Ôn tập chương I - Vectơ - Toán 10

Cho lục giác đều \(ABCDEF\) có tâm \(O\). Hãy chỉ ra các vectơ bằng \(\overrightarrow {AB} \) có điểm đầu và điểm cuối là \(O\) hoặc các đỉnh của lục giác.

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \) . Các khẳng định sau đúng hay sai?

A. Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \)  cùng hướng thì cùng phương

B. Hai vectơ \(\overrightarrow b \) và \(k\overrightarrow b \) cùng phương

C. Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(( - 2)\overrightarrow a \) cùng hướng

D. Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \) ngược hướng với vectơ thứ ba khác \(\overrightarrow 0 \)  thì  cùng phương.

Tứ giác \(ABCD\) là hình gì nếu \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \) và \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\)

Chứng minh rằng \(|\overrightarrow a  + \overrightarrow b | \le |\overrightarrow a | + |\overrightarrow {b|} .\)

Cho tam giác đều \(ABC\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Hãy xác định các điểm \(M, N, P\) sao cho:

a) \(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} \)

b) \(\overrightarrow {OP}  = \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OA} \)

c) \(\overrightarrow {ON}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} \)

Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(a\). Tính:

a) \(|\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} |\)

b) \(|\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} |\)

Cho sáu điểm \(M, N, P, Q, R, S\) bất kì. Chứng minh rằng :

 \(\overrightarrow {MP}  + \overrightarrow {NQ}  + \overrightarrow {RS}  \)\(= \overrightarrow {MS}  + \overrightarrow {NP}  + \overrightarrow {RQ} .\)

Cho tam giác \(OAB\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(OA\) và \(OB\). Tìm các số \(m, n\) sao cho:

a) \(\overrightarrow {OM}  = m\overrightarrow {OA}  + n\overrightarrow {OB} \)

b) \(\overrightarrow {AN}  = m\overrightarrow {OA}  + n\overrightarrow {OB} \)

c) \(\overrightarrow {MN}  = m\overrightarrow {OA}  + n\overrightarrow {OB} \)

d) \(\overrightarrow {MB}  = m\overrightarrow {OA}  + n\overrightarrow {OB} \)

Chứng minh rằng nếu \(G\) và \(G’\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(ABC\) và \(A’B’C’\) bất kì thì: \(3\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'}. \)   

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Hai vectơ đối nhau thì chúng có hoành độ đối nhau.

b) Vecto \(\overrightarrow a \) cùng phương với \(\overrightarrow i \) nếu \(\overrightarrow a \) có hoành độ bằng 0.

c) Vecto \(\overrightarrow i \) có hoành độ bằng 0 thì cùng phương với \(\overrightarrow j. \)

Cho \(\overrightarrow a (2; 1);\overrightarrow b (3; - 4);\overrightarrow c ( - 7; 2)\)

a) Tìm tọa độ của vecto \(\overrightarrow u  = 3\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b  - 4\overrightarrow c \)

b) Tìm tọa độ vecto \(x\) sao cho \(\overrightarrow x  + \overrightarrow a  = \overrightarrow b  - \overrightarrow c \)

c) Tìm các số \(k\) và \(h\) sao cho \(\overrightarrow c  = k\overrightarrow a  + h\overrightarrow b \)

Cho: \(\overrightarrow u  = {1 \over 2}\overrightarrow i  - 5\overrightarrow j , \, \, \, \overrightarrow v  = \overrightarrow {mi}  - 4\overrightarrow j. \) Tìm \(m\) để \(\overrightarrow u\) và \(\overrightarrow v \) cùng phương.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?

a) Điểm \(A\) nằm trên trục hoành thì có hoành độ bằng \(0\)

b) \(P\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi hoành độ của \(P\) bằng trung bình cộng các hoành độ của \(A\) và \(B\).

c) Nếu tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành thì trung bình cộng các tọa độ tương ứng của \(A\) và \(C\) bằng trung bình cộng các tọa độ tương ứng của \(B\) và \(D\).

Cho tứ giác \(ABCD\). Số các vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) có điểm đầu và điểm cuối là bốn đỉnh của tứ giác bằng:

a) \(4\)                              b) \(6\)                  

c) \(8\)                              d) \(12\)

Cho lục giác đều \(ABCDEF\) tâm \(O\). Số các vecto khác \(\overrightarrow 0 \) cùng phương với \(\overrightarrow {OC} \) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác bằng:

a) \(4\)                                      b) \(6\)                            

c) \(7\)                                      d) \(8\)

ho lục giác đều \(ABCDEF\) có tâm \(O\). Số các vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {OC} \) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:

a) \(2\)                                              b) \(3\)                              

c) \(4\)                                              d) \(6\)

Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 3, BC = 4\). Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AC} \) là:

a) \(5\)                                  b) \(6\)                              

c) \(7\)                                  d) \(9\)

Cho ba điểm phân biệt \(A, B, C\). Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. \(\overrightarrow {CA}  - \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {BC} \)                             

B. \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {BC} \)

C. \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {CB} \)                              

D. \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {CA} \)    

Cho hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\). Điều kiện để điểm \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) là:

A. \(IA = IB\)                                    

B. \(\overrightarrow {IA}  = \overrightarrow {IB} \)

C. \(\overrightarrow {IA}  =  - \overrightarrow {IB} \)                                

D. \(\overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {BI} \)

Cho tam giác \(ABC\) có \(G\) là trọng tâm, \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\). Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. \(\overrightarrow {GA}  = 2\overrightarrow {GI} \)    

B. \(\overrightarrow {IG}  =  - {1 \over 3}\overrightarrow {IA} \)

C. \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = 2\overrightarrow {GI} \)        

D. \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow {GA} \)     

Cho hình bình hành \(ABCD\). Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {BC} \)                        

B. \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB} \)

C. \(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {CD} \)                         

D. \(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {CD} \)

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hình bình hành \(OABC\), \(C\) nằm trên \(Ox\).

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\overrightarrow {AB} \)có tụng độ khác \(0\)                        

B. \(A\) và \(B\) có tung độ khác nhau

C. \(C\) có hoành độ bằng \(0\)                          

D. \({x_A} + {x_C} - {x_B} = 0\)

Cho \(\overrightarrow u  = (3; - 2);\overrightarrow v  = (1; 6)\) . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v \) và \(\overrightarrow a  = \left( { - 4;\,4} \right)\) ngược hướng

B.  \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) cùng phương

C. \(\overrightarrow u  - \overrightarrow v \) và \(\overrightarrow b  = \left( {6; - 24} \right)\) cùng hướng

D. \(2\overrightarrow u  + \overrightarrow v \) và \( \overrightarrow v \) cùng phương

Cho tam giác \(ABC\) có \(A(3; 5); B(1; 2); C(5; 2)\). Trọng tâm của tam giác \(ABC\) là:

A. \({G_1}( - 3;4)\)                                 

B. \({G_2}(4;0)\)

C. \({G_3}(\sqrt 2 ;3)\)                                 

D. \({G_4}(3;3)\)

Cho bốn điểm \(A(1, 1); B(2, -1); C(4, 3); D(3, 5)\). Chọn mệnh đề đúng.

A. Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành

B. Điểm \(G(2;{5 \over 3})\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\)

C. \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD} \)

D. \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \) cùng phương

Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho bốn điểm \(A(-5; -2); B(-5; 3); C(3; 3); D(3; -2)\).

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} \) cùng hướng   

B. Tứ giác ABCD là hình chữ nhật

C. Điểm \(I(-1; 1)\) là trung điểm của \(AC\) 

D. \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OC} \)

Cho tam giác \(ABC\). Đặt \(\overrightarrow a  = \overrightarrow {BC} ;\overrightarrow b  = \overrightarrow {AC} \)

Các cặp vecto nào sau đây cùng phương?

A. \(\left\{ \matrix{2\overrightarrow a + \overrightarrow b \hfill \cr \overrightarrow a + 2\overrightarrow b \hfill \cr} \right.\)   

B. \(\left\{ \matrix{\overrightarrow a - 2\overrightarrow b \hfill \cr \overrightarrow {2a} - \overrightarrow b \hfill \cr} \right.\)

C.  \(\left\{ \matrix{\overrightarrow {5a} + \overrightarrow b \hfill \cr - 10\overrightarrow a - 2\overrightarrow b \hfill \cr} \right.\)

D. \(\left\{ \matrix{\overrightarrow a + \overrightarrow b \hfill \cr \overrightarrow a - \overrightarrow b \hfill \cr} \right.\)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có gốc O là tâm của hình vuông và các cạnh của nó song song với các trục tọa độ.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) \(|\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} | = AB\)

b) \(\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OB} \) và \(\overrightarrow {DC}\)

c) \({x_A} =  - {x_C}\) và \({y_A} = {y_C}.\)

d) \({x_B} =  - {x_C}\) và \({y_C} =- {y_B}.\)

Cho \(M(3;-4).\) Kẻ \(MM_1\) vuông góc với \(O x, \, \, MM_2\) vuông góc với \(Oy.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) \(\overline {O{M_1}}  =  - 3\)                                 

b) \(\overline {O{M_2}}  = 4\)

c) \(\overrightarrow {O{M_1}}  - \overrightarrow {O{M_2}} \) có tọa độ \((-3; -4)\)

d) \(\overrightarrow {O{M_1}}  + \overrightarrow {O{M_2}} \) có tọa độ là \((3; -4)\)

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho \(A(2; -3); B(4; 7)\). Tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\) là:

A. \((6; 4)\)                                 B \((2; 10)\)

C. \((3; 2)\)                                 D. \((8; -21)\)

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho \(A(5; 2); B(10; 8)\). Tọa độ của vecto \(\overrightarrow {AB} \) là:

A. \((15; 10)\)                                  B. \((2; 4)\)

C.\((5; 6)\)                                       D. \((50; 16)\)

Cho tam giác \(ABC\) có \(B(9; 7); C(11; -1), M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\). Tọa độ của vecto \(\overrightarrow {MN} \) là:

A. \((2; -8)\)                          B.\( (1; -4)\) 

C. \((10 ;6)\)                           D. \((5; 3)\)

Trong mặt phẳng tọa \(Oxy\) cho bốn điểm \(A(3; -2); B(7; 1); C(0; 1), D(-8; -5).\) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} \) đối nhau

B. \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} \) cùng phương nhưng ngược hướng

C. \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} \) cùng phương và cùng hướng

D. \(A,\, B,\, C,\, D\) thẳng hàng.

Cho ba điểm \(A(-1;5); B(5; 5); C(-1; 11)\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \( A, B, C\) thẳng hàng

B. \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) cùng phương

C. \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương

D. \(\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {BC} \) cùng phương.

Cho \(\overrightarrow a  = (3; - 4);\overrightarrow b ( - 1;2)\) . Tọa độ của \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b \) là:

a) \((-4; 6)\)                          b) \((2; -2)\)   

c) \((4; -6) \)                           d) \((-5; -14)\)

Cho \(\overrightarrow a  = ( - 1;2);\overrightarrow b  = (5; - 7)\) . Tọa độ của vecto \(\overrightarrow a  - \overrightarrow b \) là:

a) \((6; -9)\)                        b) \((4; -5)\)          

c) \((-6; 9)\)                        d) \((-5; -14)\)

Cho \(\overrightarrow a  = (5;0);\overrightarrow b  = (4;x)\) . Hai vectơ \(a\) và \(b\) cùng phương nếu số \(x\) là:

a) -5                               b) 4                      

c) 0                                d) -1

Cho \(\overrightarrow a  = (x;2);\overrightarrow b  = ( - 5;1);\overrightarrow c  = (x;7)\) . Vectơ \(\overrightarrow c  = 2\overrightarrow a  + 3\overrightarrow b \) nếu:

a) \(x = -15\)                          b) \(x = 3\)   

c) \(x = 15\)                             d) \(x = 5\)

Cho \(A(1;1); B(-2; -2); C(7; 7)\). Khẳng định nào đúng?

A. \(G(2;2)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)

B. Điểm \(B\) ở giữa hai điểm \(A\) và \(C\)

C. Điểm \(A\) ở giữa hai điểm \(B\) và \(C\)

D. Hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng hướng.

Các điểm \(M(2; 3); N(0; -4); P(-1; 6)\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(BC, CA, AB\) của tam giác \(ABC\). Tọa độ của đỉnh \(A\) là:

a) \((1; 5)\)                             b) \((-3; -1)\)    

c) \((-2; -7)\)                       d) \((1; -10)\)

Cho tam giác \(ABC\) có gốc tọa độ là trọng tâm; \(A(-2; 2); B(3; 5)\).

Tọa độ của đỉnh \(C\) là:

a) \((-1; -7)\)                        b) \((2; -2)\) 

c) \((-3; -5)\)                       d) \((1; 7)\)

Khẳng định nào trong các khẳng định sau đây là đúng?

a) Hai vectơ\(\left\{ \matrix{\overrightarrow a = ( - 5;0) \hfill \cr \overrightarrow b = ( - 4;0) \hfill \cr} \right.\) cùng hướng

b) Vectơ \(c = (7; 3)\) là vecto đối của \(\overrightarrow d  = ( - 7;3)\)

c) Hai vecto\(\left\{ \matrix{\overrightarrow u = (4;2) \hfill \cr \overrightarrow v = (8;3) \hfill \cr} \right.\) cùng phương

d) Hai vecto\(\left\{ \matrix{\overrightarrow a = (6;3) \hfill \cr \overrightarrow b = (2;1) \hfill \cr} \right.\) ngược hướng.

Trong hệ trục \((O; \overrightarrow i ;\overrightarrow j), \)  tọa độ của vecto \(\overrightarrow i  + \overrightarrow j \) là:

a) \((0; 1)\)                            b) \((-1; 1)\)     

c) \((1; 0)\)                            d) \((1; 1)\)