Ôn tập chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Cho hàm số: \(y = 4{x^3} + mx\) (\(m\) là tham số) (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với \(m = 1\).

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng \(y = 13x + 1\).

c) Xét sự biến thiên của hàm số (1) tùy thuộc giá trị của \(m\).

Cho hàm số: \(y =  - ({m^2} + 5m){x^3} + 6m{x^2} + 6x - 5\)

a) Xác định \(m\) để hàm số đơn điệu trên \(\mathbb{R}\). Khi đó, hàm số đồng biến hay nghịch biến? Tại sao?

b) Với giá trị nào của \(m\) thì hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\)?

Cho hàm số \(y = \dfrac{{(a - 1){x^3}}}{3} + a{x^2} + (3a - 2)x\).

a) Xác định \(a\) để hàm số luôn luôn đồng biến.

b) Xác định \(a\) để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số ứng với \(a = \dfrac{3}{2}\).

Từ đó suy ra đồ thị của hàm số: \(y = \left| {\dfrac{{{x^3}}}{6} + \dfrac{{3{x^2}}}{2} + \dfrac{{5x}}{2}} \right|\)

Cho hàm số: \(y = {x^3}-3{x^2}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

b) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^3}-3{x^2}-m = 0\;\) có ba nghiệm phân biệt.

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008)

Cho hàm số: \(y =  - {x^4} - {x^2} + 6\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số đã cho.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng:  \(y = \dfrac{1}{6}x - 1\)

(Đề thi tốt nghiếp THPT năm 2010)

Cho hàm số: \(y = f\left( x \right) = {x^4}-2m{x^2} + {m^3}-{m^2}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m = 1\).

b) Xác định m để đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt.

Cho hàm số \(y = \dfrac{{3(x + 1)}}{{x - 2}}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số.

b) Viết phương trình các đường thẳng đi qua \(O\left( {0;0} \right)\) và tiếp xúc với \(\left( C \right)\).

c) Tìm tất cả các điểm trên \(\left( C \right)\) có tọa độ là các số nguyên.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 3}}\)

b) Chứng minh rằng giao điểm \(I\) của hai tiệm cận của \(\left( C \right)\) là tâm đối xứng của \(\left( C \right)\).

c) Tìm điểm \(M\) trên đồ thị của hàm số sao cho khoảng cách từ \(M\) đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ \(M\) đến tiệm cận ngang.

Chứng minh rằng phương trình \(3{x^5} + 15x-8 = 0\) chỉ có một nghiệm thực.

Hàm số \(y =  - \dfrac{{{x^4}}}{2} + 1\) đồng biến trên khoảng:

A. \(\left( { - \infty ;0} \right)\)            B. \(\left( {0; + \infty } \right)\)

C. \(\left( { - 3;4} \right)\)              D. \(\left( { - \infty ;1} \right)\)

Xác định giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + \left( {m + 1} \right)x - 1}}{{2 - x}}\) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

A. \(m =  - 1\)               B. \(m > 1\)

C. \(m \in \left( { - 1;1} \right)\)        D. \(m \le  - \dfrac{5}{2}\)

Hoành độ các điểm cực tiểu của hàm số \(y = {x^4} + 3{x^2} + 2\) là:

A. \(x =  - 1\)                B. \(x = 5\)

C. \(x = 0\)                   D. \(x = 1,x = 2\)

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \dfrac{4}{{{x^2} + 2x + 3}}\) là:

A. \(3\)                                     B. \(2\)

C. \( - 5\)                                 D. \(10\)

Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 3}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).

C. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).

Tọa độ giao điểm của đồ thị các hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}\) và \(y = x + 1\) là:

A. \(\left( {2;2} \right)\)                  B. \(\left( {2; - 3} \right)\)

C. \(\left( { - 1;0} \right)\)               D. \(\left( {3;1} \right)\)

Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + x + 4} \right)\) với trục hoành là:

A. \(2\)                                       B. \(3\)

C. \(0\)                                       D. \(1\)

Xác định giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} + m{x^2}-3\) có cực đại và cực tiểu.

A. \(m = 3\)                              B. \(m > 0\)

C. \(m \ne 0\)                              D. \(m < 0\)

Xác định giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(2{x^3} + 3m{x^2} - 5 = 0\) có nghiệm duy nhất.

A. \(m = \sqrt[3]{5}\)              B. \(m < \sqrt[3]{5}\)

C. \(m > \sqrt[3]{5}\)              D. \(m \in \mathbb{R}\)

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây:

A. Hàm số \(y = {x^3} - 5\) có hai cực trị.

B. Hàm số \(y = \dfrac{{{x^4}}}{4} + 3{x^2} - 5\) luôn đồng biến.

C. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{3x - 2}}{{5 - x}}\) là \(y =  - 3\).

D. Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{3{x^2} - 2x + 5}}{{{x^2} + x + 7}}\) có hai tiệm cận đứng.

Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây:

A. Hàm số \(y = 4\cos x - 5{\sin ^2}x - 3\) là hàm số chẵn.

B. Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{3{x^2} - 2x + 5}}{{{x^2} + x - 7}}\) có hai tiệm cận đứng.

C. Hàm số \(y = \dfrac{{2x - 3}}{{3x + 4}}\) luôn luôn nghịch biến.

D. Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - 2x\,\,\text{với}\,\,x \ge 0\\\sin \dfrac{x}{3}\,\,\text{với}\,\,x < 0\end{array} \right.\) không có đạo hàm tại \(x = 0\).

Xác định giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^3} + m{x^2} + x - 5 = 0\) có nghiệm dương.

A. \(m = 5\)                                   B. \(m \in \mathbb{R}\)

C. \(m =  - 3\)                                D. \(m < 0\)

Xác định giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(\dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{1}{2}m{x^2} - 5 = 0\) có nghiệm duy nhất.

A. \(m < \sqrt[3]{{ - 30}}\)                       B. \(0 < m < 1\)

C. \(m < 0\)                               D. \(m > \sqrt[3]{{ - 30}}\)