Đề số 35 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Bài 1  Các đẳng thức sau đúng hay sai, giải thích?

a) \(\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2}}  =  - 3.\)   

b) \(\dfrac{{x - y}}{{\sqrt x  + \sqrt y }} = \sqrt x  - \sqrt y \)  với \(x > 0,\;\;y > 0.\)

Bài 2  Giải phương trình và hệ phương trình sau:

\(a)\;\;2{x^2} - 5x + 2 = 0.\)

\(b)\;\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 1\\3x - 2y = 5\end{array} \right..\)

Bài 3 

Cho hai hàm số \(\left( P \right):\;\;y = {x^2}\) và \(d:\;\;y = x + 2m + 10,\) với \(m\) là tham số.

a) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) trên hệ trục tọa độ \(Oxy.\)

b) Tìm giá trị của tham số \(m\) biết \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại điểm có hoành độ bằng \(5.\)

Bài 4 

Đua ghe ngo là một trong những nét văn hóa truyền thống độc đáo của đồng bào dân tộc Khmer Nam Bộ. Cuộc đua luôn thu hút hàng trăm ngàn người tham dự vào dịp lễ hội Ok-om-bok hàng năm (rằm tháng 10 âm lịch). Đua ghe ngo là dịp để các đội ghe đến tham gia tranh tài, qua đó nhằm tôn vinh, nâng cao ý thức bảo tồn di sản văn hóa truyền thống của địa phương, thể hiện tinh thần đoàn kết dân tộc, khơi dậy niềm tự hào, tinh thần yêu quê hương đất nước

Tại lễ hội đua ghe ngo Sóc Trăng, có 56 đội ghe trong và ngoài đăng ký tham gia. Lúc đầu ban tổ chức dự kiến chia 56 đội thành các bảng đấu với số đội ở mỗi bảng bằng nhau. Tuy nhiên, đến ngày bốc thăm chia bảng thì có 1 đội không tham dự được, vì vậy ban tổ chức quyết định tăng ở mỗi bảng thêm 1 đội, do đó tổng số bảng đấu giảm đi 3 bảng. Hỏi số bảng đấu dự kiến lúc đầu là bao nhiêu?

Bài 5  Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn \(\left( O \right),\;\;AB > AC\) và  các đường cao \(AD,\;\;BE,\;\;CF\) cắt nhau tại \(H.\)

a) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AH,\) chứng minh \(AEHF\) nội tiếp đường tròn \(\left( I \right).\)

b) Chứng minh \(DB.DC = DA.DH.\)

c) Gọi \(K\) là giao điểm khác \(A\) của hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( I \right).\) Chứng minh \(OI//HK.\)

Bài 1:

Các đẳng thức sau đúng hay sai, giải thích?

a) \(\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2}}  =  - 3.\)     

b) \(\dfrac{{x - y}}{{\sqrt x  + \sqrt y }} = \sqrt x  - \sqrt y \)  với \(x > 0,\;\;y > 0.\)

a) Ta có: \(\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2}}  = \left| { - 3} \right| = 3 \Rightarrow \) biểu thức \(\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2}}  =  - 3\) sai.

b) \(\dfrac{{x - y}}{{\sqrt x  + \sqrt y }} = \dfrac{{\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)}}{{\sqrt x  + \sqrt y }} \)\(\,= \sqrt x  - \sqrt y .\,\,\left( {x > 0;y > 0} \right)\)

\( \Rightarrow \) Biểu thức \(\dfrac{{x - y}}{{\sqrt x  + \sqrt y }} = \sqrt x  - \sqrt y \) đúng.

Bài 2:

Giải phương trình và hệ phương trình sau:

\(a)\;\;2{x^2} - 5x + 2 = 0.\)

Ta có: \(\Delta  = {b^2} - 4ac = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.2.2 = 9 > 0\)

\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{5 + \sqrt 9 }}{{2.2}} = 2\\{x_2} = \dfrac{{5 - \sqrt 9 }}{{2.2}} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right..\)

Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ {\dfrac{1}{2};\;\;2} \right\}.\)

\(b)\;\;\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 1\\3x - 2y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 2y = 2\\3x - 2y = 5\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x = 7\\y = 1 - 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 1\end{array} \right..\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {1; - 1} \right).\)

Bài 3:

Cho hai hàm số \(\left( P \right):\;\;y = {x^2}\) và \(d:\;\;y = x + 2m + 10,\) với \(m\) là tham số.

a) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) trên hệ trục tọa độ \(Oxy.\)

Ta có bảng giá trị:

Đồ thị hàm số \(\left( P \right):\;\;y = {x^2}\) là paraol đi qua các điểm \(\left( { - 2;\;4} \right),\;\left( { - 1;\;1} \right),\;\left( {0;\;0} \right),\;\left( {1;\;1} \right),\;\left( {2;\;4} \right).\)

b) Tìm giá trị của tham số \(m\) biết \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại điểm có hoành độ bằng \(5.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\) là: \({x^2} = x + 2m + 10 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2m - 10 = 0.\;\;\left( * \right)\)

\(d\) cắt \(\left( P \right) \Leftrightarrow \left( * \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta  \ge 0 \Leftrightarrow 1 + 4\left( {2m + 10} \right) \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - \dfrac{{41}}{8}.\)

\(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại điểm có hoành độ bằng \(5 \Rightarrow x = 5\) là nghiệm của phương trình (*).

\( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {5^2} - 5 - 2m - 10 = 0\)

\(\Leftrightarrow 2m = 10 \Leftrightarrow m = 5.\;\;\left( {tm} \right)\)

Vậy \(m = 5\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 4:

Tại lễ hội đua ghe ngo Sóc Trăng, có 56 đội ghe trong và ngoài đăng ký tham gia. Lúc đầu ban tổ chức dự kiến chia 56 đội thành các bảng đấu với số đội ở mỗi bảng bằng nhau. Tuy nhiên, đến ngày bốc thăm chia bảng thì có 1 đội không tham dự được, vì vậy ban tổ chức quyết định tăng ở mỗi bảng thêm 1 đội, do đó tổng số bảng đấu giảm đi 3 bảng. Hỏi số bảng đấu dự kiến lúc đầu là bao nhiêu?

Gọi số đội trong mỗi bảng ban đầu là \(x\) (đội), \(\left( {0 < x < 56,\;\;x \in N} \right).\)

Gọi số bảng được chia ban đầu là \(y\) (bảng), \(\left( {3 < y < 56,\;\;y \in N} \right).\)

Khi đó ta có phương trình:\(xy = 56\;\;\;\left( 1 \right)\)

Có 1 đội không tham dự được nên có \(56 - 1 = 55\) đội tham dự được.

Mỗi bảng thêm 1 đội nên số đội trong mỗi bảng lúc này là: \(x + 1\) (đội).

Tổng số bảng đấu giảm đi 3 nên số bảng đấu lúc này là: \(y - 3\) (bảng).

Theo đề bài ta có phương trình:

\(\left( {x + 1} \right)\left( {y - 3} \right) = 55\\ \Leftrightarrow y - 3x - 3 + xy = 55 \\\Leftrightarrow y - 3x = 58 - xy\\ \Leftrightarrow y - 3x = 2\;\;\;\;\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}xy = 56\\y - 3x = 2\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2 + 3x\\x\left( {2 + 3x} \right) = 56\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3x + 2\\3{x^2} + 2x - 56 = 0\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3x + 2\\\left( {x - 4} \right)\left( {3x + 14} \right) = 0\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3x + 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 4\;\;\left( {tm} \right)\\x =  - \dfrac{{14}}{3}\;\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 14\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)

Vậy số bảng đấu dự kiến lúc đầu là 14 bảng đấu.

Bài 5:

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn \(\left( O \right),\;\;AB > AC\) và  các đường cao \(AD,\;\;BE,\;\;CF\) cắt nhau tại \(H.\)

a) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AH,\) chứng minh \(AEHF\) nội tiếp đường tròn \(\left( I \right).\)

Xét tứ giác \(AEHF\) ta có: \(\angle AFH = \angle AEH = {90^0}\) (gt) \( \Rightarrow \angle AFH + \angle AEH = {180^0}\).

\( \Rightarrow AEHF\) nội tiếp đường tròn đường kính AH (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

\(\angle AFH,\;\angle AEH = {90^0} \Rightarrow \angle AFH,\;\angle AEH\) cùng nhìn đoạn \(AH\) dưới góc \({90^0}.\)

Mà I là trung điểm của AH.

Vậy tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn \(\left( I \right)\) đườn kính AH.

b) Chứng minh \(DB.DC = DA.DH.\)

Ta có: \(\angle AHF + \angle FAH = {90^0}\)  (\(\Delta AFH\) vuông tại \(F\)).

\(\angle ABD + \angle DAB = {90^0}\) (\(\Delta ABD\) vuông tại \(D\)).

\( \Rightarrow \angle AHF = \angle ABD\) (cùng phụ với \(\angle FAH\))

Mà \(\angle DHC = \angle AHF\) (hai góc đối đỉnh).

\( \Rightarrow \angle ABD = \angle DHC\;\;\left( { = \angle AHF} \right).\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta CHD\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle ADB = \angle HDC = {90^0}\\\angle ABD = \angle DHC\;\;\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta CHD\;\;\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{DB}}{{DH}} = \dfrac{{DA}}{{DC}} \Leftrightarrow DB.DC = DA.DH.\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\) 

c) Gọi \(K\) là giao điểm khác \(A\) của hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( I \right).\) Chứng minh \(OI//HK.\)

Ta có:

\(A;K \in \left( I \right) \Rightarrow IA = IK \Rightarrow I\)  thuộc trung trực của AK;

 \(A;K \in \left( O \right) \Rightarrow OA = OK \Rightarrow O\) thuộc trung trực của AK;

\( \Rightarrow OI\) là trung trực của AK \( \Rightarrow OI \bot AK\).

Lại có \(\angle AKH\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( I \right) \Rightarrow \angle AKH = {90^0} \Rightarrow HK \bot AK\).

\( \Rightarrow OI//HK\) (cùng vuông góc với AK) (đpcm).