Ôn tập chương III - Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Bài 41

a) \(y = 2x\left( {1 - {x^{ - 3}}} \right);\)          b) \(y = 8x - {2 \over {{x^{{1 \over 4}}}}};\)
c) \(y = {x^{{1 \over 2}}}\sin \left( {{x^{{3 \over 2}}} + 1} \right);\)      d) \(y = {{\sin \left( {2x + 1} \right)} \over {{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}};\)

Bài 42

 a) \(y = {1 \over {{x^2}}}\cos \left( {{1 \over x} - 1} \right)\);         

 b) \(y = {x^3}{\left( {1 + {x^4}} \right)^3}\);

 c) \(y = {{x{e^{2x}}} \over 3}\);                       

 d) \(y = {x^2}{e^x}\).

Bài 43

a) \(y = x{e^{ - x}}\);                    b) \(y = {{\ln x} \over x}\)

Bài 44. Tìm hàm số \(y = f(x)\) nếu biết \(dy = 12x{\left( {3{x^2} - 1} \right)^3}dx\) và \(f(1) = 3\).

Bài 46. Cho biết \(\int\limits_1^9 {f\left( x \right)dx}  =  - 1,\int\limits_7^9 {f\left( x \right)} dx = 5,\int\limits_7^9 {g\left( x \right)} dx = 4.\)Hãy tìm:

a) \(\int\limits_1^9 { - 2f\left( x \right)} dx;\)                 

(b)\,\int\limits_7^9 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} dx;\)

(c)\,\int\limits_7^9 {\left[ {2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]dx;} \)   

(d)\,\int\limits_1^7 {f\left( x \right)} dx;\)

Bài 49. Một chất điểm A xuất phát từ vị trí O, chuyển động thẳng nhanh dần đều; 8 giây sau nó đạt đến vận tốc 6 m/s. từ thời điểm đó nó chuyển động thẳng đều. Một chất điểm B xuất phát từ cùng vị trí O nhưng chậm hơn 12 giây so với A và chuyển động thẳng nhanh dần đều. biết rằng B đuổi kịp A sau 8 giây ( kể từ lúc B xuất phát). Tìm vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A.

Bài 50. Tính các tích phân sau: 

\(a)\,\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{x^2}\sin 2xdx;} \)           

\(b)\,\int\limits_1^2 {x\left( {2{x^2} + 1} \right)} dx;\)

\(c)\,\int\limits_2^3 {\left( {x - 1} \right)} {e^{{x^2} - 2x}}dx.\)

Bài 51.Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị các hàm số \(y = 4 - {x^2},y =  - x + 2;\)
b) Các đường cong có phương trình \(x = 4 - 4{y^2}\) và \(x = 1 - {y^4}\) trong miền \(x\ge0\).

Bài 52. Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi:

a) Parabol \(y = {x^2} - 2x + 2,\) tiếp tuyến của nó tại điểm \(M(3;5)\) và trục tung;
b) Parabol \(y =  - {x^2} + 4x - 3\) và các tiếp tuyến của nó tại các điểm \(A(0;-3)\) và \(B(3;0)\)

Bài 53. Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng \(x=0\) và \(x=2\), biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bơi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ \(\left( {0 \le x \le 2} \right)\) là một nửa hình tròn đường kính \(\sqrt 5 {x^2}\).

Bài 54. Xét hình phẳng giới hạn bởi đường hypebol \(y = {2 \over x}\) và các đường thẳng \(y=1\) , \(y = 4,x = 0.\) Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng đó quanh trục tung.

Bài 56. Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình \(x\left( {y + 1} \right) = 2\) và các đường thẳng \(x = 0,y = 0,y = 3.\)  tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay A quanh trục tung.

Bài 57.Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình \(x - {y^2} = 0\) và các đường thẳng \(y = 2,x = 0\). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A.

a) Quanh trục hoành;                         b) quanh trục tung

Bài 59. Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình \({y^2} = {x^3}\) và các đường thẳng \(y = 0,x = 1.\) Tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay A

a) Quanh trục hoành;                b) Quanh trục tung.