Bài 2. Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Hãy tính thể tích hình tứ diện có đỉnh là trọng tâm các mặt của tứ diện đã cho.
Bài 5. Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi H là hình gồm các điểm của hình tròn (O; R) nhưng không nằm trong hình vuông. Tính thể tích hình tròn xoay sinh bởi hình H khi quay quanh đường thẳng chứa một đường chéo của hình vuông.
Bài 6. Cho hình lục giác đều ABCDEF cạnh a.
a) Tính thể tích hình tròn xoay sinh bởi lục giác đó khi quay quanh đường thẳng AD.
b) Tính thế tích hình tròn xoay sinh bởi lục giác đó khi quay quanh đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và DE.
Bài 8. Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(1; 5; 3), B(4; 2; -5), C(5; 5; -1) và D(1; 2; 4).
a) Chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
b) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D . Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B, C và tìm khoảng cách từu điểm D tới mặt phẳng đó.
d) Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với CD và tiếp xúc với mặt cầu (S).
e) Tìm bán kính các đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) và các mặt phẳng tọa độ.
Bài 9. Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \({{x - 1} \over 2} = {{y + 1} \over { - 1}} = {z \over 3}.\)
a) Viết phương trình hình chiếu của \(\Delta \) trên các mặt phẳng tọa độ.
b) Chứng minh rằng mặt phẳng \(x + 5y + z + 4 = 0\) đi qua đường thẳng \(\Delta \).
c) Tính khoảng cách giữa đường thẳng \(\Delta \) và các trục tọa độ.
d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta ':x = y = z.\)
e) Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả \(\Delta \) và ’\(\Delta '\).
Bài 10. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; -1; 2), B(2; 0; 1).
a) Tìm quỹ tích các điểm M sao cho \(M{A^2} - M{B^2} = 2.\)
b) Tìm quỹ tích các điểm N sao cho \(N{A^2} + N{B^2} = 3.\)
c) Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng (OAB) và (Oxy).
Bài 12.Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB = a, BC = b, CC’ = c.
a) Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(A’BD).
b) Tính khoảng cách từ điểm A’ tới đường thẳng C’D.
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.