhận giá trị là:

A. 0                             B. 4

C. 5                             D. 1

Câu 2 : Điều kiện để hàm số bậc nhất \(y = \left( {1 - m} \right)x + m\,\,\left( {m \ne 1} \right)\)là hàm số nghịch biến là:

A. \(m > 1\)                 B. \(m \ge 1\)

C. \(m \le 1\)                D. \(m < 1\)

Câu 3 : Cho tam giác MNP vuông tại M, đường cao MH. Chọn hệ thức sai:

A. \(M{H^2} = HN.HP\)       

B. \(M{P^2} = NH.HP\)

C. \(MH.NP = MN.MP\)

D. \(\dfrac{1}{{M{N^2}}} + \dfrac{1}{{M{P^2}}} = \dfrac{1}{{M{H^2}}}\)

Câu 4 : Cho hai đường tròn \(\left( {I;7cm} \right)\)và \(\left( {K;5cm} \right)\). Biết \(IK = 2cm\). Quan hệ giữa hai đường tròn là:

A. Tiếp xúc trong                   

B. Tiếp xúc ngoài

C. Cắt nhau                            

D. Đựng nhau

II. TỰ LUẬN 

Câu 1 :Thực hiện phép tính:             a) \(3\sqrt {\dfrac{1}{3}}  + 4\sqrt {12}  - 5\sqrt {27} \)                  b) \(\dfrac{{3 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} - \dfrac{2}{{\sqrt 3  - 1}}\)

Câu 2 : Cho biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} - \dfrac{{x - 2\sqrt x }}{{x - 4}}\)  và \(Q = \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 2}}\,\,\left( {x \ge 0;x \ne 4} \right)\)

a) Rút gọn P

b) Tìm x sao cho \(P = 2\)

c) Biết \(M = P:Q\). Tìm giá trị của x để \({M^2} < \dfrac{1}{4}\)

Câu 3:Cho hàm số \(y = \left( {m - 4} \right)x + 4\) có đồ thị là đường thẳng \(\left( d \right)\)\(\left( {m \ne 4} \right)\).

a) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua \(A\left( {1;6} \right)\)

b) Vẽ đồ thị hàm số với m tìm được ở câu a. Tính góc tạo bởi đồ thị hàm số vừa vẽ với trục Ox (làm tròn đến phút).

c) Tìm m để đường thẳng \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng\(\left( {{d_1}} \right):y = \left( {m - {m^2}} \right)x + m + 2\)

Câu 4 :Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ tiếp tuyến AE đến đường tròn \(\left( O \right)\) (với E là tiếp điểm). Vẽ dây EH vuông góc với AO tại M.

a) Cho biết bán kính \(R = 5cm,\,\,OM = 3cm\). Tính độ dài dây EH.

b) Chứng minh AH là tiếp tuyến của đường tròn\(\left( O \right)\).

c) Đường thẳng qua O vuông góc với OA cắt AH tại B. Vẽ tiếp tuyến BF với đường tròn \(\left( O \right)\) (F là tiếp điểm). Chứng minh 3 điểm E, O, F thẳng hàng và \(BF.AE = {R^2}\).

d) Trên tia HB lấy điểm I (\(I \ne B\)), qua I vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn \(\left( O \right)\) cắt các đường thẳng BF, AE lần lượt tại C và D. Vẽ đường thẳng IF cắtAE tại Q. Chứng minh \(AE = DQ\).

Câu 5 :Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn \(x + y \le 1\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right).\sqrt {1 + {x^2}{y^2}} \).

Câu 4: Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ tiếp tuyến AE đến đường tròn \(\left( O \right)\) (với E là tiếp điểm). Vẽ dây EH vuông góc với AO tại M.

a) Cho biết bán kính \(R = 5cm,\,\,OM = 3cm\). Tính độ dài dây EH.

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông OME có:

\(EM = \sqrt {O{E^2} - O{M^2}}  = \sqrt {{5^2} - {3^2}}  = 4\)

Vậy \(EH = 2EM = 8\,\,(cm)\)

 b) Chứng minh AH là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OA \bot EH\\ME = MH\end{array} \right. \Rightarrow \)OA là đường trung trực của EH\( \Rightarrow AE = AH\)

Xét hai tam giác OEA và tam giác OHA có:

\(OE = OH\,\,( = R);\,\,\,AE = AH;\,\,OA\)chung

\( \Rightarrow \Delta OEA = \Delta OHA\)(c.c.c) \( \Rightarrow \angle OHA = \angle OEA = {90^o}\) hay \(AH \bot OH\)

Vậy AH là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) (đpcm).

c) Đường thẳng qua O vuông góc với OA cắt AH tại B. Vẽ tiếp tuyến BF với đường tròn \(\left( O \right)\) (F là tiếp điểm). Chứng minh 3 điểm E, O, F thẳng hàng và \(BF.AE = {R^2}\).

Có \(AH \bot OH\;\;\left( {cmt} \right)\) hay Blà giao của hai tiếp tuyến BH; BF

\( \Rightarrow \angle BOF = \angle BOH\), lại có \(\angle EOA = \angle HOA\)

\( \Rightarrow \angle EOA + \angle AOB + \angle BOF = 2\left( {\angle AOH + \angle BOH} \right) = 2\angle AOB = {180^o}\)

\( \Rightarrow \)E, O, F thẳng hàng. (đpcm)

Có \(\angle EOA + \angle BOF = {180^o} - \angle AOB = {90^o} \Rightarrow \angle OAE = \angle BOF\) (cùng phụ \(\angle AOE\))

Xét \(\Delta AOE\) và \(\Delta OBF\)có: \(\angle OAE = \angle BOF\);  \(\angle AEO = \angle BFO = {90^o}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{OF}} = \dfrac{{OE}}{{BF}} \Rightarrow AE.BF = OE.OF = {R^2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

d) Trên tia HB lấy điểm I (\(I \ne B\)), qua I vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn \(\left( O \right)\) cắt các đường thẳng BF, AE lần lượt tại C và D. Vẽ đường thẳng IF cắt AE tại Q. Chứng minh \(AE = DQ\).

Có \(BF//AQ\)  (do cùng vuông góc với EF) \( \Rightarrow \dfrac{{BF}}{{CF}} = \dfrac{{AQ}}{{DQ}}\)(định lý Talet)   (*)

Dễ dàng chứng minh \(\Delta COD\) vuông tại O. Gọi K là tiếp điểm của tiếp tuyến thứ 2 qua I với \(\left( O \right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông COD đường cao DK ta có: \(O{K^2} = DK.CK\)

Mà DE, DK là các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)cắt nhau tại D nên \(DE = DK\)

Tương tự \(CK = CF \Rightarrow O{K^2} = CF.DE \Leftrightarrow CF.DE = {R^2}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\) suy ra: \(CF.DE = AE.BF \Leftrightarrow \dfrac{{BF}}{{CF}} = \dfrac{{DE}}{{AE}}\)     (**)

Từ (*) và (**) suy ra: \(\dfrac{{AQ}}{{DQ}} = \dfrac{{DE}}{{AE}} \Leftrightarrow \dfrac{{AQ}}{{AQ - DQ}} = \dfrac{{DE}}{{DE - AE}} \Leftrightarrow \dfrac{{AQ}}{{AD}} = \dfrac{{DE}}{{AD}} \Leftrightarrow AQ = DE\)

Câu 5:

Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn \(x + y \le 1\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right).\sqrt {1 + {x^2}{y^2}} \).

Có x, y là các số thực dương \( \Rightarrow \dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y}\) là các số thực dương

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được : \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}  = \dfrac{2}{{\sqrt {xy} }}\)

Vậy \(P \ge \dfrac{2}{{\sqrt {xy} }}.\sqrt {1 + {x^2}{y^2}}  = 2\sqrt {\dfrac{1}{{xy}} + xy} \)

Ta có : \(1 \ge x + y \ge 2\sqrt {xy} \)(do x, y là hai số thực dương)\( \Rightarrow xy \le \dfrac{1}{4}\)

\(\dfrac{1}{{xy}} + xy = \dfrac{1}{{16xy}} + xy + \dfrac{{15}}{{16}}.\dfrac{1}{{xy}} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{{16xy}}.xy}  + \dfrac{{15}}{{16}}\dfrac{1}{{\dfrac{1}{4}}} = 2.\dfrac{1}{4} + \dfrac{{15}}{4} = \dfrac{{17}}{4}\)

\( \Rightarrow P \ge 2\sqrt {\dfrac{{17}}{4}}  = \sqrt {17} \). Dấu ‘=’ xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\x + y = 1\\xy = \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{2}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \(\sqrt {17} \) đạt được khi \(x = y = \dfrac{1}{2}.\)

Câu 1 :

Cho \(A = \left( {\dfrac{{x + \sqrt x  + 10}}{{x - 9}} + \dfrac{1}{{3 - \sqrt x }}} \right):\dfrac{1}{{\sqrt x  - 3}}\)và \(B = \sqrt x  + 1\) (với \(x \ge 0;\,\,x \ne 9\))

a) Tính giá trị của biểu thức B khi \(x = 16\)

b) Rút gọn A

c) Tìm giá trị của x để \(A > B\)

Câu 2 :

Cho đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình \(y = \left( {2k - 1} \right)x + k - 2\)(với k là tham số)

a) Tìm giá trị của k biết đường thẳng \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right)\) có phương trình \(y =  - 3x + 5\)

b) Với giá trị của k tìm được ở câu a, vẽ đường thẳng \(\left( d \right)\) trên mặt phẳng tọa độ và tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng \(\left( d \right)\)

Câu 3 :Giải phương trình

a) \(\sqrt {x + 3}  + \sqrt {16x + 48}  = 6 + \sqrt {9x + 27} \)

b) \(\sqrt {4x + 1}  = x - 1\)

Câu 4 :Cho đường tròn \(\left( {O,R} \right)\). Đường thẳng dkhông qua O cắt \(\left( O \right)\) tại hai điểm A và B. Điểm C thuộc tia đối của tia AB. Vẽ CE và CF là các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) (E, F là hai tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB.

a) Chứng minh 4 điểm C, E, O, H cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi CO cắt EF tại K. Chứng minh \(OK.OC = {R^2}\)

c) Đoạn thẳng CO cắt \(\left( O \right)\) tại I. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CEF

d) Tìm vị trí điểm C trên tia đối của tia AB để tam giác CEF đều.

Câu:

Cho \(0 < x < 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(M = \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{4}{x}\)

b) Với giá trị của k tìm được ở câu a, vẽ đường thẳng \(\left( d \right)\) trên mặt phẳng tọa độ và tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng \(\left( d \right)\)

Khi \(k =  - 1\) thì \(\left( d \right):y =  - 3x - 3\)

Ta có bảng giá trị:

Vậy đồ thị hàm số \(y =  - 3x - 3\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {0; - 3} \right),\;\;\left( { - 1;\;0} \right).\)

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của của \(\left( d \right)\) với Ox, Oy

Cho \(x = 0\) ta được \(y =  - 3\)\( \Rightarrow B\left( {0; - 3} \right)\)\( \Rightarrow OB = 3\)

Cho \(y = 0\) ta được \(x =  - 1\)\( \Rightarrow A\left( { - 1;0} \right)\)\( \Rightarrow OA = 1\)

Gọi H là hình chiếu của O trên \(\left( d \right)\), ta có:

\(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{{{3^2}}} = \dfrac{{10}}{9} \)

\(\Leftrightarrow OH = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\)  (dvđd)

Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng \(\left( d \right)\) là \(OH = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\)  (dvđd)

Câu 3:

Giải phương trình

a) \(\sqrt {x + 3}  + \sqrt {16x + 48}  = 6 + \sqrt {9x + 27} \). Điều kiện xác định: \(x \ge  - 3\) .\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {x + 3}  + \sqrt {16\left( {x + 3} \right)}  = 6 + \sqrt {9\left( {x + 3} \right)} \\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 3}  + 4\sqrt {x + 3}  = 6 + 3\sqrt {x + 3} \\ \Leftrightarrow 2\sqrt {x + 3}  = 6\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 3}  = 3\\ \Leftrightarrow x + 3 = 9 \Leftrightarrow x = 6\,\,\,\,\,\,(tm)\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 6.\)

b) \(\sqrt {4x + 1}  = x - 1\). Điều kiện xác định: \(x \ge  - \dfrac{1}{4}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\4x + 1 = {x^2} - 2x + 1\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - 6x = 0\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\\x = 6\,\,\,\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 6.\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 6.\)

Câu 4:

Cho đường tròn \(\left( {O,R} \right)\). Đường thẳng d  không qua O cắt \(\left( O \right)\) tại hai điểm A và B. Điểm C thuộc tia đối của tia AB. Vẽ CE và CF là các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) (E, F là hai tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB.

a) Chứng minh 4 điểm C, E, O, H cùng thuộc một đường tròn.

Vì Hlà trung điểm của dây cung ABcủa \(\left( O \right)\) nên OH vuông góc với AB, suy ra tam giác COHnội tiếp đường tròn đường kính CO  (1)

Vì CElà tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nênCE vuông góc vớiOE, suy ra tam giác COEnội tiếp đường tròn đường kính CO  (2)

Từ (1) và (2) suy ra C, E, O, H cùng thuộc đường tròn đường kính CO.

b) Gọi CO cắt EF tại K. Chứng minh \(OK.OC = {R^2}\)

Vì C là giao điểm của 2 tiếp tuyến CE và CF của \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow CE = CF\) (tính chất) mà \(OE = OF = R\) (gt)

\( \Rightarrow \)COlà đường trung trực của EF

\( \Rightarrow CO \bot EF\)

Xét tam giác vuông CEO đường cao EK ta có:

\(OK.OC = O{E^2} = {R^2}\)  (đpcm)

c) Đoạn thẳng CO cắt \(\left( O \right)\) tạiI. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CEF

Vì \(OI = OF = R\)  nên tam giác OIE cân tại O

\( \Rightarrow \angle OIF = \angle OFI\) mà  \(\angle CFI + \angle OFI = {90^o}\,;\,\,\,\angle IFK + \angle OIF = {90^o}\)

\( \Rightarrow \angle CFI = \angle IFK\) (tính chất bắc cầu)

\( \Rightarrow \)FI là phân giác của \(\angle CFE\)   (3)

VìC là giao điểm của 2 tiếp tuyến CE và CF của \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \)CI là phân giác của \(\angle ECF\) (tính chất)   (4)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \)Ilà tâm đường tròn nội tiếp tam giác CEF (đpcm)

d) Tìm vị trí điểm C trên tia đối của tia AB để tam giác CEF đều

Tam giác CEF đều \( \Rightarrow \angle ECF = {60^o}\)

Mà CI là phân giác của \(\angle ECF\)(cmt) \( \Rightarrow \angle FCO = {30^o}\)

Có tam giác FCO vuông tại F có \(\angle FCO = {30^o}\)

\( \Rightarrow OC = 2OF = 2R\)

Vậy điểm C trên tia đối của tia AB sao cho \(OC = 2R\) thì tam giác CEF đều.

Câu 5:

Cho \(0 < x < 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(M = \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{4}{x}\)

Ta có: \(M = \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{4}{x} = \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{{4 - 4x + 4x}}{x} \)\(\,= \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} + 4\)

Vì \(0 < x < 1 \Rightarrow 1 - x > 0 \Rightarrow \)\(\dfrac{x}{{1 - x}} > 0\) và \(\dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} > 0\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \(\dfrac{x}{{1 - x}}\)và \(\dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x}\) ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{x}{{1 - x}}.\dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x}}  = 4\\ \Leftrightarrow \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} + 4 \ge 8 \Leftrightarrow M \ge 8\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{x}{{1 - x}} = \dfrac{{4\left( {x - 1} \right)}}{x}\)

\(\Leftrightarrow {x^2} = 4{\left( {x - 1} \right)^2} \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2x - 2\\x =  - 2x + 2\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\;\;\left( {ktm} \right)\\x = \dfrac{2}{3}\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 8 đặt được khi \(x = \dfrac{2}{3}.\)

Phần I: Trắc nghiệm khách quan 

Học sinh ghi đáp án đúng là A, B, C hoặc D vào tờ giấy thi

1 .Điều kiện xác định của biểu thức\(\sqrt {6 - 3x} \) là:

A.\(x \le 2\)                  B. \(x \ge 2\)

C. \(x \ge 0\)                D.\(x < 2\)

2 .Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(p = \sqrt {x + 3}  - 1\) là:

A.\(3\)                          B.\( - 1\)

C. \( - 3\)                      D.\(0\)

3 .Giá trị biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 3}}\)khi \(x = 4 - 2\sqrt 3 \) là:

A. \( - 11 + 6\sqrt 3 \)              B. \(\dfrac{{ - 11 - 6\sqrt 3 }}{{13}}\)         

C. \(\dfrac{{ - 5 - 12\sqrt 3 }}{{37}}\)              D.\(1\)

4 .Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết rằng \(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \sqrt 3 \). Số đo độ của góc ABC bằng:

A. \({30^0}\)                           B. \({60^0}\)  

C. \({45^0}\)                           D.\({50^0}\)

5 .Với giá trị nào của a thì hàm số \(y = \left( {a - 5} \right)x + 1\) đồng biến trên tập\(\mathbb{R}\)?

A. \(a < 5\)                   B. \(a > 5\)

C. \(a = 5\)                   D.\(a >  - 5\)

6 .Cho hai đường thẳng\(\left( {{d_1}} \right)\)\(:\,\,y = 2x + 3\) và\(\left( {{d_2}} \right)\)\(:\,\,y = \left( {{m^2} + 1} \right)x + m + 2\) (với m là tham số). Với giá trị nào của tham số m thì đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\)?

A. \(m = 2\)    

B. \(m = 1\) hoặc\(m =  - 1\)   

C. \(m = 1\)

D.\(m =  - 1\)

7 .Cho EM, EN là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) với tiếp điểm M, N. Khẳng định nào sau đây là sai:

A. \(\angle EMO = {90^o}\)

B.Bốn điểm E, M, O, N cùng thuộc một đườngtròn 

C. MN là trung trực của EO  

D.OE là phân giác của\(\angle MON\)

8 .Hai đường tròn \(\left( {O;5} \right)\)và \(\left( {O';8} \right)\) có vị trí tương đối với nhau như thế nào biết \(OO' = 12\)

A. Tiếp xúc nhau

B. Không giao nhau   

C. Tiếp xúc ngoài

D.Cắt nhau

Phần II: Tự luận 

Câu 1 :Cho hai biểu thức \(A = \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \dfrac{{3x + 3}}{{x - 9}}\)và \(B = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}\) với \(x \ge 0\,,\,\,x \ne 9\)

1) Rút gọn biểu thức A.

2) Tìm tất cả các giá trị của x để \(\dfrac{A}{B} <  - \dfrac{1}{2}\).

Câu 2 :Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(\left( d \right)\)\(:\,\,y = ax + 3\).

1) Xác định a biết \(\left( d \right)\) đi qua \(K\left( {1; - 1} \right)\). Vẽ đồ thị với a vừa tìm được.

2) Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt Ox và Oy lần lượt tại hai điểm M và N sao cho diện tích tam giác OMN bằng 4.

Câu 3 :Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến ME, MF đến đường tròn (với E, F là các tiếp điểm).

1) Chứng minh các điểm M, E, O, F cùng thuộc một đường tròn.

2) Đoạn OM cắt đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) tại I. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF.

3) Kẻ đường kính ED của \(\left( {O;R} \right)\). Hạ FK vuông góc với ED. Gọi P là giao điểm của MD và FK. Chứng minh P là trung điểm của FK.

Câu 4:Giải phương trình \({x^2} + x - 17 = \sqrt {\left( {{x^2} - 15} \right)\left( {x - 3} \right)}  + \sqrt {{x^2} - 15}  + \sqrt {x - 3} \)

Câu 2:

 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(\left( d \right)\)\(:\,\,y = ax + 3\).

1) Xác định a biết \(\left( d \right)\) đi qua \(K\left( {1; - 1} \right)\). Vẽ đồ thị với a vừa tìm được.

\(\left( d \right)\) đi qua \(K\left( {1; - 1} \right)\)\( \Rightarrow  - 1 = a.1 + 3 \Leftrightarrow a =  - 4\)

Vậy với \(a =  - 4\) thì \(\left( d \right)\) đi qua \(K\left( {1; - 1} \right)\)

Với \(a =  - 4\) thì \(\left( d \right)\,:\,\,y =  - 4x + 3\)

Đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua \(K\left( {1; - 1} \right)\) và \(H\left( {0;3} \right)\)

2) Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt Ox và Oy lần lượt tại hai điểm M và N sao cho diện tích tam giác OMN bằng 4.

Để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt Ox và Oy lần lượt tại hai điểm M và N\( \Leftrightarrow \,\,a \ne 0\)

\(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) là giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và trục Ox

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_M} = a{x_M} + 3\\{y_M} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} =  - \dfrac{3}{a}\\{y_M} = 0\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow M\left( { - \dfrac{3}{a};0} \right) \Rightarrow OM = \left| { - \dfrac{3}{a}} \right| = \left| {\dfrac{3}{a}} \right|\)

\(N\left( {{x_N};{y_N}} \right)\) là giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và trục Oy

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_N} = a{x_N} + 3\\{x_N} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 0\\{y_M} = 3\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow N\left( {0;3} \right) \Rightarrow ON = 3\)

Diện tích tam giác OMN bằng 4 \( \Rightarrow {S_{\Delta OMN}} = \dfrac{1}{2}OM.ON = \dfrac{1}{2}.\left| {\dfrac{3}{a}} \right|.3 = \dfrac{9}{2}.\left| {\dfrac{1}{a}} \right| = 4 \)

\(\Leftrightarrow \left| {\dfrac{1}{a}} \right| = \dfrac{8}{9} \Leftrightarrow \left| a \right| = \dfrac{9}{8} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{9}{8}\\a =  - \dfrac{9}{8}\end{array} \right.\)

Câu 3:

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến ME, MF đến đường tròn (với E, F là các tiếp điểm).

1) Chứng minh các điểm M, E, O, F cùng thuộc một đường tròn.

Vì MElà tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên MEvuông góc với OE, suy ra tam giác MOE nội tiếp đường tròn đường kính MO  (1)

Vì MF là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên MFvuông góc với OF, suy ra tam giác MOF nội tiếp đường tròn đường kính MO  (2)

Từ (1) và (2) suy ra M, E, O, F cùng thuộc một đường tròn.

2) Đoạn OM cắt đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) tại I. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF.

Gọi \(MO \cap EF = \left\{ H \right\}\)

Vì M là giao điểm của 2 tiếp tuyến ME và MF của \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow ME = MF\) (tính chất) mà \(OE = OF = R\) (gt)

\( \Rightarrow \)MO là đường trung trực của EF

\( \Rightarrow MO \bot EF\)

\( \Rightarrow \angle IFE + \angle OIF = {90^o}\,\)

Vì \(OI = OF = R\)  nên tam giác OIF cân tại O

\( \Rightarrow \angle OIF = \angle OFI\)  mà  \(\angle MFI + \angle OFI = {90^o}\,;\,\,\,\angle IFE + \angle OIF = {90^o}\)

\( \Rightarrow \angle MFI = \angle IFE\)

\( \Rightarrow \)FI là phân giác của \(\angle MFE\)   (1)

Vì M là giao điểm của 2 tiếp tuyến ME và MF của \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \)MI là phân giác của \(\angle EMF\) (tính chất)   (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \)I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF  (đpcm)

3) Kẻ đường kính ED của \(\left( {O;R} \right)\). Hạ FK vuông góc với ED. Gọi P là giao điểm của MD và FK. Chứng minh P là trung điểm của FK.

Gọi G là giao điểm của tia DF và tia EM.

Ta có \(\angle EFD = {90^o}\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)\( \Rightarrow EF \bot DG\)mà \(EF \bot OM\) (cmt)

\( \Rightarrow OM//DG\) (từ vuông góc đến song song)

Tam giác EDG có \(OE = OD\,\,;\,\,OM//DG\,\, \Rightarrow ME = MG\)(tính chất đường trung bình)

Áp dụng định lý Ta-let cho tam giác EDM có \(PK//ME\) (cùng vuông góc với ED) ta được:\(\dfrac{{PK}}{{ME}} = \dfrac{{DP}}{{DM}}\)     (3)

Áp dụng định lý Ta-let cho tam giác MDG có \(PF//MG\) (cùng vuông góc với ED) ta được:   \(\dfrac{{PE}}{{MG}} = \dfrac{{DP}}{{DM}}\)     (4)

Từ (3) và (4) suy ra   \(\dfrac{{PK}}{{ME}} = \dfrac{{PF}}{{MG}}\)  mà  \(ME = MG\) (cmt)

\( \Rightarrow PK = PF\,\, \Rightarrow \)P là trung điểm của FK.

Câu 4:

 Giải phương trình \({x^2} + x - 17 = \sqrt {\left( {{x^2} - 15} \right)\left( {x - 3} \right)}  + \sqrt {{x^2} - 15}  + \sqrt {x - 3} \)

Điều kiện xác định \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 15 \ge 0\\x - 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge \sqrt {15} \\x \le  - \sqrt {15} \end{array} \right.\\x \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge \sqrt {15} \)

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;{x^2} + x - 17 = \sqrt {\left( {{x^2} - 15} \right)\left( {x - 3} \right)}  + \sqrt {{x^2} - 15}  + \sqrt {x - 3} \\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x - 34 = 2\sqrt {\left( {{x^2} - 15} \right)\left( {x - 3} \right)}  + 2\sqrt {{x^2} - 15}  + 2\sqrt {x - 3} \\ \Leftrightarrow {x^2} - 15 - 2\sqrt {\left( {{x^2} - 15} \right)\left( {x - 3} \right)}  + x - 3 + {x^2} - 15 - 2\sqrt {{x^2} - 15}  + 1 + x - 3 - 2\sqrt {x - 3}  + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {\sqrt {{x^2} - 15}  - \sqrt {x - 3} } \right]^2} + {\left[ {\sqrt {{x^2} - 15}  - 1} \right]^2} + {\left[ {\sqrt {x - 3}  - 1} \right]^2} = 0\end{array}\)

Ta thấy: \({\left[ {\sqrt {{x^2} - 15}  - \sqrt {x - 3} } \right]^2} \ge 0\) với mọi \(x \ge \sqrt {15} \)

            \({\left[ {\sqrt {{x^2} - 15}  - 1} \right]^2} \ge 0\) với mọi \(x \ge \sqrt {15} \)

            \({\left[ {\sqrt {x - 3}  - 1} \right]^2} \ge 0\) với mọi \(x \ge \sqrt {15} \)

Vậy phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow {\left[ {\sqrt {{x^2} - 15}  - \sqrt {x - 3} } \right]^2} = {\left[ {\sqrt {{x^2} - 15}  - 1} \right]^2} = {\left[ {\sqrt {x - 3}  - 1} \right]^2} = 0\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 15}  = \sqrt {x - 3}  = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 15 = x - 3 = 1 \Leftrightarrow x = 4\)(tmđk)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 4\)

Câu 1 : Cho hai biểu thức: \(A\, = \,\dfrac{{2\sqrt x  - 4}}{{\sqrt x  - 1}}\) và \(B\, = \,\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \dfrac{3}{{\sqrt x  + 1}} - \dfrac{{6\sqrt x  - 4}}{{x - 1}}\) với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)

1. Tính giá trị của A khi \(x = 4.\)

2. Rút gọn B.

3. So sánh A.B với 5.  

Câu 2 :

1. Thực hiện phép tính: \(\left( {3\sqrt 8  - \sqrt {18}  + 5\sqrt {\dfrac{1}{2}}  + \sqrt {50} } \right).3\sqrt 2 .\)

2. Giải phương trình: \(\sqrt {4{x^2} - 4x + 1}  - 5 = 2.\)

Câu 3 : Cho hàm số \(y = 3x + 2\) có đồ thị là đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right).\)

1. Điểm \(A\left( {\dfrac{1}{3};3} \right)\) có thuộc đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) không? Vì sao?

2. Tìm giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) có phương trình \(y =  - 2x - m\) cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1.

Câu 4 : Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính AB và điểm C bất kỳ thuốc đường tròn (C khác A và B). Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn, tiếp tuyến này cắt tia BC ở D. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại C cắt AD ở E.

1. Chứng minh bốn điểm A,E,C,O cùng thuộc một đường tròn.

2. Chứng minh \(BC.BD = 4{R^2}\) và OE song song với BD.

3. Đường thẳng kẻ qua O và vuông góc với BC tại N cắt tia EC ở F. Chứng minh BF là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)

Câu 4:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + \dfrac{9}{{x - 2}} + 2010\) với \(x > 2.\)

Ta có \(OE\parallel CA\) (chứng minh trên) \( \Rightarrow \angle OMC = {90^o}\)

Mặt khác \(\angle MCN = \angle ONC = {90^o}\) \( \Rightarrow \,OMCN\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow \) \(\angle OMN = \angle OCN\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(ON\))

Ta có \(\angle OHC = \angle ONC = {90^o}\) \( \Rightarrow \) OHCN là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \) \(\angle OHN = \angle OCN\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(ON\))

\( \Rightarrow \angle OMN = \angle OHN\left( { = \angle OCN} \right)\)

\( \Rightarrow \) HMNO là tứ giác nội tiếp (dhnb)

\( \Rightarrow \) Đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN luôn đi qua O là điểm cố định. (đpcm)

Câu 5: 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + \dfrac{9}{{x - 2}} + 2010\) với \(x > 2.\)

\(P = x + \dfrac{9}{{x - 2}} + 2010 = x - 2 + \dfrac{9}{{x - 2}} + 2012\)

Với \(x > 2 \Leftrightarrow x - 2 > 0 \Rightarrow \dfrac{9}{{x - 2}} > 0\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \(x - 2\) và \(\dfrac{9}{{x - 2}}\)

\(\begin{array}{l}x - 2 + \dfrac{9}{{x - 2}} \ge 2.\sqrt {\left( {x - 2} \right).\dfrac{9}{{x - 2}}}  = 2\sqrt 9  = 6\\ \Rightarrow \,P = x - 2 + \dfrac{9}{{x - 2}} + 2012 \ge 6 + 2012 = 2018\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x - 2 = \dfrac{9}{{x - 2}} \)

\(\Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = 9\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 3\\x - 2 =  - 3\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x =  - 1\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow x = 5\) (do \(x > 2\))

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2018 tại \(x = 5\).

Câu 1 :

Cho biểu thức: \(P = \left( {\dfrac{{2\sqrt x  + 1}}{{x + \sqrt x }} - \dfrac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x }}} \right):\left( {1 + \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)\) với \(x > 0\).

1. Rút gọn P.

2. Tính giá trị của P biết \(x = 2019 - 2\sqrt {2018} \)

Câu 2:

Cho hàm số \(y = \left( {{m^2} - 2m + 3} \right)x - 4\,\,\,\,\,\left( d \right)\), (với m là tham số)

1. Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn đồng biến trên tập xác định của nó.

2. Tìm m để \(\left( d \right)\) đi qua \(A\left( {2;8} \right)\).

3. Tìm m để \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right):y = 3x + m - 4\).

Câu 3 :

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = {x^2} + 3\\x - y =  - 4\end{array} \right.\)  (với m là tham số)

1. Giải hệ với \(m = 3\).

2. Chứng minh rằng với mọi \(m \ne  - 1\) hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right)\). Khi đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q = {x^2} - 2y + 10\).

Câu 4  : Cho đường tròn tâm O, bán kính R và đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) không có điểm chung với đường tròn \(\left( O \right)\), H là hình chiếu vuông góc của O trên \(\left( \Delta  \right)\). Từ điểm M bất kỳ trên \(\left( \Delta  \right)\) (\(M \ne H\)), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn \(\left( O \right)\) (A, B là hai tiếp điểm). Gọi K, I thứ tự là giao điểm của AB với OM và OH.

1. Chứng minh \(AB = 2AK\) và 5 điểm M, A, O, B, H cùng thuộc một đường tròn.

2. Chứng minh \(OI.OH = OK.OM = {R^2}\).

3. Trên đoạn OA lấy điểm N sao cho \(AN = 2ON\). Đường trung trực của BN cắt OM ở E. Tính tỉ số \(\dfrac{{OE}}{{OM}}\).

Câu 5 :

Giải phương trình: \(\sqrt {x + y - 4}  + \sqrt {x - y + 4}  + \sqrt { - x + y + 4}  = \sqrt x  + \sqrt y  + 2\)