Bài 1. \({x^6} - {x^4} + 2{x^3} + 2{x^2}\)
\(= {x^2}\left( {{x^4} - {x^2} + 2x + 2} \right) \)
\(= {x^2}\left[ {{x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) + 2\left( {x + 1} \right)} \right]\)
\( = {x^2}\left( {x + 1} \right)\left( {{x^3} - {x^2} + 2} \right) \)
\(= {x^2}\left( {x + 1} \right)\left[ {\left( {{x^3} + 1} \right) - \left( {{x^2} - 1} \right)} \right]\)
\( = {x^2}\left( {x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1 - x + 1} \right) \)
\(= {x^2}{\left( {x + 1} \right)^2}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right).\)
Bài 2. Điều kiện: \(a \ne \pm 4;b \ne 2.\)
\(A = {{b\left( {a - 4} \right) - 2\left( {a - 4} \right)} \over {2\left( {a + 4} \right) - b\left( {a + 4} \right)}}:{{2\left( {a - 4} \right) - b\left( {a - 4} \right)} \over {b\left( {a + 4} \right) - 2\left( {a + 4} \right)}}\)
\(= {{\left( {a - 4} \right)\left( {b - 2} \right)} \over {\left( {a + 4} \right)\left( {2 - b} \right)}}:{{\left( {a - 4} \right)\left( {2 - b} \right)} \over {\left( {a + 4} \right)\left( {b - 2} \right)}}\)
\( = {{\left( {a - 4} \right)\left( {b - 2} \right)} \over {\left( {a + 4} \right)\left( {2 - b} \right)}}.{{\left( {a + 4} \right)\left( {b - 2} \right)} \over {\left( {a - 4} \right)\left( {2 - b} \right)}} = {{{{\left( {b - 2} \right)}^2}} \over {{{\left( {2 - b} \right)}^2}}} = 1.\)
Bài 3. a) \(P = \left[ {{{{x^2} - 2x} \over {2\left( {{x^4} + 4} \right)}} - {{2{x^2}} \over {4\left( {2 - x} \right) + {x^2}\left( {2 - x} \right)}}} \right].{{{x^2} - x - 2} \over {{x^2}}}\)
\( = {{x{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 4{x^2}} \over {2\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x - 2} \right)}}.{{{x^2} - x - 2} \over {{x^2}}} = {{x\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \over {2{x^2}\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x - 2} \right)}} = {{x + 1} \over {2x}}.\)
b)Khi \(x = {1 \over 2} \Rightarrow P = {3 \over 2}.\)
Bài 4.\(Q = {x^2} + 1 + {3 \over {2x + 1}}\)
khi và và \(2x + 1 = \pm 1;2x + 1 = \pm 3\)
\( \Rightarrow x = 0; - 1;1; - 2.\)
Bài 5.
a) Tứ giác AMIN là hình chữ nhật (có 3 góc vuông).
b)E đối xứng với I qua M nên EM = IM.
Lại có \(IM\parallel AN\) và \(IM = AN\left( {cmt} \right) \Rightarrow EM\parallel AN\) và \(EM = AN.\)
Do đó tứ giác ANME là hình bình hành mà O là trung điểm của AM nên đường chéo thứ hai EN phải qua O.
Bài 6.
a) Ta có \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_3}}\) (cùng phụ với \(\widehat {{A_2}}\) )
Xét hai tam giác vuông ABF và ADE có
\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_3}}\left( {cmt} \right),AB = AD\left( {gt} \right)\)
Do đó \(\Delta ABF = \Delta ADE\left( {g.c.g} \right)\)
\( \Rightarrow AF = AE.\)
b) Ta có \(EG\parallel AF,AE\parallel FG\) nên tứ giác AEGF là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau : \(AF = AE\) nên là hình vuông.
c) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AG và FE của hình vuông AEGF nên O là trung điểm của EF \) \Rightarrow \) Tam giác vuông FCE có OC là đường trung tuyến nên \(OC = {1 \over 2}EF.\)
Lại có \(OA = {1 \over 2}EF.\) Do đó OA = OC. Chứng tỏ O thuộc đường trung trực của đoạn AC hay O thuộc BD. (Hai đường chéo của hình vuông là đường trung trực của nhau).
Vậy BD, AG, EF đồng quy tại O.
