a) Áp dụng phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, ta có
\(A{B'}:\,\,{x \over a} + {y \over {{b'}}} = 1\,\,;\,\,\,\,{A'}B:\,\,{x \over {{a'}}} + {y \over b} = 1\)
b) A'B và AB' cắt nhau \( \Leftrightarrow \,\,{a \over {{a'}}} \ne {{{b'}} \over b}\,\, \Leftrightarrow \,\,ab - {a'}{b'} \ne 0\) . Tọa độ giao điểm I của A'B và AB' là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{
{b'}x + ay = a{b'} \hfill \cr
bx + {a'}y = {a'}b \hfill \cr} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{
x = {{a{a'}\left( {{b'} - b} \right)} \over {{a'}{b'} - ab}} \hfill \cr
y = {{b{b'}\left( {{a'} - a} \right)} \over {{a'}{b'} - ab}} \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(I\left( {{{a{a'}\left( {{b'} - b} \right)} \over {{a'}{b'} - ab}};\,\,{{b{b'}\left( {{a'} - a} \right)} \over {{a'}{b'} - ab}}} \right)\)
c) Ta có \(C(a\,,\,b)\,;\,\,{C'}({a'}\,,\,{b'})\)
\(\overrightarrow {CI} = \left( { - {{ab\left( {{a'} - a} \right)} \over {{a'}{b'} - ab}}; - {{ab\left( {{b'} - b} \right)} \over {{a'}{b'} - ab}}} \right) = - {{ab} \over {{a'}{b'} - ab}}\overrightarrow {C{C'}} \)
Suy ra C, C', I thẳng hàng.
d) C là trung điểm IC' .
\( \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {CI} + \overrightarrow {C{C'}} = \overrightarrow 0 \,\, \)
\(\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {CI} = - \overrightarrow {C{C'}} \,\, \Leftrightarrow \,\,{{ab} \over {{a'}{b'} - ab}} = 1\,\, \Leftrightarrow \,\,{a'}{b'} = 2ab\)