ÔN TẬP CUỐI NĂM - ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11
Bài Tập và lời giải
Nêu định nghĩa các hàm số lượng giác. Chỉ rõ tập xác định và giá trị của từng hàm số đó.
Cho biết chu kì của mỗi hàm số \(y = sin x, y = cosx, y = tan x, y = cotx\)
Nêu cách giải các phương trình lượng giác cơ bản, cách giải phương trình dạng: \(a\sin x + b \cos x = c\)
Viết công thức tính số hoán vị của tập gồm \(n\) phần tử (\(n > 1\)). Nêu ví dụ.
Viết công thức tính số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử, công thức tính số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử. Cho ví dụ.
Phát biểu định nghĩa xác suất (cổ điển) của biến cố.
Nêu rõ các bước chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học và cho ví dụ.
Phát biểu định nghĩa cấp số cộng và công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên của một cấp số cộng.
Phát biểu định nghĩa cấp số nhân và công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên của một cấp số nhân.
Dãy số \((u_n)\) thỏa mãn điều kiện gì thì được gọi là có giới hạn \(0\) khi \(n\) dần tới dương vô cực.
Viết công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn
Định nghĩa hàm số có giới hạn \(+ ∞\) khi \(x \rightarrow - ∞\)
Nêu các giới hạn đặc biệt của dãy số và của hàm số.
Nêu định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng. Nêu hình ảnh hình học của một hàm số liên tục trên một khoảng.
Phát biểu định nghĩa đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) tại \(x = x_0\)
Viết tất cả các công thức tính đạo hàm đã học.
Giả sử hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại \(x_0\). Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M_0(x_0, f(x_0))\)
Cho hàm số \(y = \cos 2x\)
a) Chứng minh rằng: \(\cos 2(x + k π) = \cos 2x\) với mọi số nguyên \(k\). Từ đó vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y = \cos2x\).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ \(x = {\pi \over 3}\)
c) Tìm tập xác định của hàm số \(z = \sqrt {{{1 - \cos 2x} \over {1 + {{\cos }^2}2x}}} \)
Cho hàm số \(y = {5 \over {6 + 7\sin 2x}}\)
a) Tính \(A = {5 \over {6 + 7\sin 2x}}\) , biết rằng \(\tan α = 0,2\)
b) Tính đạo hàm của hàm đã cho.
c) Xác định các khoảng trên đó \(y’\) không dương.
Giải các phương trình
a) \(2\sin {x \over 2}{\cos ^2}x - 2\sin {x \over 2}{\sin ^2}x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\)
b) \(3cos x + 4sin x = 5\)
c) \(sin x + cos x = 1 + sin x. cosx\)
d) \(\sqrt {1 - \cos x} = \sin x(x \in \left[ {\pi ,3\pi } \right])\)
e) \((cos{x \over 4} - 3\sin x)sinx + (1 + sin{x \over 4} - 3\cos x)cosx\)\( = 0\)
Trong một bệnh viện có \(40\) bác sĩ ngoại khoa. Hỏi có bao nhiêu cách phân công ca mổ, nếu mỗi ca gồm:
a) Một bác sĩ mổ, một bác sĩ phụ
b) Một bác sĩ mổ và \(4\) bác sĩ phụ.
Tìm số hạng không chứa \(a\) trong khai triển nhị thức
Chọn ngẫu nhiên ba học sinh từ một tổ gồm sáu nam và bốn nữ. Tính xác suất sao cho:
a) Cả ba học sinh đều là nam
b) Có ít nhất một nam
Một tiểu đội có \(10\) người được xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc, trong đó có anh \(A\) và anh \(B\). Tính xác suất sao cho:
a) \(A\) và \(B\) đứng liền nhau
b) Trong hai người có một người đứng ở vị trí số 1 và người kia đứng ở vị trí cuối cùng.
Tìm cấp số cộng tăng, biết rằng tổng ba số hạng đầu của nó bằng \(27\) và tổng các bình phương của chúng bằng \(275\).
Cho biết trong một cấp số nhân, hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ hai bằng 12 và nếu thêm 10 vào số hạng thứ nhất, thêm 8 vào số hạng thứ hai, còn giữ nguyên số hạng thứ ba thì ba số mới lập thành một cấp số cộng. Hãy tính tổng của năm số hạng đầu của cấp số nhân đã cho.
Tính các giới hạn sau
a) \(\lim {{(n + 1){{(3 - 2n)}^2}} \over {{n^3} + 1}}\)
b) \(\lim ({1 \over {{n^2} + 1}} + {2 \over {{n^2} + 1}} + {3 \over {{n^2} + 1}} + ... + {{n - 1} \over {{n^2} + 1}})\)
c) \(\lim {{\sqrt {4n^2 + 1} + n} \over {2n + 1}}\)
d) \(\lim \sqrt n (\sqrt {n - 1} - \sqrt n )\)
Cho hai dãy số \((u_n)\), \((v_n)\) với
\({u_n} = {n \over {{n^2} + 1}}\) và \({v_n} = {{n\cos {\pi \over n}} \over {{n^2} + 1}}\)
a) Tính \(\lim u_n\)
b) Chứng minh rằng \(\lim v_n= 0\)
Chứng minh rằng hàm số \(y = \cos x\) không có giới hạn khi \(x \rightarrow + ∞\)
Tính các giới hạn sau
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{6 - 3x} \over {\sqrt {2{x^2} + 1} }}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{x - \sqrt {3x - 2} } \over {{x^2} - 4}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{{x^2} - 3x + 1} \over {x - 2}}\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (x + {x^2} + ... + {x^n} - {n \over {1 - x}});n \in {N^*}\)
e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{2x - 1} \over {x + 3}}\)
f) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x + \sqrt {4{x^2} - 1} } \over {2 - 3x}}\)
g) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } ( - 2{x^3} + {x^2} - 3x + 1)\)
Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm: \(\sin x = x – 1\)
Phương trình sau có nghiệm hay không trong khoảng \((-1, 3)\):
\[x^4– 3x^3+ x – 1 = 0\]
Giải các phương trình
a) \(f’(x) = g(x)\) với \(f(x) = \sin^3 2x\) và \(g(x) = 4\cos2x – 5\sin4x\)
b) \(f’(x) = 0\) với \(f(x) = 20\cos3x + 12\cos5x – 15\cos4x\).
Tính đạo hàm của các hàm số sau
a) \(y = {1 \over {{{\cos }^2}3x}}\)
b) \(y = {{\cos \sqrt {{x^2} + 1} } \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
c) \(y = (2 - {x^2})cosx + 2x.sinx\)
d) \(y = {{\sin x - x.cosx} \over {\cos x + x.\sin x}}\)
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau
a) \(y = {1 \over {x + 1}}\)
b) \(y = {1 \over {x(1 - x)}}\)
c) \(y = sin ax\) (\(a\) là hàm số)
d) \(y = sin^2 x\)
Cho hàm số: \(f(x) = x^3+ bx^2+ cx + d\) (C)
Hãy xác định các số \(a, b, c, d\), biết rằng đồ thị hàm số (C) của hàm số \(y = f(x)\) đi qua các điểm \((-1, -3), (1, -1)\) và \(f'({1 \over 3}) = 0\)
Cho các hàm số: \(f(x) =x^3+ bx^2+ cx + d\) (C)
\( g(x) = x^2– 3x + 1\)
với các số \(b, c, d\) tìm được ở bài 19, hãy:
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ \(x = -1\)
b) Giải phương trình \(f'\left( {\sin x} \right) = 0\)
c) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f''\left( {\sin 5x} \right) + 1}}{{g'\left( {\sin 3x} \right) + 1}}\)
