Ôn tập chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số Logarit

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(\displaystyle y = \frac{2}{{\sqrt {{4^x} - 2} }}\)

b) \(\displaystyle y = {\log _6}\frac{{3x + 2}}{{1 - x}}\)

c) \(\displaystyle y = \sqrt {\log x + \log (x + 2)} \)

d) \(\displaystyle y = \sqrt {\log (x - 1) + \log (x + 1)} \)

Sử dụng lý thuyết:

- Hàm số \(\displaystyle y = \sqrt {f\left( x \right)} \) xác định nếu \(\displaystyle f\left( x \right)\) xác định và \(\displaystyle f\left( x \right) \ge 0\).

- Hàm số \(\displaystyle y = {\log _a}f\left( x \right)\) xác định nếu \(\displaystyle f\left( x \right)\) xác định và \(\displaystyle f\left( x \right) > 0\).

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(\displaystyle y = \frac{1}{{{{(2 + 3x)}^2}}}\)

b) \(\displaystyle y = \sqrt[3]{{{{(3x - 2)}^2}}}\left( {x \ne \frac{2}{3}} \right)\)

c) \(\displaystyle y = \frac{1}{{\sqrt[3]{{3x - 7}}}}\)   

d) \(\displaystyle y = 3{x^{ - 3}} - {\log _3}x\)

e) \(\displaystyle y = (3{x^2} - 2){\log _2}x\)   

g) \(\displaystyle y = \ln (\cos x)\)

h) \(\displaystyle y = {e^x}\sin x\)       

i) \(\displaystyle y = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{x}\)

Giải các phương trình sau:

a) \(\displaystyle {9^x} - {3^x} - 6 = 0\)

b) \(\displaystyle {e^{2x}} - 3{e^x} - 4 + 12{e^{ - x}} = 0\)

c) \(\displaystyle {3.4^x} + \frac{1}{3}{.9^{x + 2}} = {6.4^{x + 1}} - \frac{1}{2}{.9^{x + 1}}\)

d) \(\displaystyle {2^{{x^2} - 1}} - {3^{{x^2}}} = {3^{{x^2} - 1}} - {2^{{x^2} + 2}}\)

Giải các phương trình sau:

a) \(\displaystyle \ln (4x + 2) - \ln (x - 1) = \ln x\)

b) \(\displaystyle {\log _2}(3x + 1){\log _3}x = 2{\log _2}(3x + 1)\)

c) \(\displaystyle {2^{{{\log }_3}{x^2}}}{.5^{{{\log }_3}x}} = 400\)

d) \(\displaystyle {\ln ^3}x - 3{\ln ^2}x - 4\ln x + 12 = 0\)

Giải các phương trình sau:

a) \(\displaystyle {e^{2 + \ln x}} = x + 3\)

b) \(\displaystyle {e^{4 - \ln x}} = x\)

c) \(\displaystyle (5 - x)\log (x - 3) = 0\)

Giải các bất phương trình mũ sau:

a)  \(\displaystyle {(8,4)^{\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}}}} < 1\)

b) \(\displaystyle {2^{|x - 2|}} > {4^{|x + 1|}}\)

c) \(\displaystyle \frac{{{4^x} - {2^{x + 1}} + 8}}{{{2^{1 - x}}}} < {8^x}\)

d) \(\displaystyle \frac{1}{{{3^x} + 5}} \le \frac{1}{{{3^{x + 1}} - 1}}\)

Giải các bất phương trình logarit sau:

a) \(\displaystyle \frac{{\ln x + 2}}{{\ln x - 1}} < 0\)

b) \(\displaystyle \log _{0,2}^2x - {\log _{0,2}}x - 6 \le 0\)

c) \(\displaystyle \log ({x^2} - x - 2) < 2\log (3 - x)\)

d) \(\displaystyle \ln |x - 2| + \ln |x + 4| \le 3\ln 2\)

Giải các bất phương trình sau:

a) \(\displaystyle (2x - 7)\ln (x + 1) > 0\)

b) \(\displaystyle (x - 5)(\log x + 1) < 0\)

c) \(\displaystyle 2\log _2^3x + 5\log _2^2x + {\log _2}x - 2 \ge 0\)

d) \(\displaystyle \ln (3{e^x} - 2) \le 2x\)

Tìm số tự nhiên \(\displaystyle n\) bé nhất sao cho:

a) \(\displaystyle {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} \le {10^{ - 9}}\)

b) \(\displaystyle 3 - {\left( {\frac{7}{5}} \right)^n} \le 0\)

c) \(\displaystyle 1 - {\left( {\frac{4}{5}} \right)^n} \ge 0,97\)

d) \(\displaystyle {\left( {1 + \frac{5}{{100}}} \right)^n} \ge 2\)

Nếu \(\displaystyle  {a^{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}} > {a^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}\) và \(\displaystyle  {\log _b}\frac{3}{4} < {\log _b}\frac{4}{5}\) thì:

A. \(\displaystyle  0 < a < 1,b > 1\)

B. \(\displaystyle  0 < a < 1,0 < b < 1\)

C. \(\displaystyle  a > 1,b > 1\)

D. \(\displaystyle  a > 1,0 < b < 1\)

Hàm số \(\displaystyle  y = {x^2}{e^{ - x}}\) tăng trong khoảng:

A. \(\displaystyle  \left( { - \infty ;0} \right)\)              B. \(\displaystyle  \left( {2; + \infty } \right)\)

C. \(\displaystyle  \left( {0;2} \right)\)                   D. \(\displaystyle  \left( { - \infty ; + \infty } \right)\)

Hàm số \(\displaystyle  y = \ln \left( {{x^2} - 2mx + 4} \right)\) có tập xác định \(\displaystyle  D = \mathbb{R}\) khi:

A. \(\displaystyle  m = 2\)

B. \(\displaystyle  m > 2\) hoặc \(\displaystyle  m <  - 2\)

C. \(\displaystyle  m < 2\)

D. \(\displaystyle   - 2 < m < 2\)

Đạo hàm của hàm số \(\displaystyle  y = x\left( {\ln x - 1} \right)\) là:

A. \(\displaystyle  \ln x - 1\)                   B. \(\displaystyle  \ln x\)

C. \(\displaystyle  \frac{1}{x} - 1\)                      D. \(\displaystyle  1\)

Nghiệm của phương trình \(\displaystyle  {\log _2}\left( {{{\log }_4}x} \right) = 1\) là:

A. \(\displaystyle  2\)                         B. \(\displaystyle  4\)

C. \(\displaystyle  8\)                         D. \(\displaystyle  16\)

Nghiệm của bất phương trình \(\displaystyle  {\log _2}\left( {{3^x} - 2} \right) < 0\) là:

A. \(\displaystyle  x > 1\)                        B. \(\displaystyle  x < 1\)

C. \(\displaystyle  0 < x < 1\)                D. \(\displaystyle  {\log _2}3 < x < 1\)

Tập nghiệm của bất phương trình \(\displaystyle  {3^x} \ge 5 - 2x\) là:

A. \(\displaystyle  \left[ {1; + \infty } \right)\)            B. \(\displaystyle  \left( { - \infty ;1} \right]\)

C. \(\displaystyle  \left( {1; + \infty } \right)\)           D. \(\displaystyle  \emptyset \)

Cho hàm số \(\displaystyle  y = \frac{{\ln x}}{x}\). Chọn khẳng định đúng:

A. Hàm số có một cực tiểu

B. Hàm số có một cực đại

C. Hàm số không có cực trị

D. Hàm số có một cực đại và một cực tiểu

Phương trình \(\displaystyle  {3^{{x^2} - 2x + 1}} = 1\) có nghiệm là:

A. \(\displaystyle  x = 1\)                     B. \(\displaystyle  x = 0\)

C. \(\displaystyle  x =  - 1\)                  D. \(\displaystyle  x = \frac{1}{3}\)

Tìm tập hợp nghiệm của phương trình \(\displaystyle  {2^{{x^2} - x - 4}} - 4 = 0\).

A. \(\displaystyle  \left\{ {1;2} \right\}\)                 B. \(\displaystyle  \left\{ {2;3} \right\}\)

C. \(\displaystyle  \left\{ { - 2;3} \right\}\)             D. \(\displaystyle  \left\{ {2; - 3} \right\}\)

Tìm tập hợp nghiệm của phương trình \(\displaystyle  {x^{\lg 4}} + {4^{\lg x}} = 32\).

A. \(\displaystyle  \left\{ {100} \right\}\)                    B. \(\displaystyle  \left\{ {10} \right\}\)

C. \(\displaystyle  \left\{ {100;10} \right\}\)               D. \(\displaystyle  \left\{ 4 \right\}\)

Tìm tập hợp nghiệm của phương trình \(\displaystyle  {\log _2}x + {\log _2}\left( {x - 1} \right) = 1\).

A. \(\displaystyle  \left\{ 1 \right\}\)                     B. \(\displaystyle  \left\{ 2 \right\}\)

C. \(\displaystyle  \left\{ {1;2} \right\}\)                 D. \(\displaystyle  \left\{ { - 1;2} \right\}\)

Số nghiệm của phương trình \(\displaystyle  \lg \left( {{x^2} - 6x + 7} \right) = \lg \left( {x - 3} \right)\) là:

A. \(\displaystyle  2\)                             B. \(\displaystyle  1\)

C. \(\displaystyle  0\)                             D. Vô số

Tìm tập hợp nghiệm của phương trình \(\displaystyle  \frac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_4}2x}} = \frac{{{{\log }_8}4x}}{{{{\log }_{16}}8x}}\).

A. \(\displaystyle  \left\{ 2 \right\}\)                      B. \(\displaystyle  \left\{ {\frac{1}{4}} \right\}\)

C. \(\displaystyle  \left\{ {2;\frac{1}{4}} \right\}\)             D. \(\displaystyle  \left\{ {2;\frac{1}{{16}}} \right\}\)

Tìm nghiệm của bất phương trình \(\displaystyle  \frac{{{2^{2x}}}}{8} > 1\) .

A. \(\displaystyle  x > \frac{3}{2}\)              B. \(\displaystyle  x < \frac{3}{2}\)

C. \(\displaystyle  x > \frac{2}{3}\)              D. \(\displaystyle  x < \frac{2}{3}\)

Tìm nghiệm của bất phương trình \(\displaystyle  \frac{{{2^x}}}{2} < {2^{\sqrt {7 - x} }}\)

A. \(\displaystyle  x < 3\)                        B. \(\displaystyle  x \ge 1\)

C. \(\displaystyle  1 \le x < 3\)                D. \(\displaystyle  x < 1\)

Tìm \(\displaystyle  x\), biết \(\displaystyle  {\left( {\sqrt 2 } \right)^x} = \sqrt[3]{2}\).

A. \(\displaystyle  x = 3\)                    B. \(\displaystyle  x = \frac{3}{2}\)

C. \(\displaystyle  x = \frac{2}{3}\)                  D. \(\displaystyle  x = \frac{1}{6}\)

Tìm tập hợp nghiệm của phương trình \(\displaystyle  0,{125.4^{2x}} = {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{8}} \right)^{ - x}}\)

A. \(\displaystyle  \left\{ 6 \right\}\)                        B. \(\displaystyle  \left\{ 4 \right\}\)

C. \(\displaystyle  \left\{ 2 \right\}\)                        D. \(\displaystyle  \left\{ 1 \right\}\)

Tìm tập hợp nghiệm của phương trình \(\displaystyle  {25^x} - {6.5^{x + 1}} + {5^3} = 0\).

A. \(\displaystyle  \left\{ {1;2} \right\}\)                   B. \(\displaystyle  \left\{ {5;25} \right\}\)

C. \(\displaystyle  \left\{ { - 1;2} \right\}\)               D. \(\displaystyle  \left\{ { - 2; - 1} \right\}\)

Tìm tập hợp nghiệm của phương trình \(\displaystyle  {5.4^x} - {7.10^x} + {2.25^x} = 0\)

A. \(\displaystyle  \left\{ {1;\frac{1}{5}} \right\}\)              B. \(\displaystyle  \left\{ {1;\frac{5}{2}} \right\}\)

C. \(\displaystyle  \left\{ {0;1} \right\}\)                  D. \(\displaystyle  \left\{ {0; - 1} \right\}\)

Tìm tập hợp nghiệm của phương trình \(\displaystyle  {3^x}{.2^{{x^2}}} = 1\)

A. \(\displaystyle  \left\{ {0;{{\log }_2}\left( {\frac{1}{3}} \right)} \right\}\)         

B. \(\displaystyle  \left\{ 0 \right\}\)

C. \(\displaystyle  \left\{ { - {{\log }_2}3} \right\}\)                   

D. \(\displaystyle  \left\{ {0;{{\log }_3}2} \right\}\)

Tìm \(\displaystyle  x\) biết \(\displaystyle  {2^x} + {3^x} = {5^x}\).

A. \(\displaystyle  x = 0\)                         B. \(\displaystyle  x = 1\)

C. \(\displaystyle  x =  - 1\)                      D. \(\displaystyle  x = 2\)

Phương trình \(\displaystyle  1 + {3^{\frac{x}{2}}} = {2^x}\) có bao nhiêu nghiệm?

A. \(\displaystyle  0\)                        B. \(\displaystyle  1\)

C. \(\displaystyle  2\)                        D. Vô số

Tìm tập hợp nghiệm của phương trình \(\displaystyle  \frac{1}{{25}}{.5^x} + x = 3\).

A. \(\displaystyle  \left\{ {2;{{\log }_5}3} \right\}\)               B. \(\displaystyle  \left\{ {5;{{\log }_5}2} \right\}\)

C. \(\displaystyle  \left\{ {{{\log }_5}3} \right\}\)                   D. \(\displaystyle  \left\{ 2 \right\}\)

Tìm \(\displaystyle  x\) biết \(\displaystyle  {\log _2}x =  - 2\).

A. \(\displaystyle  x =  - 4\)                    B. \(\displaystyle  x = \frac{1}{4}\)

C. \(\displaystyle  x =  - \frac{1}{4}\)                  D. \(\displaystyle  x = 4\)

Tìm tập hợp nghiệm của phương trình \(\displaystyle  {\log _3}x + {\log _9}x + {\log _{27}}x = 11\)

A. \(\displaystyle  \left\{ {18} \right\}\)                   B. \(\displaystyle  \left\{ {27} \right\}\)

C. \(\displaystyle  \left\{ {729} \right\}\)                 D. \(\displaystyle  \left\{ {11;1} \right\}\)

Tìm tập hợp nghiệm của phương trình sau \(\displaystyle  \lg \left( {152 + {x^3}} \right) = \lg {\left( {x + 2} \right)^3}\)

A. \(\displaystyle  \left\{ 4 \right\}\)                    B. \(\displaystyle  \left\{ { - 6} \right\}\)

C. \(\displaystyle  \left\{ {4; - 6} \right\}\)            D. \(\displaystyle  \left\{ {4;6} \right\}\)

Tìm \(\displaystyle  x\) biết \(\displaystyle  {\log _3}x + {\log _4}\left( {x + 1} \right) = 2\).

A. \(\displaystyle  x = 1\)                       B. \(\displaystyle  x = 2\)

C. \(\displaystyle  x = 3\)                       D. \(\displaystyle  x = 4\)

Số nghiệm của phương trình \(\displaystyle  {\log _{2003}}x + {\log _{2004}}x = 2005\) là:

A. \(\displaystyle  0\)                   B. \(\displaystyle  1\)

C. \(\displaystyle  2\)                   D. Vô số

Tìm tập nghiệm của bất phương trình \(\displaystyle  {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{1}{x}}} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2}\).

A. \(\displaystyle  \left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)\)         B. \(\displaystyle  \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

C. \(\displaystyle  \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\)              D. \(\displaystyle  \left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\)

Tìm \(\displaystyle  x\) biết \(\displaystyle  \lg 2\left( {x + 1} \right) > 1\).

A. \(\displaystyle  x > 4\)                  B. \(\displaystyle   - 1 < x < 4\)

C. \(\displaystyle  x > 9\)                  D. \(\displaystyle   - 1 < x < 9\)

Tìm tập hợp nghiệm của bất phương trình \(\displaystyle  {\log _2}\frac{{3x}}{{x + 2}} > 1\).

A. \(\displaystyle  \left( { - \infty ; - 2} \right)\)

B. \(\displaystyle  \left( {4; + \infty } \right)\)

C. \(\displaystyle  \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\)

D. \(\displaystyle  \left( { - 2;4} \right)\)