Ôn tập chương II - Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Hãy nhắc lại định nghĩa giá trị lượng giác của một  góc \(α\) với \(0^0≤  α ≤ 180^0\). Tại sao khi \(α\) là một góc nhọn thì giá trị lượng giác này lại chính là các tỉ số lượng giác đã được học ở lớp 9?

Tại sao hai góc bù nhau lại có sin bằng nhau và cosin đối nhau?

Nhắc lại định nghĩa tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \). Tích vô hướng này với |\(\overrightarrow a \)  | và |\(\overrightarrow b \) | không đổi đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhẩt khi nào?

Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho vecto \(\overrightarrow a  = ( - 3;1)\) và vecto \(\overrightarrow b  = (2;2)\) . Hãy tính tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b .\) 

Hãy nhắc lại định lí cosin trong tam giác. Từ các hệ thức này hãy tính \(\cos A, \cos B , \cos C\) theo các cạnh của tam giác.

Từ hệ thức \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\) trong tam giác, hãy suy ra định lí Py-ta-go.

Chứng minh rằng với mọi tam giác \(ABC\), ta có  \(a = 2R\sin A; b = 2R\sin B ; \)\(c = 2R\sin C\), trong đó \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Cho tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng:

a) Góc \(A\) nhọn khi và chỉ khi \({a^2} < {b^2} + {c^2}\)

b) Góc \(A\) tù khi và chỉ khi \({a^2} > {b^2} + {c^2}\)

c) Góc \(A\) vuông khi và chỉ khi \({a^2} = {b^2} + {c^2}\)

Cho tam giác \(ABC\) có góc \(A = 60^0, BC = 6\). Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Cho tam giác \(ABC\) có \(a = 12, b = 16, c = 20\). Tính diện tích \(S\)  tam giác,  chiều cao \(h_a\), các bán kính \(R, r\) của các đường tròn ngoại tiếp, nội  tiếp tam giác và đường trung tuyến \(m_a\) của tam giác.

Trong tập hợp các tam giác có hai cạnh là \(a\) và \(b\). Tìm tam giác có diện tích lớn nhất.

Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?

A. \(\sin {150^0} =  - {{\sqrt 3 } \over 2}\)     

B. \(\cos {150^0} = {{\sqrt 3 } \over 2}\) 

C. \(\tan {150^0} =  - {1 \over {\sqrt 3 }}\)     

D. \(\cot {150^0} = \sqrt 3 \)

Cho \(α\) và \(β\) là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?

A. \(\sin α = \sin β\)             

B. \(\cos α = -\cos β\)

C. \(\tan α = -\tan β\)                 

D. \(\cot α = \cot β\)

Cho \(α\) là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\sin α < 0\)                                  

B. \(\cos α > 0\)

C. \(\tan α < 0\)                                  

D. \(\cot α > 0\)

Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?

A. \(\cos 45^0= \sin 45^0\)         

B. \(\cos 45^0 = \sin 135^0\)

C. \(\cos 30^0 = \sin 120^0\)           

D. \(\sin 60^0 = \cos 120^0\)

Hai góc nhọn \(α\) và \(β\)  trong đó \(α < β\) . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. \(\cos \alpha  < \cos \beta \)   

B. \(\sin α < \sin β\)

C. \(α + β  = 90^0⇒ \cos α = \sin β\)    

D. \(\tan α + \tan β  > 0\)

Tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) và có góc \(B = 30^0\). Khẳng định nào sau đây là sai?

A. \({\mathop{\rm cosB}\nolimits}  = {1 \over {\sqrt 3 }}\)       

B. \(\sin C = {{\sqrt 3 } \over 2}\)

C. \(\cos C = {1 \over 2}\)               

D. \(\sin B = {1 \over 2}\)

Tam giác đều \(ABC\) có đường cao \(AH\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\sin \widehat {BAH} = {{\sqrt 3 } \over 2}\)   

B. \(\cos \widehat {BAH} = {1 \over {\sqrt 3 }}\)

C. \(\sin \widehat {ABC} = {{\sqrt 3 } \over 2}\)   

D. \(\sin \widehat {AHC} = {1 \over 2}\)

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\sin α = \sin (180^0– α)\)   

B. \(\cos α = \cos (180^0– α)\)

C. \(\tan α = \tan (180^0 – α)\)           

D. \(\cot α = \cot (180^0 – α)\)

Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây:

a) \(\cos 35^0> \cos 10^0\)     

b) \(\sin 60^0 = \sin 80^0\)

c) \(\tan 45^0< \tan 60^0\)           

d) \(\cos 45^0 = \sin 45^0\)

Tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) và có góc \(B = 50^0\). Hệ thức nào sau đây là sai:

A. \((\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ) = {130^0}\)                                

B. \((\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AC} ) = {40^0}\)

C. \((\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CB} ) = {50^0}\)                                   

D. \((\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} ) = {120^0}\)

Cho \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vecto cùng hướng và đều khác vecto \(\overrightarrow 0 \)  . Trong các kết quả sau đây, hãy chọn kết quả đúng.

A. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = |\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |\)     

B.  \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\)

C. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - 1\)       

D. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - |\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |\)

Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) có \(AB = AC = 30 cm\). Hai đường trung tuyến \(BF\) và \(CE\) cắt nhau tại \(G\). Diện tích tam giác \(GFC\) là:

A. \(50cm^2\)                                   

B. \(50 \sqrt2 cm^2\)

C. \(75cm^2\)                                   

D. \(15 \sqrt{105} cm^2\)

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 5cm, BC = 13cm\).  Gọi góc \(ABC = α\) và góc \(ACB = β\). Hãy chọn kết luận đúng khi so sánh \(α\) và \(β\).

a) \( β > α \)                        b) \( β < α \) 

c) \(α = β\)                        d) \(α ≤ β\)

Cho góc \(xOy = 30^0\). Gọi \(A\) và \(B\) là hai điểm di động lần lượt trên \(Ox\) và \(Oy\) sao cho  \(AB = 1.\) Độ dài lớn nhất của đoạn \(OB\) bằng:

A. \(1,5\)                                   B. \(\sqrt3\)     

C. \(2 \sqrt2\)                                  D. \(2\)

Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = a, CA = b, AB = c\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Nếu \({b^2} + {c^2} - {a^2} > 0\) thì góc \(A\) nhọn

B. Nếu \({b^2} + {c^2} - {a^2} > 0\) thì góc \(A\) tù

C. Nếu \({b^2} + {c^2} - {a^2} < 0\) thì góc \(A\) nhọn

D. Nếu \({b^2} + {c^2} - {a^2} > 0\) thì góc \(A\) vuông.

Đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R = 15cm\). Gọi \(P\) là một điểm cách tâm \(O\) một khoảng \(PO = 9cm\). Dây cung đi qua \(P\) và vuông góc với \(PO\) có độ dài là:

A. \(22cm\)                                    B. \(23cm\)  

C. \(24cm\)                                    D. \(25cm\)

Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 8cm, AC = 18cm\) và có diện tích bằng \(64cm^2\). Giá trị \(\sin A\) là:

A. \({{\sqrt 3 } \over 2}\)                               B. \({3 \over 8}\)    

C. \({4 \over 5}\)                                  D. \({8 \over 9}\)

Cho hai góc nhọn \(α\) và \(β\) phụ nhau. Hệ thức nào sau đây là sai?

A. \(\sin α = -\cos β\)         

B. \(\cos α = \sin β\)

C. \(\tan α = \cot β\)       

D. \(\cot α = \tan β\)

Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?

A. \(\sin90^0 < \sin 150^0\)                           

B. \(\sin 90^015’ < \sin 90^030’\)

C. \(\cos90^030’ > \cos 100^0\)                     

D. \(\cos 150^0 > \cos 120^0\)

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  < \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \)         

B. \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB}  < \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} \)

C. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  < \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} \)    

D. \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  < \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB} \)

Tam giác \(ABC\) có \(AB = 4cm, BC = 7cm, CA = 9cm\). Giá trị của \(\cos A\) là:

A. \({2 \over 3}\)                                      B. \({1 \over 3}\)     

C. \( - {2 \over 3}\)                                   D. \({1 \over 2}\)

Cho hai điểm \(A(1; 2)\) và \(B (3;4)\). Giá trị của \({\overrightarrow {AB} ^2}\) là:

A. \(4\)                                       B. \(4\sqrt2\)        

C . \(6\sqrt2\)                                 D. \(8\)

 Cho hai vecto \(\overrightarrow a  = (4;3)\)  và \(\overrightarrow b  = (1;7)\) . Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là:

A. \(90^0\)                           B. \(60^0\)      

C. \(45^0\)                           D. \(30^0\)

Cho hai điểm \(M= (1; -2)\) và \(N = (-3; 4)\). Khoảng cách giữa hai điểm \(M\) và \(N\) là:

A. \(4\)                                          B. \(6\)  

C. \(3 \sqrt6\)                                     D.  \(2 \sqrt{13}\)

Tam giác \(ABC\) có \(A= (-1; 1); B = (1; 3)\) và \(C = (1; -1)\)

Trong các cách phát biểu sau đây, hãy chọn cách phát biểu đúng.

A. \(ABC\) là tam giác có ba cạnh bằng nhau

B. \(ABC\) là tam giác có ba góc đều nhọn

C. \(ABC\) là tam giác cân tại \(B\) (có \(BA = BC\))

D. \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\).

Tam giác \(ABC\) có \(A = (10; 5), B = (3; 2), C = (6; -5)\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(ABC\) là tam giác đều

B. \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\)

C. \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\)

D. \(ABC\) là tam giác có góc tù tại \(A\).

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) và nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\). Gọi \(r\) là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\). Khi đó tỉ số \({R \over r}\) là:

A. \(1 + \sqrt 2\)                                                  

B. \({{2 + \sqrt 2 } \over 2}\)

C. \({{\sqrt 2  - 1} \over 2}\)                                                      

D. \({{1 + \sqrt 2 } \over 2}\)

Tam giác \(ABC\) có \(AB = 9cm, AC = 12cm, BC = 15cm\). Khi đó đường trung tuyến \(AM\) của tam giác có độ dài là:

A. \(8cm\)                             B. \(10cm\)    

C. \(9cm\)                             D. \(7,5cm\)

Tam giác \(ABC\) có \(BC = a, CA = b, AB  = c\) và có diện tích \(S\). Nếu tăng cạnh \(BC\) lên \(2\) lần đồng thời tăng cạnh \(CA\) lên \(3\) lần và giữ nguyên độ lớn của góc \(C\) thì khi đó diện tích tam giác mới được tạo nên bằng:

A. \(2S\)                     B. \(3S\)

C. \(4S\)                     D. \(6S\).

Cho tam giác \(DEF\) có \(DE = DF =10cm\) và \(EF = 12cm\). Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(EF\). Đoạn thẳng \(DI\) có độ dài là:

A. \(6,5 cm\)                                      B. \(7cm\)

C. \(8cm\)                                          D. \(4cm\)