a)
Mặt cầu tâm \(O\) tiếp xúc với ba cạnh \(AB, BC, CA\) của tam giác \(ABC\) lần lượt tại các điểm \(I, J, K\) khi và chỉ khi \(OI \bot AB\,\,,\,\,OJ \bot BC\,\,,\,\,OK \bot CA\,\,,\,\,OI = OJ = OK\,\, \in \left( * \right)\)
Gọi \(O’\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên mp \((ABC)\) thì các điều kiện (*) tương đương với \(O'I \bot AB\,\,,\,\,O'J \bot BC\,\,,\,\,O'K \bot CA,\,\,O'I = O'J = O'K\) hay \(O’\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).
Từ đó suy ra tập hợp các điểm \(O\) là trục của đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).
b)
Giả sử mặt cầu \((S)\) nội tiếp với các cạnh \(AB, BC, CD, DA, AC, BD\) lần lượt tại \(P, Q, R, S, T, U\). Ta cần chứng minh: \(AB + CD = AC + BD = AD + BC\)
Theo tính chất của tiếp tuyến ta có:
\(\eqalign{
& AB + CD = AP + PB + CR + RD \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = AT + BU + CT + DU \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {AT + TC} \right) + \left( {BU + UD} \right) = AC + BD \cr} \)
Vậy \(AB + CD = AC + BD\)
Chứng minh tương tự \(AC + BD = AD + BC\)
Vậy \(AB + CD = AC + BD = AD + BC\).
