Ôn tập chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song - Câu hỏi và bài tập

Đề bài

Trong mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cho tam giác \(ABC\). Từ ba đỉnh của tam giác này ta kẻ các nửa đường thẳng song song cùng chiều \(Ax\), \(By\), \(Cz\) không nằm trong \(\left( \alpha  \right)\). Trên \(Ax\) lấy đoạn \(AA’ = a\), trên \(By\) lấy đoạn \(BB’ = b\), trên \(Cz\) lấy đoạn \(CC’ = c\).

a) Gọi \(I\), \(J\) và \(K\) lần lượt là các giao điểm \(B’C’\), \(C’A’\) và \(A’B’\) với \(\left( \alpha  \right)\).

Chứng minh rằng \(\dfrac{IB}{IC}.\dfrac{JC}{JA}.\dfrac{KA}{KB} = 1\)

b) Gọi \(G\) và \(G’\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(ABC\) và \(A’B’C’\).

Chứng minh: \(GG'\parallel AA'\).

c) Tính \(GG’ \) theo \(a\), \(b\), \(c\).

Hình vẽ

Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\) và điểm \(M\) nằm trong tam giác \(BCD\).

a) Dựng đường thẳng qua \(M\) song song với hai mặt phẳng \((ABC)\) và \((ABD)\). Giả sử đường thẳng này cắt mặt phẳng \((ACD)\) tại \(B’\).

Chứng minh rằng \(AB’\), \(BM\) và \(CD\) đồng quy tại một điểm.

b) Chứng minh \(\dfrac{MB'}{BA}= \dfrac{dt\left( {\Delta MC{\rm{D}}} \right)}{dt\left( {\Delta BC{\rm{D}}} \right)}\).

c) Đường thẳng song song với hai mặt phẳng \((ACB)\) và \((ACD)\) kẻ từ \(M\) cắt \((ABD)\) tại \(C’\) và đường thẳng song song với hai mặt phẳng \((ADC)\) và \(ADB)\) kẻ từ \(M\) cắt \((ABC)\) tại \(D’\).

Chứng minh rằng \(\dfrac{MB'}{BA} + \dfrac{MC'}{CA} + \dfrac{M{\rm{D}}'}{DA} = 1\) .

Đề bài

Từ các đỉnh của tam giác \(ABC\) ta kẻ các đoạn thẳng \(AA’\), \(BB’\), \(CC’\) song song, cùng chiều, bằng nhau và không nằm trong mặt phẳng của tam giác. Gọi \(I\), \(G\) và \(K\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(ABC\), \(ACC’\), \(A’B’C’\).

a) Chứng minh \(\left( {IGK} \right)\parallel \left( {BB'CC'} \right)\).

b) Chứng minh rằng \(\left( {A'GK} \right)\parallel \left( {AIB'} \right)\).

Đề bài

Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của hai cạnh bên \(AA’\) và \(CC’\). Một điểm \(P\) nằm trên cạnh bên \(DD’\).

a) Xác định giao điểm \(Q\) của đường thẳng \(BB’\) với mặt phẳng \((MNP)\).

b) Mặt phẳng \((MNP)\) cắt hình hộp theo một thiết diện. Thiết diện đó có tính chất gì?

c) Tìm giao tuyến của mặt phẳng \((MNP)\) với mặt phẳng \((ABCD)\) của hình hộp.

Đề bài

Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\). Hai điểm \(M\) và \(N\) lần lượt nằm trên hai cạnh \(AD\) và \(CC’\) sao cho \(\dfrac{AM}{MD} = \dfrac{CN}{NC'}\).

a) Chứng minh rằng đường thẳng \(MN\) song song với mặt phẳng \((ACB’)\)

b) Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng đi qua \(MN\) và song song với mặt phẳng \((ACB’)\)

Hình vẽ

Đề bài

Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’.

a) Chứng minh rằng hai đường chéo AC’ và A’C cắt nhau và hai đường chéo BD’ và B’D cắt nhau.

b) Cho E và F lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD.Chứng minh MN = EF.

Đề bài

Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) cắt nhau theo giao tuyến m. Trên đường thẳng d cắt \(\left( \alpha  \right)\) ở A và cắt \(\left( \beta  \right)\) ở B ta lấy hai diểm cố định S₁,S₂ không thuộc \(\left( \alpha  \right)\), \(\left( \beta  \right)\). Gọi M là một điểm di động trên \(\left( \beta  \right)\). Giả sử các đường thẳng \(M{S_1},M{S_2}\) cắt \(\left( \alpha  \right)\) lần lượt tại M₁ và M₂.

a) Chứng minh rằng M₁M₂ luôn luôn đi qua một điểm cố định.

b) Giả sử đường thẳng M₁M₂ cắt giao tuyến m tại K. Chứng minh rằng ba điểm K, B, M thẳng hàng.

c) Gọi b là một đường thẳng thuộc mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) nhưng không đi qua điểm B và cắt m tại I. Chứng minh rằng khi M di động trên b thì các điểm M₁ và M₂ di động trên hai đường thẳng cố định thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ các trung điểm E, F của các cạnh AB, DD’. Hãy xác định các thiết diện của hình lập phương cắt bởi các mặt phẳng (EFB), (EFC), (EFC’) và (EFK) với K là trung điểm của cạnh B’C’.