Câu 1.
a) Giả sử \(\left( \alpha \right) \cap C'D' = E\) thì thiết diện của hình hộp khi cắt bởi \(mp\left( \alpha \right)\) là tứ giác DNB’E.
Ta có:
\(\left\{ \matrix{ \left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) = DN \hfill \cr \left( \alpha \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = B'E \hfill \cr \left( {ABCD} \right)\parallel \left( {A'B'C'D'} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow DN\parallel B'E.\)
Tương tự ta có:
\(\left\{ \matrix{
\left( \alpha \right) \cap \left( {AA'B'B} \right) = {NB'} \hfill \cr
\left( \alpha \right) \cap \left( {CC'D'D} \right) = DE \hfill \cr
\left( {AA'B'B} \right)\parallel \left( {CC'D'D} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow NB'\parallel DE.\)
Xét tứ giác DNB’E có: DN // B’E, NB’ // DE.
Vậy DNB’E là hình bình hành.
b) \(mp\left( \alpha \right)\) chia khối hộp thành hai khối đa diện \({H_1}:ADNA'B'ED'\) và \({H_2}:C'B'ECDNB.\)
Gọi O là giao điểm hai đường chéo B’D và NE của hình bình hành DNB’E suy ra O là trung điểm của B’D. Do đó O là tâm hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
Gọi \({D_{(O)}}\) là phép đối xứng qua tâm O ta có:
\({D_{(O)}}\): \(A \to C'\)
\(\eqalign{
& N \to E \cr
& B' \to D \cr
& E \to N \cr
& D' \to B \cr
& A' \to C \cr
& D \to B' \cr} \)
\( \Rightarrow \)\({D_{(O)}}\): \(ADNA'B'ED' \to C'B'ECDNB\) hay \({D_{(O)}}\): \({H_1} \to {H_2}.\)
Mà phép đối xứng tâm O là phép dời hình nên \({V_{{H_1}}} = {V_{{H_2}}}.\)c) Gọi \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = V.\)Ta có: \({V_{AA'BD}} = {V_{A'.ABD}}.\)
\({S_{\Delta ABD}} = {1 \over 2}{S_{ABCD}} \Rightarrow {V_{A'.ABD}} = {1 \over 3}AA'.{S_{\Delta ABD}} = {1 \over 3}.AA'.{1 \over 2}{S_{ABCD}} = {1 \over 6}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {V \over 6}.\)
Mà \({V_{{H_1}}} = {V_{{H_2}}} = {V \over 2}.\)
Suy ra \({{{V_{{H_1}}}} \over {{V_{AA'BD}}}} = {{{V \over 2}} \over {{V \over 6}}} = 3.\)
Câu 2.
Ta có Ox đi qua O(0, 0, 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i = \left( {1,0,0} \right).\)
\( \Rightarrow d\left( {A;Ox} \right) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow i } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow i } \right|}} = {{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { 3} \right)}^2}} } \over {\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \sqrt {10} .\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow d\left( {B;Ox} \right) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow i } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow i } \right|}} = {{\sqrt {{0^2} + {3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} } \over {\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \sqrt {10} . \cr
& \Rightarrow d\left( {A;Ox} \right) = d\left( {B;Ox} \right). \cr} \)
Vậy A và B cách đều trục Ox.
b) Điểm \(C \in Oz\) nên \(C\left( {0,0,c} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 1,3,c + 1} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {2, - 1,c - 3} \right).\)
Tam giác ABC vuông tại C nên
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BC} \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow - 2 - 3 + \left( {c + 1} \right)\left( {c - 3} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow - 5 + {c^2} - 2c - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {c^2} - 2c - 8 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
c = 4 \hfill \cr
c = - 2 \hfill \cr} \right.. \cr} \)
Vậy có 2 điểm C thỏa mãn đề bài là \(C\left( {0,0,4} \right)\) hoặc \(C\left( {0,0, - 2} \right).\)c) Hình chiếu của A trên mp(Oyz) là \(A'\left( {0, - 3, - 1} \right)\) và hình chiếu của B trên mp(Oyz) là \(B'\left( {0,1,3} \right)\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {A'B'} = \left( {0,4,4} \right) = 4\left( {0,1,1} \right).\)
Suy ra hình chiếu d’ của AB trên mp(Oyz) là đường thẳng đi qua A’ và nhận \(\overrightarrow u = \left( {0,1,1} \right)\) và 1 vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của d’ là:
\(\left\{ \matrix{ x = 0 \hfill \cr y = - 3 + t \hfill \cr z = - 1 + t \hfill \cr} \right..\)
d) Gọi I là tâm của mặt cầu. Vì \(I \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow I\left( {a,b,0} \right).\)Khi đó phương trình mặt cầu có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by + d = 0.\)Vì O, A, B thuộc mặt cầu nên tọa độ của O, A, B thỏa mãn phương tình mặt cầu.Từ đó ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{ d = 0 \hfill \cr 1 + 9 + 1 - 2a + 6b + d = 0 \hfill \cr 4 + 1 + 9 + 4a - 2b + d = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ d = 0 \hfill \cr - 2a + 6b = - 11 \hfill \cr 4a - 2b = - 14 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a = {{ - 53} \over {10}} \hfill \cr b = - {{18} \over 5} \hfill \cr d = 0 \hfill \cr} \right.\)
Vậy phương trình mặt cầu thỏa mãn đề bài là:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + {{53} \over 5}x + {{36} \over 5}y = 0 \Leftrightarrow 5{x^2} + 5{y^2} + 5{z^2} + 53x + 36y = 0.\)