Ôn tập chương IV - Số phức

Bài 37. Tìm phần thực, phần ảo của

\(a)\,{\left( {2 - 3i} \right)^3}\,;\)                               

\(b)\,{{3 + 2i} \over {1 - i}} + {{1 - i} \over {3 - 2i}}\,;\)                 

\(c)\,{\left( {x + iy} \right)^2} - 2\left( {x + iy} \right) + 5\,\,\left( {x,y \in\mathbb R} \right).\)

Với x,y nào thì số phức đó là số thực?

Bài 38. Chứng minh rằng \(\left| z \right| = \left| {\rm{w}} \right| = 1\) thì số \({{z + {\rm{w}}} \over {1 + z{\rm{w}}}}\) là số thực (giả sử \(1 + z{\rm{w}} \ne 0\)).

Bài 39. Giải các phương trình sau trên C:

\(\eqalign{  & a)\,{\left( {z + 3 - i} \right)^2} - 6\left( {z + 3 - i} \right) + 13 = 0;  \cr  & b)\,\left( {{{iz + 3} \over {z - 2i}}} \right)^2 - 3{{iz + 3} \over {z - 2i}} - 4 = 0; \cr} \)

\(c)\,\,{\left( {{z^2} + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 0.\)

Bài 40. Xét các số phức: \({z_1} = \sqrt 6  - i\sqrt 2 ;\,\,{z_2} =  - 2 - 2i;\,\,\,{z_3} = {{{z_1}} \over {{z_2}}}\)

a) Viết \({z_1};\,{z_2};\,{z_3}\) dưới dạng lượng giác;

b) Từ câu a) hãy tính \(\cos {{7\pi } \over {12}}\) và \(\sin {{7\pi } \over {12}}\).

Bài 41. Cho \(z = \left( {\sqrt 6  + \sqrt 2 } \right) + i\left( {\sqrt 6  - \sqrt 2 } \right)\)

a) Viết \({z^2}\) dưới dạng đại số và dưới dạng lượng giác;

b) Từ câu a), hãy suy ra dạng lượng giác của z.

Bài 42

a) Bằng cách biểu diễn hình học các số phức 2 + i và 3 + i, hãy chứng minh rằng nếu \(\tan a = {1 \over 2},\,\tan b = {1 \over 3}\)với \(a,b \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\) thì \(a + b = {\pi  \over 4}\).

b) Bằng cách biển diễn hình học các số phức 2 + i, 5+ i và 8 + i, hãy chứng minh rằng nếu \(\tan a = {1 \over 2},\,\tan b = {1 \over 5},\,\tan c = {1 \over 8}\) với \(a,b,c \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\) thì \(a + b + c = {\pi  \over 4}\).