I. Trắc nghiệm
Câu 1: A.
Câu 2: C.
Câu 3: D.
Câu 4: B.
II. Tự luận
Câu 5:
1) \(\dfrac{{3x + 5}}{2} < 1 \Leftrightarrow 3x + 5 < 2\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3x < 2 - 5\\ \Leftrightarrow 3x < - 3\\ \Leftrightarrow x < - 1\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left\{ {x|x < - 1} \right\}\)
2) Điều kiện: \(x \ne \pm 2\)
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{x - 2}} = \dfrac{6}{{{x^2} - 4}}\\ \Leftrightarrow x - 2 + x + 2 = 6\end{array}\)
\( \Leftrightarrow 2x = 6\)
\( \Leftrightarrow x = 3\) (TMĐK)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ 3 \right\}\)
3)\(\begin{array}{l}\left| {x - 2} \right| + \left| {2 - x} \right| = 10\\ \Leftrightarrow \left| {x - 2} \right| + \left| {x - 2} \right| = 10\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\left| {x - 2} \right| = 10\\ \Leftrightarrow \left| {x - 2} \right| = 5\end{array}\)
\( \Leftrightarrow x - 2 = 5\) hoặc \(x - 2 = - 5\)
\( \Leftrightarrow x = 7\) hoặc \(x = - 3\)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ { - 3;7} \right\}\)
Câu 6:
Gọi x là số toa chở hàng \(\left( {x \in \mathbb{N}^*} \right)\)
Nếu xếp lên mỗi toa 14 tấn hàng thì còn thừa lại 4 tấn nên số tấn hàng cần phải vận chuyển là \(14x + 4\)
Nếu muốn xếp lên mỗi toa 16 tấn hàng thì còn thiếu 6 tấn nữa nên số tấn hàng cần phải vận chuyển là 16x-6
Vậy ta có phương trình \(14x + 4 = 16x - 6\)
\( \Leftrightarrow 2x = 10 \Leftrightarrow x = 5\) (TMĐK)
Vây tàu hỏa có 5 toa chở hàng
Câu 7:
Vẽ hình đúng để làm được ý 1: 0,5 điểm
1) Xét hai tam giác vuông BCD và HCB có góc C chung
Do đó ta có \(\Delta BCD\) đồng dạng \(\Delta HCB\)
Suy ra \(\dfrac{{BC}}{{HC}} = \dfrac{{CD}}{{CB}}\)
\( \Leftrightarrow CH.CD = C{B^2}\)
2a)
Áp dụng định lí Pi-ta-go ta có: \(C{D^2} = B{C^2} + B{D^2}\)\(\, = {15^2} + {20^2} = 625\)
\(\Rightarrow CD = 25\)
Lại có theo chứng minh trên \(CH.CD = C{B^2}\)
\(\Rightarrow CH = \dfrac{{C{B^2}}}{{CD}} = \dfrac{{{{15}^2}}}{{25}} = 9\)
2b)
Kẻ \(AK \bot CD\) tại K. Xét hai tam giác vuông AKD và BHC có: \(AD = BC,\) \(\widehat {ADK} = \widehat {BCH}\) (do ABCD là hình thang cân). Suy ra \(\Delta AKD = \Delta BHC\) (trường hợp bằng nhau của tam giác vuông)
Do đó \(DK = CH = 9.\) Vậy \(HK = CD - CH - DK \)\(\,= 25 - 9 - 9 = 7\)
Vì KH là hình chiếu vuông góc của AB trên CD nên \(AB = KH = 7\)
Theo chứng minh trên: \(\Delta BCD\) đồng dạng \(\Delta HCB\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{HB}} = \dfrac{{CD}}{{CB}}\\ \Rightarrow BH = \dfrac{{BC.BD}}{{CD}} = \dfrac{{15.20}}{{25}} = 12\end{array}\)
Vậy ta có \({S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).BH}}{2}\)\(\, = \dfrac{{\left( {7 + 25} \right).12}}{2} = 192\)
Câu 8:
Ta có: \(3{x^2} + x + 1 = 3\left( {{x^2} + \dfrac{x}{3} + \dfrac{1}{3}} \right) \)\(\,= 3\left[ {{{\left( {x + \dfrac{1}{6}} \right)}^2} + \dfrac{{11}}{{36}}} \right] > 0,\forall x\)
Vậy (*) \( \Leftrightarrow x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2\)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
