Đề số 8 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 12

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (6 điểm)

Câu 1:Cho số phức z = 3 – 2i. Tìm điểm biểu diễn của số phức \({\rm{w}} = z + i.\overline z \)

A. M(5;-5).                      B. M(1;-5).

C. M(1;1).                       D. M(5;1).

Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cos3x là:

A.\( - \dfrac{1}{3}\sin 3x + C.\)        B.\(\dfrac{1}{3}\sin 3x + C.\)

C.\(3\sin 3x + C.\)           D.\( - 3\sin 3x + C.\)

Câu 3: Biết \(\int\limits_0^2 {{e^{3x}}} dx = \dfrac{{{e^a} - 1}}{b}.\) Tìm khẳng địng đúng trong các khẳng định sau?

A. a + b = 10.                  B. a = b.

C. a = 2b.                        D. a < b.

Câu 4: Công thức nguyên hàm nào sau đây không đúng?

A.\(\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}}  = {\mathop{\rm t}\nolimits}  + C.\)

B.\(\int {{a^x}dx}  = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C(0 < a \ne 1).\)

C.\(\int {{x^\alpha }}  = \dfrac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}} + C(\alpha  \ne  - 1).\)

D.\(\int {\dfrac{1}{x}}  = \ln x + C.\)

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 5}}{4}\) và mặt phẳng (P); x – 3y + 2z – 5 = 0. Mệnh đề nào sau đây không đúng?

A. d cắt và không vuông góc với (P).

B.d vuông góc với (P).

C. d song song với (P).  

D. d nằm trong (P).

Câu 6: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(1;4;7) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 3y - 2z – 3 = 0 là:

A.\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 4 + 4t\\z = 7 - 4t\end{array} \right.\)

B.\(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4 + t\\y = 3 + 2t\\z =  - 1 - 2t\end{array} \right.\)

C.\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 4 + 3t\\z = 7 + t\end{array} \right.\)

D.\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 4t\\z =  - 2 + 7t\end{array} \right.\)

Câu 7: Cho A(1;2;3), mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0. Phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) biết (Q) cách điểm A một khoảng bằng \(3\sqrt 3 \) là:

A. x + y + z + 3 = 0 và x + y + z – 3 = 0.

B. x + y + z + 3 = 0 và x + y + z + 15 = 0.

C. x + y + z + 3 = 0 và x + y + z – 15 = 0.

D. x + y + z + 3 = 0 và x + y – z – 15 = 0.

Câu 8: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z.

A. Phần thực là – 4 và phần ảo là 3.

B. Phần thực là 3 và phần ảo là – 4i.

C. Phần thực là 3 và phần ảo là – 4.

D. Phần thực là – 4 và phần ảo là 3i.

Câu 9: Biết \(\int\limits_a^b {f(x)dx = 10} ,F(x)\) là một nguyên hàm của f(x) và F(a) = - 3. Tính F(b).

A. F(b) = 13.                   B. F(b) = 10.

C. F(b) = 16.                   D. F(b) = 7.

Câu 10: Tìm số phức liên hợp của số phức z = i(3i+1).

A.\(\overline z  = 3 - i.\)  B.\(\overline z  =  - 3 - i.\)

C.\(\overline z  =  - 3 + i.\)     D.\(\overline z  = 3 + i.\)

Câu 11: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{4}{{1 + 2x}}\) và F(0) = 2. Tìm F(2).

A. 4ln5 + 2.                     B. 5 (1 + ln2).

C. 2 ln5 + 4.                    D. 2 (1+ln5).

Câu 12: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = {x^2},\) trục hoành và hai đường thẳng x = -1, x = 3 là:

A. \(\dfrac{1}{3}.\)          B.\(\dfrac{{28}}{3}.\)

C.\(\dfrac{8}{3}.\)           D.\(\dfrac{{28}}{9}.\)

Câu 13: Gọi \({z_1}\) và \({z_2}\) lần lượt là nghiệm của phương trình: \({z^2} - 2z + 5 = 0.\) Tính \(P = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|.\)

A.\(2\sqrt 5 .\)                 B. 10.

C. 3.                         D. 6.

Câu 14: Tính mô đun của số phức z thỏa mãn: z(2 – i) + 13i = 1.

A.\(\left| z \right| = \dfrac{{\sqrt {34} }}{3}.\)     B.\(\left| z \right| = \dfrac{{5\sqrt {34} }}{2}.\)

C.\(\left| z \right| = 34.\)  D.\(\left| z \right| = \sqrt {34} .\)

Câu 15: Tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{2dx}}{{3 - 2x}}}  = \ln a.\) Giá trị của a bằng:

A. 3.                                B. 2.

C. 4.                                D.1.

Câu 16: Biết \(\int\limits_0^3 {f(x)dx = 12} .\) Tính \(I = \int\limits_0^1 {f(x)dx} .\)

A. 4.                                B. 6.

C. 36.                              D. 3.

Câu 17: F(x) là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{{3x + 4}}{{{x^2}}},(x \ne 0),\) biết rằng F(1) =  1. F(x) là biểu thức nào sau đây:

A.\(F(x) = 2x + \dfrac{4}{x} - 5.\)

B.\(F(x) = 3\ln \left| x \right| + \dfrac{4}{x} + 5.\)

C.\(F(x) = 3x - \dfrac{4}{x} + 3.\)

D.\(F(x) = 3\ln \left| x \right| - \dfrac{4}{x} + 3.\)

Câu 18: Trong hệ tọa Oxyz, cho hai điểm A(3;-2;-1), B(4;-1;2). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là:

A. \(2x + 2y + 3z + 1 = 0. \)

B. \(4x – 4y – 6z + \dfrac{{15}}{2}= 0.\)

B. \(4x + 4y + 6z – 7 = 0. \)

D. \(x + y – z = 0.\)

Câu 19: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y =  - 3t\\z =  - 3 + 5t\end{array} \right.(t \in \mathbb{R}).\) Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của d?

A.\(\overrightarrow u  = (2;0; - 3).\)                  

B.\(\overrightarrow u  = (2; - 3;5).\)

C.\(\overrightarrow u  = (2;3; - 5).\)                  

D.\(\overrightarrow u  = (2;0;5).\)

Câu 20: Cho đồ thị hàm số y = f(x), diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là:

A.\(S = \int\limits_{ - 3}^4 {f(x)dx.} \)

B.\(S = \int\limits_0^{ - 3} {f(x)dx + \int\limits_0^4 {f(x)dx} .} \)

C.\(S = \int\limits_{ - 3}^1 {f(x)dx + \int\limits_1^4 {f(x)dx} .} \)     

D.\(S = \int\limits_{ - 3}^0 {f(x)dx - \int\limits_0^4 {f(x)dx} .} \)

Câu 21: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(-2;0;0), B(0;3;0) và C(0;0;2). Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng (ABC)?

A.\(\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{{ - 2}} = 1.\)

B.\(\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{{ - 2}} + \dfrac{z}{3} = 1.\)

C.\(\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{{ - 2}} = 1.\)

D.\(\dfrac{x}{{ - 2}} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{2} = 1.\)

Câu 22: Phương trình nào sau đây là chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2;-3) và B(3;-1;1)?

A.\(\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 3}}{1}.\)

B.\(\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 3}}.\)         

C.\(\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{z + 3}}{4}.\)

D.\(\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 3}}{4}.\)

Câu 23: Tìm số phức z biết \(z = \dfrac{{3 + 4i}}{{{i^{2019}}}}.\)

A. z = 4 – 3i.                   B. z = 4 + 3i.

C. z = 3 – 4i.                   D. z = 3 + 4i.

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2z + 3 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?

A.\(\overrightarrow n  = (1; - 2;0).\)                  

B. \(\overrightarrow n  = (1;0; - 2).\)

C. \(\overrightarrow n  = (3; - 2;1).\)                 

D. \(\overrightarrow n  = (1; - 2;3).\)

PHẦN II. TỰ LUẬN (4 điểm)

Câu 1: (1.0 điểm). Tính các tích phân sau:

a) \(I = \int\limits_0^{\sqrt 7 } {x\sqrt[3]{{1 + {x^2}}}} dx;\)

\(b)I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {(3 - 2x)cos2xdx} .\)

Câu 2: (1.0 điểm).

a) Giải phương trình (1 + i)z + (4 – 7i) = 8 – 4i.

b) Tìm số phức z thỏa mãn: \((3 + i)\overline z  + (1 + 2i)z = 3 - 4i.\)

Câu 3: (2.0 điểm).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;1;1) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 4 = 0.

a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P).

b) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P).

c) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng (P).

PHẦN II. TỰ LUẬN (4 điểm)

Câu 1: (1.0 điểm)

Tính các tích phân sau:a) \(I = \int\limits_0^{\sqrt 7 } {x\sqrt[3]{{1 + {x^2}}}} dx;\)\(b)I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {(3 - 2x)cos2xdx} .\)

a) Đặt: \(t = \sqrt[3]{{1 + {x^2}}} \Rightarrow {t^3} = 1 + {x^2}\)

\(\Rightarrow 3{t^2}dt = 2xdx \Rightarrow xdx = \dfrac{3}{2}{t^2}dt\)

Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 1;x = \sqrt 7  \Rightarrow t = 2 \)

\(\Rightarrow I = \int\limits_1^2 {\dfrac{3}{2}} {t^3}dt\)\(\, = \left. {\dfrac{3}{8}} \right|_1^2 = \dfrac{3}{8}(16 - 1) = \dfrac{{45}}{8}.\)

b) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 3 - 2x \Rightarrow du =  - 2dx\\dv = \cos 2x \Rightarrow v = \dfrac{{\sin 2x}}{2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} I = (3 - 2x)\left. {\dfrac{{\sin 2x}}{2}} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\sin 2xdx} \\\;\;\;\;\;\; = \left( {\dfrac{{6 - \pi }}{4}} \right) - \dfrac{1}{2}(0 - 1)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{8 - \pi }}{4} = 2 - \dfrac{\pi }{4}.\end{array}\)

Câu 2: (1.0 điểm)

a) Giải phương trình \((1 + i)z + (4 – 7i) = 8 – 4i.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}(1 + i)z + (4 - 7i) = 8 - 4i\\ \Leftrightarrow (1 + i)z = 4 + 3i\\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{4 + 3i}}{{1 + i}} = \dfrac{{(4 + 3i)(1 - i)}}{{(1 + i)(1 - i)}} \\\;\;\;\;\;\;\;\;= \dfrac{{4 - 4i + 3i - 3{i^2}}}{2} = \dfrac{7}{2} - \dfrac{1}{2}i\end{array}\)

b) Tìm số phức z thỏa mãn: \((3 + i)\overline z  + (1 + 2i)z = 3 - 4i.\)

Gọi \(z = a + bi\) \((a,b \in \mathbb{R},{i^2} =  - 1) \Rightarrow \overline z  = a - bi\)

\(\begin{array}{l}(3 + i)\overline z  + (1 + 2i)z = 3 - 4i\\ \Leftrightarrow (3 + i)(a - bi) + (1 + 2i)(a + bi) = 3 - 4i\\ \Leftrightarrow 4a - b + (3a - 2b)i = 3 - 4i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a - b = 3\\3a - 2b =  - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 5\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(z = 2 + 5i.\)

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;1;1) và mặt phẳng (P): \(2x – y + 2z + 4 = 0.\)

a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P).

Đường thẳng (d) đi qua điểm M(2;1;1), vuông góc với (P) có VTCP: \(\overrightarrow u  = (2; - 1;2)\)

Có PTTS: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 1 - t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.(t \in \mathbb{R})\)

b) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P).

Tọa độ hình chiếu H của M lên mặt phẳng (P) là nghiệm của hệ:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 2z + 4 = 0\\x = 2 + 2t\\y = 1 - t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\x = 0\\y = 2\\z =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(H(0;2;-1)\)

c) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng (P).

Ta có: \(d(M;(P)) = \dfrac{{\left| {4 - 1 + 2 + 4} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = 3\)

Mặt cầu (S) tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có bán kính R = d(M;(P))=2 có phương trình: \({(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 1)^2} = 9\)