a)
Nếu H là hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp thì các mặt bên là những hình bình hành có đường tròn ngoại tiếp nên phải là hình chữ nhật. Vậy H là hình lăng trụ đứng. Ngoài ra vì H có mặt cầu ngoại tiếp nên mặt đáy phải là đa giác có đường tròn ngoại tiếp.
Ngược lại, cho H là hình lăng trụ đứng có các đường tròn (C) và (C’) ngoại tiếp các đa giác đáy. Gọi I và I’ là tâm của hai đường tròn đó thì II’ là trục của cả hai đường tròn. Vì thế nếu gọi O là trung điểm của II’ thì O cách đều tất cả các đỉnh của hình lăng trụ đã cho. Vậy hình lăng trụ ấy có mặt cầu ngoại tiếp.
b) Nếu hình hộp H nội tiếp mặt cầu \(S(O ; R)\) thì các mặt của H phải là những hình chữ nhật, vậy H là hình hộp chữ nhật mà O là giao điểm của các đường chéo và độ dài đường chéo là \(d = 2R\). Gọi x, y, z là ba kích thước của hình hộp chữ nhật đó thì \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {d^2} = 4{R^2}\).
Gọi S là diện tích toàn phần của hình hộp thì ta có: \(S = 2xy + 2yz + 2xz \le \left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} + {z^2}} \right) + \left( {{z^2} + {x^2}} \right) = 8{R^2}\)Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z = {{2R} \over {\sqrt 3 }}\)
Vậy S đạt giá trị lớn nhất là \(8{R^2}\) khi và chỉ khi \(x = y = z = {{2R} \over {\sqrt 3 }}\), khi đó H là hình lập phương.
