Bài I:
1) Tính giá trị của A
Thay \(x = \dfrac{9}{4}\) (TMĐK: \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\)) vào A ta được \(A = \dfrac{{\sqrt {\dfrac{9}{4}} + 1}}{{\sqrt {\dfrac{9}{4}} - 1}}\)
Tìm được A = 5 và kết luận
2) Rút gọn B
Biến đổi \(B = \dfrac{{\sqrt x + 1 + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)\(\,.\dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{2\sqrt x + 1}}\)
Tìm được \(B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\) và kết luận
3) Tìm giá trị lớn nhất của P
Tìm được \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} = 1 + \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}\)
Tìm được \({P_{max}} = 2 + \sqrt 2 \) tại x = 2 và kết luận
Bài II:
Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Gọi số luống ban đầu là a (luống, a > 5) và số cây bắp cải trồng mỗi luống ban đầu là b (cây, x > 2)
Số bắp cải trong vườn nhà Mai là ab (cây)
Vì khi tăng thêm 7 luốn và mỗi luống trồng ít đi 2 cây thì số cây bắp cải trong vườn giảm 9 cây nên ta có:
\(\left( {a + 7} \right)\left( {b - 2} \right) = ab - 9\)
Vì giảm đi 5 luống và mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số cải bắp cải toàn vườn sẽ tăng thêm 15 cây nên ta có:
\(\left( {a - 5} \right)\left( {b + 2} \right) = ab + 15\)
Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {a + 7} \right)\left( {b - 2} \right) = ab - 9\\\left( {a - 5} \right)\left( {b + 2} \right) = ab + 15\end{array} \right.\)
Giải hệ ta được \(\left\{ \begin{array}{l}a = 50\\b = 15\end{array} \right.\) và kết luận
Bài III:
1) Giải hệ phương trình
ĐKXĐ: \(x \ge \dfrac{1}{2};y = - 1\)
Đặt \(\dfrac{1}{{\sqrt {2x - 1} }} = a;\dfrac{1}{{y + 1}} = b,\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}9a - 3b = 2\\4a - b = 1\end{array} \right.\)
Giải ra được \(a = b = \dfrac{1}{3}\)
Từ đó tìm được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 2\end{array} \right.\) và kết luận
2) Đường thẳng và parabol
a) Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):
\({x^2} - 2x - \left( {{m^2} - 1} \right) = 0\)
d và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)
Tìm được \(m \ne 0\) và kết luận
b) Tìm m để HK bằng 3
Gọi \({x_1},\) \({x_2}\) là các nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm
Ta có: \(HK = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3\) nên \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 9\) với \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = 1 - {m^2}\end{array} \right.\)
Tìm được \(m = \pm \dfrac{3}{2}\) và kết luận
Lưu ý:
- Học sinh có thể sử dụng công thức nghiệm để tìm được \({x_1} = 1 - m\) và \({x_2} = 1 + m\)
Bài IV:
1) Chứng minh CEDF là tứ giác nội tiếp
Ta có: \(\widehat {ACB} = \widehat {ADB} = {90^0}\)
\( \Rightarrow \widehat {FCE} = \widehat {FDE} = {90^0}\)
Tứ giác CEDF có:
\( \Rightarrow \widehat {FCE} + \widehat {FDE} = {180^0}\)
Lập luận và kết luận
2) Chứng minh FC.FA = FD.BF
Xét \(\Delta FCB\) và \(\Delta FDA\) có \(\widehat {FCB} = \widehat {FDA} = {90^0}\) và \(\widehat {CFB}\) chung
\( \Rightarrow \Delta FCB\) # \(\Delta FDA\) (g - g)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{FC}}{{FD}} = \dfrac{{FB}}{{FA}}\\ \Rightarrow FC.FA = FD = FB\end{array}\)
3) Chứng minh IC tiếp xúc với (O)
\(\Delta OCA\) cân tại O nên \(\widehat {ICF} = \widehat {IFC}\)
\(\Delta ICF\) cân tại I nên \(\widehat {OAC} = \widehat {OCA}\)
Từ đó \(\widehat {ICF} + \widehat {OCA} = \widehat {IFC} + \widehat {OAC} = {90^0}\) Vì \(\Delta HAF\) vuông tại H (do E là trực tâm \(\Delta FAB\))
\( \Rightarrow \widehat {ICO} = {90^0} \Rightarrow IC \bot OC\)
Kết hợp với \(C \in \left( O \right)\) suy ra IC tiếp xúc với (O)
4) Khi C thay đổi E thuộc đường tròn cố định nào?
Gọi T là điểm chính giữa của cung AB không chứa C (T cố định)
IETO là hình bình hành (Vì IE song song và bằng OT)
\( \Rightarrow TE = OI = R\sqrt 2 \) (Vì ICOD là hình vuông cạnh E)
Vậy E thuộc \(\left( {T;R\sqrt 2 } \right)\)
Câu IV:
Tìm giá trị nhỏ nhất của K
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(2 \ge \dfrac{x}{2} + \dfrac{8}{y} \ge 2\sqrt {\dfrac{x}{2}.\dfrac{8}{y}} = 4\sqrt {\dfrac{x}{y}} \) \(\Rightarrow 0 < t = \dfrac{x}{y} \le \dfrac{1}{4}\)
Ta có: \(K = t + \dfrac{2}{t} = \left( {32t + \dfrac{2}{t}} \right) - 31t \)\(\,\ge 2\sqrt {32t.\dfrac{2}{t}} - 31.\dfrac{1}{4} = \dfrac{{33}}{4}\)
Dáu "=" xảy ra\( \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{4}\) hay \(x = 2;y = 8\)
Vậy \({K_{\min }} = \dfrac{{33}}{4} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 8\end{array} \right.\)