Đề số 3 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 10

A. TRẮC NGHIỆM 

Câu 1: Khẳng định nào sau đây sai?

A.cos2a = cos²a – sin²a

B.cos2a = 1 - 2sin²a   

C.cos2a= 2cos²a – 1

D.cos2a= 2cosa.sina

Câu 2:Điều tra về điểm thi môn Toán của 43 học sinh lớp 10A thu được bảng tần số sau:

Mốt có giá trị là:  

A.M₀ = 8                     B.M₀ = 10

C.M₀ = 6                     D.M₀ = 12

Câu 3: Giá trị nào sau đây bằng  cos\(\left( {\alpha  + 2017\pi } \right)\)?

A.sin\(\alpha \)                  B. - sin\(\alpha \)

C.-cos\(\alpha \)                D.  cos\(\alpha \)

Câu 4: Tập xác định của hàm số y = \(\dfrac{{ - x + 3}}{{\sqrt {{x^2} - 3x - 4} }}\) là:

A.D =(\( - \infty ; - 1) \cup (4; + \infty )\)

B.D = ( - 1;4) 

C.D =\(( - \infty ; - 1{\rm{]}} \cup {\rm{[}}4; + \infty )\)

D.D = [ - 1; 4 ]

Câu 5: Bất phương trình   x² -  2mx+ m  > 0 ,\(\forall x \in R\)  khi :

A.m\( \in \)( - 1; 0)  

B.m\( \in \)( 0; 1)    

C.m\( \in \)\(( - \infty ; - 1) \cup (0; + \infty )\)

D.m\( \in \)\(( - \infty ; - 1{\rm{]}} \cup {\rm{[}}0; + \infty )\)

Câu 6:Điều tra về điểm thi môn Toán của 43 học sinh lớp 10A thu được bảng tần số sau:

Độ lệch chuẩn của các giá trị là:  

A.s = 2,53                   B.s =    7

C. s =1,59                    D.s = 6

Câu 7:Elip (E): \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\)  có  độ dài trục nhỏ  là :

A.6                                          B.4

C.16                            D.8

Câu 8: Đường thẳng d: x + 2y – 1 = 0 song song với đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A.x + 2y - 1 = 0

B. - 2x +  y +1 = 0

C.2x -  y + 3 = 0

D.x + 2y +1 = 0

Câu 9: Đường tròn có phương trình x² + y² – 2x – 3 =0 có bán kính là:

A.R = 5                       B. R= \(\sqrt {13} \)

C. R =1                       D.R = 2

Câu 10: Đường thẳng d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 - 2t\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(t \in R)\), đi qua điểm:

A.A(1; - 2)                  B.B(3; 1)

C.C (2; 1)                    D.D(3; - 2)

Câu 11: Hypebol có trục thực bằng 8, tiêu cự bằng 10 thì có phương trình chính tắc là:

A.\(\dfrac{{{x^2}}}{{16}} - \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\)  

B.\(\dfrac{{{x^2}}}{{16}} - \dfrac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)  

C.\(\dfrac{{{x^2}}}{8} - \dfrac{{{y^2}}}{2} = 1\)    

D.\(\dfrac{{{x^2}}}{{16}} - \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\)

Câu 12: Parabol: y² = 12x có đường chuẩn là:

A.x = 2                        B.x = -2

C.x = -3                       D.x = 3

B. TỰ LUẬN 

Bài 1.  Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) \(\dfrac{{{x^2} + 5}}{{{x^2} - 6x - 7}} \le 1\)

b) \(\sqrt {{\rm{2}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ -  5x  - 2}}} \,\,\, = x - 2\)

c)  \(\sqrt {{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ -  8x }}} \,\,\, \le x - 2\)      

Bài 2. Cho hàm số f(x) = \( - {x^2} + 2(m - 2)x + m - 2\). Tìm m để f(x) \( < 0,\,\,\,\,\forall x \in R\).

Bài 3

a) Cho \(\sin a = \dfrac{1}{3}\),  \(\left( {\dfrac{\pi }{2} < a < \pi } \right)\). Tính \(\cos a\) ; \(\cos 2a\) và  sin\(2a\).

b)  Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:  tanA+ tanB+ tanC = tanA.tanB.tanC.

Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 0) , B( - 2; 4) , đường thẳng

\(\Delta \): 2x – y + 1 = 0 và đường tròn (C):  (x –1 )² + (y – 2)² = 8.

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB.

b) Viết phương trình  tham số  của đường thẳng d đi qua A và vuông góc với đường thẳng \(\Delta \).

c) Viết phương trình đường tròn (C^’) có tâm B và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta \).

d) Viết phương trình đường thẳng đi qua M(6 ;1) và tiếp xúc với đường tròn (C).

A.TRẮC NGHIỆM 

B.TỰ LUẬN 

Bài 1:

a)

\(\dfrac{{{x^2} + 5}}{{{x^2} - 6x - 7}} \le 1\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{6x + 12}}{{{x^2} - 6x - 7}} \le 0\,\)      (*)  

Tập nghiệmcủa bất phương trình  \(S = ( - \infty ; - 2{\rm{]}} \cup ( - 1;7)\)

b) \(\sqrt {{\rm{2}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ -  5x  - 2}}} \,\,\, = x - 2\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\2{x^2} - 5x - 2 = {\left( {x - 2} \right)^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\{x^2} - x - 6 = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\\left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3\)

 Vậy  phương trình có 1 nghiệm  x=3

c) \(\sqrt {{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ -  8x }}} \,\,\, \le x - 2\)

\(\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2{\rm{ }} \ge {\rm{0}}\\{x^2} - 8x \ge {\rm{0}}\\{{\rm{x}}^{\rm{2}}} - 8x \le {{\rm{(x  - 2)}}^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2{\rm{ }}\\\left[ \begin{array}{l}x \le 0\\x \ge 8\end{array} \right.\\x \ge  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 8\)

Tập nghiệm S = [8;\( + \infty \))

Bài 2:

f(x) \( < 0,\,\,\,\,\forall x \in R\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' < 0\\a < 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m + 2 < 0\\ - 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < m < 2\)

KL: 1<m<2

Bài 3:

a) +) \({\cos ^2}a = 1 - {\sin ^2}a = 1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}\)\( \Rightarrow \cos a =  \pm \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\)   Chọn  \(\cos a =  - \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

+) \(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a = 1 - 2.\dfrac{1}{9} = \dfrac{7}{9}\)

+) \(\sin 2a = 2\sin a.\cos a \)\(\,= 2.\dfrac{1}{3}.\left( { - \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) =  - \dfrac{{4\sqrt 2 }}{9}\)

b) \(VT = \tan A + \tan B + \tan C \)

\(= \dfrac{{\sin (A + B)}}{{\cos A.\cos B}} + \dfrac{{\sin C}}{{{\mathop{\rm cosC}\nolimits} }}\)

= \(\dfrac{{sinC[\cos C + \cos A.\cos B]}}{{cosC\cos A.\cos B}}\)

\( = \dfrac{{{\mathop{\rm tanC}\nolimits} [ - \cos (A + B) + \cos A.\cos B]}}{{\cos A.\cos B}}\)

\( = \dfrac{{{\mathop{\rm tanC}\nolimits} [\sin A.\sin B]}}{{\cos A.\cos B}} = VP\)

Bài 4:

a)

+) Đường thẳng AB đi qua A( 1 ;0)   và có 1 VTCP là \(\overrightarrow {AB} \)= (-3; 4) => 1VTPT \(\overrightarrow n \)= (4;3)

+) Phương trình tổng quát AB:  4(x – 1) + 3(y – 0) = 0   \( \Leftrightarrow \) 4x + 3y – 4 = 0

b)

+) Đường thẳng \(\Delta \): 2x – y + 1 = 0   có VTPT \({\overrightarrow n _\Delta } = \left( {2; - 1} \right)\)

Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) nên có VTCP là \({\overrightarrow n _\Delta }\)=(2;-1)

+) Phương trình  tham số  của đường thẳng d:

\(\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - t \hfill \cr} \right.\,\,\left( {t \in R} \right)\)

c) Đường tròn (C’) có tâm B và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta \)nên có bán kính R=\(d(B;\Delta ) = \)\(\dfrac{{|2.\left( { - 2} \right) - 4 + 1|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{7}{{\sqrt 5 }}\)

Phương trình đường tròn (C’):  \({\left( {x{\rm{ }} + 2{\rm{ }}} \right)^2} + {\left( {y{\rm{ }}--{\rm{ }}4} \right)^2} = \dfrac{{49}}{5}\)

d) Đường tròn (C) có tâm I(1 ;2) bán kính R = 2\(\sqrt 2 \)

Gọi VTPT của tiếp tuyến d là  \(\overrightarrow n \)= (a;b) (với a² + b²\( \ne \)0)

+)  d qua M(6 ;1)  nên phương trình d: ax + by – 6a – b = 0

+)  d  tiếp xúc với đường tròn (C) nên : d(I ; l) = R       

\( \Leftrightarrow \dfrac{{|a + 2b - 6a - b|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2\sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow 17{a^2} - 10ab - 7{b^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\a =  - \dfrac{{7b}}{{17}}\end{array} \right.\)

+ Với a = b: Chọn a=1 => b= 1 : pt đường d: \(x+ y – 7 = 0\)

+ Với \(a =  - \dfrac{{7b}}{{17}}\)  : Chọn \(a = 7; b = -17  \)

Phương trình đường d:  \(7x - 17 y  - 25  = 0\)