Ôn tập chương III - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Giải các hệ phương trình sau và minh họa hình học kết quả tìm được:

a)\(\left\{ \matrix{2{\rm{x}} + 5y = 2 \hfill \cr {\displaystyle{2 \over 5}}x + y = 1 \hfill \cr} \right.\)

b) \(\left\{ \matrix{0,2{\rm{x}} + 0,1y = 0,3 \hfill \cr 3{\rm{x}} + y = 5 \hfill \cr} \right.\)

c) \(\left\{ \matrix{{\displaystyle{3 \over 2}}x - y = {\displaystyle{1 \over 2}} \hfill \cr 3{\rm{x}} - 2y = 1 \hfill \cr} \right.\) 

Giải các hệ phương trình sau:

a)  \(\left\{ \matrix{x\sqrt 5 - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = 1 \hfill \cr \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + y\sqrt 5 = 1 \hfill \cr} \right.\)

b)  \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x}}{{x + 1}} + \dfrac{y}{{y + 1}} = \sqrt 2 \\\dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{3y}}{{y + 1}} =  - 1\end{array} \right.\)  

Giải hệ phương trình\(\left\{ \matrix{2{\rm{x}} - y = m \hfill \cr 4{\rm{x}} - {m^2}y = 2\sqrt 2 \hfill \cr} \right.\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(m = -\sqrt{2}\)       b) \(m = \sqrt{2}\)        c) \(m = 1\)

Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau \(3,6\) km, khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là \(2\) km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên, nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia \(6\) phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người.

Một vật có khối lượng 124 g và thể tích 15 \(c{m^3}\) là hợp  kim của đồng và kẽm. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng cứ 89 g đồng thì có thể tích là 10cm³ và 7g kẽm có thể tích là 1cm³

Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày. Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi làm việc khác. Tuy chỉ còn một mình độ II làm việc nhưng do cải tiến cách làm, năng suất của đội II tăng gấp đôi nên họ làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi với năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm một mình thì phải làm trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên?

Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15% , đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi mỗi năm, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc?

Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất thu hoạch được 720 tấn thóc nên ta có phương trình:

\(x + y = 720\) (1)

Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15% nghĩa là đơn vị thứ nhất thu hoạch được: \(x + \displaystyle{{15} \over {100}}x = {{115} \over {100}}x\) (tấn) và đơn vị thứ hai thu hoạch được : \(y + \displaystyle{{12} \over {100}}y = {{112} \over {100}}y\) (tấn). 

Cả hai thu hoạch được 819 tấn, nghĩa là: \(\displaystyle{{115} \over {100}}x + {{112} \over {100}}y = 819\, (2)\) 

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 720\\\dfrac{{115}}{{100}}x + \dfrac{{112}}{{100}}y = 819\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 720 - y\\
115x + 112y = 81900
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 720 - y\\
115\left( {720 - y} \right) + 112y = 81900
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 720 - y\\
82800 - 115y + 112y = 81900
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 720 - y\\
3y = 900
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 420\\
y = 300
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(x = 420\) (nhận) và \(y = 300\) (nhận)

Vậy:  Năm ngoái đơn vị thứ I thu hoạch được 420 tấn thóc, đơn vị thứ II thu hoạch được 300 tấn thóc.

Năm nay đơn vị thứ I thu hoạch được: \(\displaystyle{{115} \over {100}}.420 = 483\) tấn thóc, đơn vị thứ II thu hoạch được \(\displaystyle{{112} \over {100}}.300 = 336\) tấn thóc

Bài 1: Tìm k để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất : \(\left\{ \matrix{  kx + y = 1 \hfill \cr   - x + y = 1. \hfill \cr}  \right.\)

Bài 2: Giải hệ phương trình :

a)\(\left\{ \matrix{  2x + 5y =  - 13 \hfill \cr   - 5x + 6y =  - 23 \hfill \cr}  \right.\)                          

b)\(\left\{ \matrix{  x + 2y = 4 \hfill \cr  y - 3x = 7. \hfill \cr}  \right.\)

Bài 3: Tìm m để hai đường thẳng ( d₁) : \(3x + my = 3\) và ( d₂) : \(mx + 3y = 3\).

song song với nhau.

Bài 4: Hai người cùng làm việc trong 15 giờ thì được \({1 \over 6}\) công việc. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 12 giờ; người thứ hai làm trong 20 giờ thì cả hai làm được \({1 \over 5}\) công việc. Hỏi mỗi người làm riêng thì trong bao lâu sẽ làm xong.

Bài 1: Giải hệ phương trình :

a)\(\left\{ \matrix{  2x + 3y = 4 \hfill \cr  x + 2y = 5 \hfill \cr}  \right.\)                        

b) \(\left\{ \matrix{  2x - y =  - 4 \hfill \cr  6x + y = 7. \hfill \cr}  \right.\)

Bài 2: Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất : \(\left\{ \matrix{  ax + y = a \hfill \cr  x + ay = 1. \hfill \cr}  \right.\)

Bài 3: Hai hệ phương trình sau có tương đương với nhau không ?

\(\left\{ \matrix{  2x + y = 1 \hfill \cr  2x + y = 2 \hfill \cr}  \right.\)   và \(\left\{ \matrix{  x - y = 3 \hfill \cr  x - y = 1. \hfill \cr}  \right.\)

Bài 4: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là \(140m\). Ba lần chiều rộng lớn hơn chiều dài là \(10m.\) Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.

Bài 1: Giải hệ phương trình :

a)\(\left\{ \matrix{  x + y =  - \sqrt 3  \hfill \cr  x - \sqrt 3 y = 1 \hfill \cr}  \right.\)                

b) \(\left\{ \matrix{  3x - 2y =  - 13 \hfill \cr  2x + 5y = 4. \hfill \cr}  \right.\)

Bài 2: Tìm \(a, b\) để đường thẳng (d): \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A(2; − 3)\) và \(B(− 1; 4).\)

Bài 3: Tìm m để hệ sau vô nghiệm : \(\left\{ \matrix{  x + my = 1\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr  mx + y = 2m\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr}  \right.\)

Bài 4: Tổng hai số bằng 30. Hai lần số này nhỏ hơn bốn lần số kia là 12. Tìm hai số đó.

Bài 1: Giải hệ phương trình :

a)\(\left\{ \matrix{  \sqrt 2 x - \sqrt 3 y =  - 1 \hfill \cr  \left( {1 + \sqrt 3 } \right)x - \sqrt 2 y = \sqrt 2  \hfill \cr}  \right.\) 

b) \(\left\{ \matrix{  4x - 3y =  - 10 \hfill \cr  {x \over 2} + {{5y} \over 4} = 2. \hfill \cr}  \right.\)

Bài 2: Tìm m để hệ phương trình : \(\left\{ \matrix{  2x - 3 = 0 \hfill \cr  ax + \left( {a - 1} \right)y = {3 \over 2} \hfill \cr}  \right.\) có nghiệm duy nhất.

Bài 3: Hai người cùng làm một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 6 giờ, người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người làm được \({2 \over 3}\) công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì trong bao lâu sẽ xong.

Bài 1: Giải hệ phương trình :

a)\(\left\{ \matrix{  \sqrt 3 x - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)y =  - \sqrt 3  \hfill \cr  \left( {1 + \sqrt 3 } \right)x - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)y = \sqrt 2  - \sqrt 3  \hfill \cr}  \right.\) 

b) \(\left\{ \matrix{  3x - 5y =  - 7 \hfill \cr  2x + 3y = 8. \hfill \cr}  \right.\)

Bài 2: Tìm m, n để hai hệ phương trình sau tương đương :

\(\left\{ \matrix{  x - 3y =  - 1 \hfill \cr  2x + 3y = 7 \hfill \cr}  \right.\)    và \(\left\{ \matrix{  2mx + 5y = 1 \hfill \cr   - 2x + ny = 4. \hfill \cr}  \right.\)

Bài 3: Tìm m để hệ sau có vô số nghiệm : \(\left\{ \matrix{  mx - y = 1 \hfill \cr   - x + y =  - m. \hfill \cr}  \right.\)

Bài 4: Một ô tô đi trên quãng đường AB với vận tốc \(50\;km/h\) rồi tiếp tục đi từ B đến C vận tốc \(45\;km/h\). Biết rằng quãng đường từ A đến C là \(165\;km/h\) và thời gian đi từ A đến B ít hơn thời gian đi từ B và C là \({1 \over 2}\) giờ. Tính thời gian ô tô đi trên hai quãng đường AB và BC.