Vẻ đẹp của con Sông Hương từ ngã ba Tuần đến chân đồi Thiên Mụ trong bài bút kí Ai đã đặt tên cho dòng sông

Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H.

Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF. 

a) Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: (I) và (O); (K) và(O); (I) và (K).

b) Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?

c) Chứng minh đẳng thức \(AE.AB = AF.AC\)

d) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K)

e) Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất.

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài. B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng

a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

b) ME.MO = MF.MO’ 

c) OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC.

d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO’.

Cho hai đường tròn(O; R) và (O’; r) cắt nhau tại A và \(B (R > r)\). Gọi I là trung điểm của OO’. Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A, đường thẳng này cắt cá đường tròn tâm (O; R) và (O’; r) theo thứ tự tại C và D (khác A).

a) Chứng minh rằng AC = AD.

b) Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I. Chứng minh rằng KB vuông góc với AB

Cho nửa đường tròn đường kính \(AB = 2R.\) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ hai tiếp tuyến Ax và By và  một tiếp tuyến tại M cắt hai tiếp tuyến Ax và By tại C và D.

a. Chứng minh: \(AC + BD = CD\) và AC.BD không đổi.

b. Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB.

c. Cho \(AC = {R \over 2}\). Tính MA, MB và bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆BMD.

Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài (O) sao cho \(OA = 2R\). Vẽ tiếp tuyến AB với (O). Gọi BH là đường cao của ∆ABO. BH cắt (O) tại C.

a. Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O)

b. Từ O vẽ đường thẳng vuông góc với OB cắt AC tại K. Chứng minh \(KA = KO\).

c. Đoạn OA cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh KI là tiếp tuyến của (O). Tính IK theo R.

d. AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D. Chứng minh ∆AIC và ∆ACD đồng dạng rồi suy ra tích \(AI.AD\) không đổi.

Bài 1. Cho đường tròn đường kính AB. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại điểm I bất kì trên AB. Nối I với trung điểm M của AD. Chứng minh MI vuông góc với BC.

Bài 2. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O’) có đường kính là CB.

a. Hai đường tròn (O) và (O’) có vị trí tương đối như thế nào ?

b. Kẻ dây DE vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Chứng minh rằng tứ giác ADCE là hình thoi.

c. Gọi K là giao điểm của BD với đường tròn (O’). Chứng minh rằng ba điểm E, C, K thẳng hàng.

d. Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn (O’)

Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A. Một tiếp tuyến chung ngoài BC của (O) và (O’) (\(B ∈ (O), C ∈ (O’)\)).

a. Chứng minh rằng đường tròn đường kính BC tiếp xúc với đường thẳng OO’ và đường tròn đường kính OO’ tiếp xúc với đường thẳng BC.

b. Tính BC theo R và R’

c. Đường tròn (H; r) tiếp xúc với cả hai đường tròn (O), (O’) và tiếp xúc với BC tại M. Tính bán kính r theo R và R’.

Cho đường tròn (O; R), lấy điểm A ở ngoài đường tròn (O) sao cho \(OA = 2R\). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) với B, C là hai tiếp điểm.

a. Chứng minh rằng AO là đường trung trực của đoạn BC. Tính AB theo R.

b. Gọi I là trung điểm của đoạn OB, K là giao điểm của đoạn OA với đường tròn (O). Tính diện tích ∆OIK theo R.

c. Đường thẳng AI cắt cung lớn BC tại M. Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh: \(MP = p – AQ\) (với p là nửa chu vi ∆APQ)

d. Chứng minh rằng diện tích ∆APQ bằng nửa chu vi của ∆APQ nhân với R.

Cho đường tròn (O) đường kính BC. Dây \(AD ⊥ BC\) tại H. Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB và AC. Gọi (I), (K) là các đường tròn ngoài tiếp các tam giác HBE và HCF.

a. Xác định vị trí tương đối của các đường tròn (I) và (O); (K) và (O); (I) và (K).

b. Chứng minh: \(AE.AB = AF.AC.\)

c. Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của đường tròn (I) và (K).

d. Xác định vị trí điểm H để EF có độ dài lớn nhất.

Cho ∆ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn (O) qua A và tiếp xúc với BC tại B. Vẽ đường tròn (O’) qua A và tiếp xúc với BC tại C.

a. Chứng minh rằng (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A.

b. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng : \(\widehat {OIO'} = 90^\circ \) và \(AI ⊥ OO’\).

c. Tính các cạnh của ∆ABC biết bán kính của hai đường tròn là R và R’.

Cho đường tròn (O; 5cm) và (O’; 3cm) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Một đường thẳng qua A hợp với OO’ một góc 30˚ cắt (O) tại B và (O’) tại C

a. Chứng minh : \(\widehat {AOB} = \widehat {AO'C}\) và OB // O’C.

b. Chứng minh tiếp tuyến của (O) tại B và tiếp tuyến của (O’) tại C song song với nhau.

c. Tiếp tuyến của (O’) tại C cắt OO’ tại D. Tính CD và O’D

d. DC cắt BO tại E. Tính \({S_{ABE}}\)

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi S là trung điểm của OA. Vẽ đường tròn tâm S đi qua A.

a. Chứng minh (O) và (S) tiếp xúc tại A.

b. Một đường thẳng đi qua A cắt (S) tại M và cắt (O) tại N (M, N khác A). Chứng minh : SM // ON

c. Chứng minh : OM // BN

d. Gọi I là trung điểm của ON, đường thẳng AI cắt BN tại K. Chứng minh: \(BK = 2NK\).

Bài 1. Cho đường tròn (O) nội tiếp ∆ABC. Gọi M, N, S lần lượt là các tiếp điểm thuộc các cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng :

\(AB + AC – BC = 2AM.\)

Bài 2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Một cát tuyến kẻ qua A cắt (O) tại C và cắt (O’) tại D. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AC và AD và I là trung điểm của HK.

a. Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với CD tại I đi qua một điểm cố định P khi cát tuyến CAD thay đổi.

b. Kẻ đường thẳng vuông góc với PA tại A, đường thẳng này cắt (O) tại E và cắt (O’) tại F. Chứng minh : \(AE = AF.\)

c. Gọi AR, AQ lần lượt là đường kính của (O) và (O’). Chứng minh R, B, Q thẳng hàng.