2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
\(a)\,\,2{x^2} - 14x\,{\rm{ = }}\,{\rm{2}}x\left( {x - 7} \right)\)
\(\begin{array}{l}b)\,\,{x^2} - {y^2} + 5x + 5y = \left( {{x^2} - {y^2}} \right) + 5\left( {x + y} \right)\\ = \left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right) + 5\left( {x + y} \right)\\ = \left( {x + y} \right)\left( {x - y + 5} \right).\end{array}\)
Bài 3
Cho biểu thức\(A = \dfrac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}} + \dfrac{x}{{x + 1}} - \dfrac{x}{{x - 1}}\)
a) Để A xác định\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\\x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \pm 1\)
b) Điều kiện: \(x \ne \pm 1.\)
\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}} + \dfrac{x}{{x + 1}} - \dfrac{x}{{x - 1}} \\\;\;\;= \dfrac{{2{x^2} + x\left( {x - 1} \right) - x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\\;\;\; = \dfrac{{2{x^2} + {x^2} - x - {x^2} - x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \\\;\;\;= \dfrac{{2{x^2} - 2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\\;\;\; = \dfrac{{2x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{2x}}{{x + 1}}.\end{array}\)
c) Điều kiện: \(x \ne \pm 1.\)
Ta có: \(A = \dfrac{{2x}}{{x + 1}} = 2 - \dfrac{2}{{x + 1}}\)
Để\(A\)đạt giá trị nguyên thì \(2 \vdots \left( {x + 1} \right) \Rightarrow \left( {x + 1} \right) \in \) Ư(2) \( = \left\{ { \pm 1; \pm 2} \right\}\)
|
\(x + 1\)
|
1
|
-1
|
2
|
-2
|
|
\(x\)
|
0 (tm)
|
-2 (tm)
|
1 (ktm)
|
-3 (tm)
|
Vậy với \(x \in \left\{ {0; - 2; - 3} \right\}\) thì \(A\) nguyên.
Bài 4:
a) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}M{\rm{D}} \bot AB\\ME \bot AC\end{array} \right.\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle M{\rm{D}}A = \angle ME{\rm{A}} = {90^0}\)
Xét tứ giác \(A{\rm{D}}ME\)có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle MDA = \angle ME{\rm{A}} = {90^0}\left( {cmt} \right)\\\angle DAE = {90^0}\left( {gt} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(A{\rm{D}}ME\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
b)Xét \(\Delta AMC\) và \(\Delta BAC\) có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\angle AMC = \angle BAC = {90^0}\left( {gt} \right)\\\angle C\,\,chung\end{array} \right. \Rightarrow \Delta AMC \sim \Delta BAC\left( {g - g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow AM.BC = AB.AC\) (tính chất hai tam giác đồngdạng)
c)Gọi \(O\) là giao điểm của \(DE\) và \(AM\). Ta có \(DME{\rm{A}}\) là hình chữ nhật (cmt)
\( \Rightarrow OM = OE\) (tính chất hình chữ nhật)
\( \Rightarrow \Delta OM{\rm{E}}\)cân tại\(O\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)
\( \Rightarrow \angle OME = \angle OEM\) (tính chất tam giác cân)
Xét \(\Delta MEC\) vuông tại \(E\) và có \(I\) là trung điểm của \(MC\) (gt)
\( \Rightarrow EI = \dfrac{{MC}}{2}\left( 1 \right)\) (tính chất trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)
Mà\(I\)là trung điểm của\(MC\) (gt) \( \Rightarrow MI = IC\left( 2 \right)\) (tính chất trung điểm)
Từ (1) và (2) suy ra\(EI = MI \Rightarrow \Delta MIE\)cân tại\(I\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)
\( \Rightarrow \angle IME = \angle IEM\) (tính chất tam giác cân)
Mặtkhác, \(\angle AME + \angle EMC = {90^0} \Rightarrow \angle DEM + \angle MEI = {90^0}\)
\( \Rightarrow \Delta DEI\) vuông tại \(E\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)
d)Vì\(EI = \dfrac{{MC}}{2}\left( {cmt} \right) \Rightarrow MC = 2{\rm{E}}I\). Mà\(DE = 2{\rm{E}}I \Rightarrow DE = MC\)
Suyra \(D,\,E\) là trung điểm của \(AB\)và\(AC\). Thật vậy, ta có:
\(D,\,E\)là trung điểm của \(AB\) và \(AC\) \( \Rightarrow DE\)là đường trung bình của\(\Delta ABC\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)
\( \Rightarrow DE//BC\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (3)
Mà DMEA là hình chữ nhật (cmt) \( \Rightarrow DM//A{\rm{E}}\) (tính chất hình chữ nhật)
Hay \(DM//EC\left( 4 \right)\) .
Từ (3) và (4) suy ra tứ giác\(DMCE\)là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
\( \Rightarrow DE = MC\) (tính chất hình bình hành)
Mà\(MC = 2{\rm{E}}I\left( {cmt} \right) \Rightarrow DE = 2{\rm{E}}I\).
Vậy để\(DE = 2{\rm{E}}I\)thì\(D,\,E\)là trung điểm của\(AB\)và\(AC\).
Bài 5.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;2{x^2} + 2{y^2} + 3xy - x + y + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 4{x^2} + 4{y^2} + 6xy - 2x + 2y + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} + 2y + 1} \right) + 3\left( {{x^2} + {y^2} + 2xy} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + 3{\left( {x + y} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\y + 1 = 0\\x + y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 1\\x = - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 1\end{array} \right.\end{array}\)
Thay\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 1\end{array} \right.\)vào\(P = {\left( {x + 2y} \right)^5} + {\left( {y + 1} \right)^4} + {\left( {x - 2} \right)^3}\)ta được:
\(P = {\left( {1 - 2} \right)^5} + {\left( { - 1 + 1} \right)^4} + {\left( {1 - 2} \right)^3} = - 2\).
