Đề số 18 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Câu 1. 

a)  Giải phương trình: \(3x - 2 = 0\)

b)  Giải phương trình \({x^2} - 5x + 6 = 0\)

c)  Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\x - 2y =  - 1\end{array} \right.\)

d)     Quãng sông từ A đến B dài \(60km\) . Một ca nô xuôi dòng từ A  đến B rồi ngược từ B trở về A mất tổng cộng 8 giờ. Tính vận tốc thực của ca nô, biết vận tốc dòng nước là \(4km/h.\) 

Câu 2. Rút gọn các biểu thức:

a)  \(A = 2\sqrt {20}  + 3\sqrt {45}  - 4\sqrt {80} .\)

b)  \(B = \left( {2 + \dfrac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right).\dfrac{{x - 1}}{{2\sqrt x  - 1}}\)\(\,\,\,\left( {x \ge 0;x \ne 1;x \ne \dfrac{1}{4}} \right).\)

Câu 3. 

a) Vẽ Parabol (P): \(y = 2{x^2}\) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

b) Tìm a, b để đường thẳng (d): \(y = ax + b\) đi qua \(M\left( {0; - 1} \right)\)  và tiếp xúc với Parabol (P).

Câu 4.  Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 6m - 4 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) (với m là tham số)

a)  Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b)  Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1};x {  _2}\)  thỏa mãn:

\(\left( {2m - 2} \right){x_1} + x_2^2 - 4{x_2} = 4.\)

Câu 5  Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB.\) Kẻ tiếp tuyến \(Ax\) với đường tròn \(\left( O \right).\) Trên tia \(Ax\) lấy điểm \(C,\) từ điểm \(C\) vẽ đường thẳng cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại hai điểm \(D\) và \(E\) (\(D,\;\;E\) không cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ \(AB;\;D\) nằm giữa \(C\) và \(E\)). Từ điểm \(O\) kẻ \(OH \bot DE = \left\{ H \right\}.\)

a) Chứng minh rằng tứ giác \(AOHC\) nội tiếp.

b) Chứng minh rằng \(AD.CE = AC.AE.\)

c) Đường thẳng \(CO\) cắt tia \(BD,\) tia \(BE\) lần lượt tại \(M\) và \(N.\) Chứng minh rằng tứ giác \(AMBN\) là hình bình hành.

Câu 1.

a)  Giải phương trình: \(3x - 2 = 0\)

\(3x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {\dfrac{2}{3}} \right\}\)

b)  Giải phương trình \({x^2} - 5x + 6 = 0\)

Xét \(\Delta  = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.6 = 1 > 0\) . Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{5 - 1}}{2} = 2\\{x_2} = \dfrac{{5 + 1}}{2} = 3\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {2;3} \right\}\)

c)  Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\x - 2y =  - 1\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\x - 2y =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\2x - 4y =  - 2\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3\\x = 2y - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3\\x = 5\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: \(\left( {x;y} \right) = \left( {5;3} \right)\)

d)   Quãng sông từ A đến B dài \(60km\) . Một ca nô xuôi dòng từ A  đến B rồi ngược từ B trở về A mất tổng cộng 8 giờ. Tính vận tốc thực của ca nô, biết vận tốc dòng nước là \(4km/h.\) 

Gọi vận tốc thực của ca nô là: \(x\left( {km/h} \right),\,\left( {x > 0} \right)\)

Vận tốc của ca nô khi đi từ A đến B là: \(x + 4\left( {km/h} \right)\)

Thời gian ca nô đi từ A đến B là: \(\dfrac{{60}}{{x + 4}}\left( h \right)\)

Vận tốc của ca nô khi đi từ B về A là: \(x - 4\left( {km/h} \right)\)

Thời gian ca nô đi từ B về A là: \(\dfrac{{60}}{{x - 4}}\left( h \right)\)

Theo bài ra ta có phương trình:

 \(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\dfrac{{60}}{{x + 4}} + \dfrac{{60}}{{x - 4}} = 8\\ \Leftrightarrow 60\left( {x - 4} \right) + 60\left( {x + 4} \right) = 8\left( {{x^2} - 16} \right)\\ \Leftrightarrow 8{x^2} - 120x - 128 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 15x - 16 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Ta có: \(a - b + c = 1 + 15 - 16 = 0\)  nên phương trình (*) luôn có 1 nghiệm \(x =  - 1\left( {ktm} \right)\) và nghiệm còn lại là: \(x =  - \dfrac{c}{a} = 16\left( {tm} \right)\)

Vậy vận tốc thực của ca nô là 16 (km/h).

Câu 2.

a) \(A = 2\sqrt {20}  + 3\sqrt {45}  - 4\sqrt {80}  \)\(\,= 2\sqrt {{2^2}.5}  + 3\sqrt {{3^2}.5}  - 4\sqrt {{4^2}.5}  \)\(\,= 4\sqrt 5  + 9\sqrt 5  - 16\sqrt 5  =  - 3\sqrt 5 .\)

Vậy \(A =  - 3\sqrt 5 \) .

b)   Với \(x \ge 0;x \ne 1;x \ne \dfrac{1}{4}.\) Ta có:

\(\begin{array}{l}B = \left( {2 + \dfrac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right).\dfrac{{x - 1}}{{2\sqrt x  - 1}}\,\\\,\,\,\, = \dfrac{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right) + 1}}{{\sqrt x  - 1}}.\dfrac{{x - 1}}{{2\sqrt x  - 1}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  - 1}}.\dfrac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{2\sqrt x  - 1}}\\\,\,\,\, = \sqrt x  + 1\end{array}\)

Vậy với \(x \ge 0;x \ne 1;x \ne \dfrac{1}{4}.\)thì \(B = \sqrt x  + 1\)

Câu 3.

a)Vẽ Parabol (P): \(y = 2{x^2}\) trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Bảng giá trị

Khi đó đồ thị (P):\(y = 2{x^2}\) có hình dạng là 1 đường cong và đi qua các điểm A(1;2), B(-1;2), C(-2;8), D(2;8), O(0;0)

b) Tìm a, b để đường thẳng (d): \(y = ax + b\) đi qua \(M\left( {0; - 1} \right)\)  và tiếp xúc với Parabol (P).

Ta có đường thẳng (d) đi qua điểm \(M\left( {0; - 1} \right)\) nên: \( - 1 = a.0 + b \Leftrightarrow b =  - 1\) . Khi đó phương trình đường thẳng (d) có dạng: \(y = ax - 1\) .
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

\(2{x^2} = ax - 1 \Leftrightarrow 2{x^2} - ax + 1 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\)

Số giao điểm của (d) và (P) cũng chính là số nghiệm của phương trình (*)

(d) và (P) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta  = 0 \Leftrightarrow {a^2} - 8 = 0 \Leftrightarrow a =  \pm 2\sqrt 2 \)

Vậy \(\left( {a;b} \right) = \left( {2\sqrt 2 ; - 1} \right);\left( {a;b} \right) = \left( { - 2\sqrt 2 ; - 1} \right)\)  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 4.

a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Xét \(\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 6m + 4\)\(\, = {m^2} + 2m + 1 - 6m + 4 \)\(\,= {\left( {m - 2} \right)^2} + 1 > 0,\forall m\)

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm  x₁; x₂ thỏa mãn: 

\(\left( {2m - 2} \right){x_1} + x_2^2 - 4{x_2} = 4.\,\,\,\left( 2 \right)\)

Do \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình (1) nên ta có:

\(\begin{array}{l}x_2^2 - 2\left( {m + 1} \right){x_2} + 6m - 4 = 0\,\\ \Leftrightarrow x_2^2 - 2m{x_2} - 2{x_2} + 6m - 4 = 0\\ \Leftrightarrow x_2^2 - 4{x_2} + 2{x_2} - 2m{x_2} + 6m - 4 = 0\\ \Leftrightarrow x_2^2 - 4{x_2} =  - 2{x_2} + 2m{x_2} - 6m + 4\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)

Thay (3) vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}2m{x_1} - 2{x_1} - 2{x_2} + 2m{x_2} - 6m + 4 = 4\\ \Leftrightarrow 2m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 6m = 0\\ \Leftrightarrow 2m.2\left( {m + 1} \right) - 2.2\left( {m + 1} \right) - 6m = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 4m - 4m - 4 - 6m = 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 3m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy  \(m = 2;m =  - \dfrac{1}{2}\)  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 5: Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB.\) Kẻ tiếp tuyến \(Ax\) với đường tròn \(\left( O \right).\) Trên tia \(Ax\) lấy điểm \(C,\) từ điểm \(C\) vẽ đường thẳng cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại hai điểm \(D\) và \(E\) (\(D,\;\;E\) không cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ \(AB;\;D\) nằm giữa \(C\) và \(E\)). Từ điểm \(O\) kẻ \(OH \bot DE = \left\{ H \right\}.\)