ÔN TẬP CUỐI NĂM HÌNH HỌC - TOÁN 10 NÂNG CAO

Trên hình 105, ta có tam giác ABC và các hình vuông \(A{A'}{B_1}B,\,\,B{B'}{C_1}C,\,\,C{C'}{A_1}A\) .

Chứng  minh các đăng thức sau

a) \((\overrightarrow {A{A'}}  + \overrightarrow {B{B'}} ).\,\overrightarrow {AC}  = 0\)

b) \((\overrightarrow {A{A'}}  + \overrightarrow {B{B'}}  + \overrightarrow {C{C'}} ).\,\overrightarrow {AC}  = 0\)

c) \(\overrightarrow {A{A'}}  + \overrightarrow {B{B'}}  + \overrightarrow {C{C'}}  = 0\)

d) \(\overrightarrow {A{B_1}}  + \overrightarrow {B{C_1}}  + \overrightarrow {C{A_1}}  = 0\)

Cho tam giác  vuông tại A, AB = c, AC = b . Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho CM = 2BM, N là điểm trên cạnh AB sao cho BN = 2AN (h.106).

a) Biểu thị các vectơ  theo hai vectơ \(\overrightarrow {AM} ,\,\overrightarrow {CN} \) và \(\overrightarrow {AB} ;\,\overrightarrow {AC} \) .

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c sao cho \(AM \bot CN\) .

Cho tam giác ABC với AB = 4; AC = 5, BC = 6 .

a) Tính các góc A, B, C.

b) Tính độ dài các đường trung tuyến và diện tích tam giác.

c) Tính các bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác .

Cho tam giác ABC.

a) Tam giác ABC có tính chất gì nếu \({a^2} = {{{b^3} + {c^3} - {a^3}} \over {b + c - a}}\)?

b) Biết \({2 \over {{h_a}}} = {1 \over {{h_b}}} + {1 \over {{h_c}}}\) , chứng minh rằng \(2\sin A = \sin B + \sin C\) .

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai hình chữ nhật OACB và OA’C’B’ như hình 107. Biết \(A(a\,;\,0)\,,\,{A'}({a'}\,;\,0)\,,\,B(0\,;\,b)\,,\,{B'}(0\,;\,{b'}\,)\,\) (a, a’, b, b; là những số dương, \(a\, \ne {a'}\,,\,b\, \ne \,{b'}\)).

a) Viết phương trình các đường thẳng AB’ và A’B.

b) Tìm liện hệ giữa để hai đường thẳng AB’ và A’B cắt nhau. Khi đó hãy tìm tọa độ giao điểm I của hai đường thẳng đó.

c) Chứng minh rằng ba điểm I, C, C’ thẳng hàng.

d) Với điều kiện nào của a, a’, b, b'; thì  C là trung điểm của IC’?

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(3, 4); B( 6, 0) a) Nhận xét gì về tam giác OAB ? Tính diện tích của tam giác đó. b) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. c) Viết phương trình đường phân giác trong tại đỉnh O của tam giác OAB. d) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(3, 4); B( 6, 0)

a) Nhận xét gì về tam giác OAB ? Tính diện tích của tam giác đó.

b) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.

c) Viết phương trình đường phân giác trong tại đỉnh O của tam giác OAB.

d) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB.

Trong mặt phẳng tọa độ, với mỗi số \(m \ne 0\) , xét hai điểm \({M_1}( - 4\,;\,m);\,{M_2}(4\,;\,{{16} \over m})\)

a) Viết phương  trình đường thẳng M₁M₂.

b) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O tới đường thẳng M₁M₂.

c) Chứng tỏ rằng đường thẳng M₁M₂  luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

d) Lấy các điểm \({A_1}( - 4\,;\,0),\,{A_2}(4\,;\,0)\) . Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường thẳng \({A_1}{M_2},\,{A_2}{M_1}\) .

e) Chứng minh rằng khi m thay đổi, I luôn luôn nằm trên một  elip (E) cố định. Xác định tọa độ tiêu điểm của elip đó.

Cho hypebol (H) có phương trình \({{{x^2}} \over {16}} - {{{y^2}} \over 4} = 1\)

a)  Viết phương trình các đường tiệm cận của  hypebol (H).

b) Tính diện tích hình chữ  nhật cơ sở của hypebol (H).

c) Chứng minh rằng các điểm \(M\left( {5\,;\,{3 \over 2}} \right)\,,\,N(8\,;\,2\sqrt 3 )\) đều thuộc  (H).

d) Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M, N và tìm các giao điểm P, Q của Δ với hai đường tiệm cận của  hypebol (H).

e) Chứng minh rằng các trung điểm của hai đoạn thẳng PQ và MN trùng nhau.

Cho parabol (P) có phương trình y² = 4x.

a) Xác định tọa độ tiêu điểm F  và phương trình đường chuẩn d của (P).

b) Đường thẳng Δ có phương trình \(y = m\,,\,\,(m \ne 0)\) lần lượt cắt d, Oy, (P) tại các điểm K, H, M. Tìm tọa độ của các điểm đó.

c) Gọi I là trung điểm của OH. Viết phương trình đường thẳng IM và chứng tỏ rằng đường thẳng  IM cắt (P) tại một điểm duy nhất.

d) Chứng minh rằng \(MI \bot KF\) . Từ đó suy ra IM là phân giác của góc KMF.