Ôn tập Chương III - Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

a) Phát biểu định nghĩa nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng

b) Nêu phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Cho ví dụ minh họa.

a) Phát biểu định nghĩa tích phân của hàm số \(f(x)\) trên một đoạn

b) Nêu các tính chất của tích phân. Cho ví dụ minh họa.

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f(x) = (x - 1)(1 - 2x)(1 - 3x)\)

b) \(f(x) = \sin 4x \cos^2 2x\)

c) \(\displaystyle f(x) = {1 \over {1 - {x^2}}}\)

d) \(f(x) = (e^x- 1)^3\)

Tính:

a) \(\int {(2 - x)\sin {\rm{x}}dx} \)

b) \(\displaystyle\int {{{{{(x + 1)}^2}} \over {\sqrt x }}} dx\)

c) \(\displaystyle\int {{{{e^{3x}} + 1} \over {{e^x} + 1}}} dx\)

d) \(\displaystyle\int {{1 \over {{{(\sin x + {\mathop{\rm cosx}\nolimits} )}^2}}}} dx\)

e) \(\displaystyle\int {{1 \over {\sqrt {1 + x}  + \sqrt x }}} dx\)

g) \(\displaystyle\int {{1 \over {(x + 1)(2 - x)}}} dx\)

Tính:

a) \(\displaystyle\int_0^3 {{x \over {\sqrt {1 + x} }}} dx\)

b) \(\displaystyle\int_1^{64} {{{1 + \sqrt x } \over {\root 3 \of x }}} dx\)

c) \(\int_0^2 {{x^2}} {e^{3x}}dx\)

d) \(\int_0^\pi  {\sqrt {1 + \sin 2x} } dx\)

Tính:

a) \(\displaystyle\int_0^{{\pi  \over 2}} {\cos 2xsi{n^2}} xdx\)

b) \(\displaystyle\int_{ - 1}^1 {|{2^x}}  - {2^{ - x}}|dx\)

c) \(\displaystyle\int_1^2 {{{(x + 1)(x + 2)(x + 3)} \over {{x^2}}}} dx\)

d) \(\displaystyle\int_0^2 {{1 \over {{x^2} - 2x - 3}}} dx\)

e) \(\displaystyle\int_0^{{\pi  \over 2}} {{{({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + {\mathop{\rm cosx}\nolimits} )}^2}dx} \)

g) \(\displaystyle\int_0^\pi  {{{(x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}})}^2}} dx\)

Xét hình phẳng D giới hạn bởi \(y = \sqrt {1 - {x^2}} \) và \(y = 2(1-x)\)

a) Tính diện tích hình D

b) Quay hình D xung quanh trục \(Ox\). Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành.

Tính \(\displaystyle \int {{{dx} \over {\sqrt {1 - x} }}} \) , kết quả là:

A. \(\displaystyle {C \over {\sqrt {1 - x} }}\)                    B. \(C\sqrt {1 - x} \)

C. \( - 2\sqrt {1 - x}  + C\)        D. \(\displaystyle {2 \over {\sqrt {1 - x} }} + C\)

Tính \(\int {{2^{\sqrt x }}} {{\ln 2} \over {\sqrt x }}dx\) , kết quả sai là:

A. \({2^{\sqrt x  + 1}} + C\)            B. \(2({2^{\sqrt x }} - 1) + C\)

C. \(2({2^{\sqrt x }} + 1) + C\)   D. \({2^{\sqrt x }} + C\)

Tích phân \(\int_0^\pi  {{{\cos }^2}} x\sin xdx\) bằng:

A. \(-\displaystyle{{ 2} \over 3}\)                             B. \(\displaystyle{2 \over 3}\)                            

C. \(\displaystyle{3 \over 2}\)                               D. \(0\)

Cho hai tích phân \(\int_0^{{\pi  \over 2}} {{{\sin }^2}xdx,} \int_0^{{\pi  \over 2}} {{{\cos }^2}xdx} \) , hãy chỉ ra khẳng định đúng:

A. \(\int_0^{{\pi  \over 2}} {{{\sin }^2}xdx}  > \int_0^{{\pi  \over 2}} {{{\cos }^2}xdx} \)

B. \(\int_0^{{\pi  \over 2}} {{{\sin }^2}xdx}  < \int_0^{{\pi  \over 2}} {{{\cos }^2}xdx} \)

C. \(\int_0^{{\pi  \over 2}} {{{\sin }^2}xdx}  = \int_0^{{\pi  \over 2}} {{{\cos }^2}xdx} \)

D. Không so sánh được

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong

a) \(y =x^3\) và \(y = x^5\) bằng:

A. \(0\)             B. \(-4\)            C. \(\displaystyle{1 \over 6}\)      D. \(2\)

b) \(y = x + \sin x\) và \(y = x\) \( (0 ≤ x ≤ 2π).\)

A. \(-4\)            B. \(4\)             C. \(0\)        D. \(1\)

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng \( y = \sqrt x\) và \(y = x\) quay xung quanh trục \(Ox\). Thể tích của khối tròn xoay tại thành bằng:

A. \(0\)                          B. \(– π\)                          

C. \(π\)                         D. \(\displaystyle{\pi  \over 6}\)