Hướng dẫn trả lời
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = (6\,;\,3)\,,\,\,\overrightarrow {AC} = (6\,;\, - 3)\,,\,\,\overrightarrow {BC} = (0\,;\, - 6).\) Suy ra
\(\eqalign{
& AB = \sqrt {{6^2} + {3^2}} = \sqrt {45} = 3\sqrt 5 \cr
& AC = \sqrt {{6^2} + {{( - 3)}^2}} = \sqrt {45} = 3\sqrt 5 \cr
& BC = \sqrt {{0^2} + {{( - 6)}^2}} = \sqrt {36} = 6 \cr} \)
Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).
Chu vi tam giác \(ABC\) là \(3\sqrt 5 + 3\sqrt 5 + 6 = 6\sqrt 5 + 6\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) thì \(AM\) là đường cao của ta giác \(ABC\).
Ta có \(M(2\,;\,1)\,,\,\,\overrightarrow {AM} = (6\,;\,0)\,\, \Rightarrow \,\,AM = \sqrt {{6^2} + 0} = 6\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là
\({S_{ABC}} = {1 \over 2}BC.AM = {1 \over 2}.6.6 = 18\)
b) Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) là
\(\left\{ \matrix{ {x_G} = {1 \over 3}({x_A} + {x_B} + {x_C}) = {1 \over 3}( - 4 + 2 + 2) = 0 \hfill \cr {y_G} = {1 \over 3}({y_A} + {y_B} + {y_C}) = {1 \over 3}(1 + 4 - 2) = 1 \hfill \cr} \right.\,\)
Vậy \(G\,(0\,;\,1)\).
Gọi \(H\,({x_H}\,,\,{y_H})\) là trực tâm tam giác \(ABC\). Ta có
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\overrightarrow {AH} .\,\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {BH} .\,\overrightarrow {AC} = 0 \hfill \cr} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{
({x_H} + 4).0 + ({y_H} - 1).( - 6) = 0 \hfill \cr
({x_H} - 2).6 + ({y_H} - 4).( - 3) = 0 \hfill \cr} \right.\,\, \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{
{x_H} = {1 \over 2}\hfill \cr
{y_H} = 1 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \(H\,\left( {{1 \over 2}\,;\,1} \right)\).
Gọi \(I\,({x_I}\,,\,{y_I})\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Ta có
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
A{I^2} = B{I^2} \hfill \cr
A{I^2} = C{I^2} \hfill \cr} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{
{({x_I} + 4)^2} + {({y_I} - 1)^2} = {({x_I} - 2)^2} + {({y_I} - 4)^2} \hfill \cr
{({x_I} + 4)^2} + {({y_I} - 1)^2} = {({x_I} - 2)^2} + {({y_I} + 2)^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{
{x_I}^2 + 8{x_I} + 16 + {y_I}^2 - 2{y_I} + 1 = {x_I}^2 - 4{x_I} + 4 + {y_I}^2 - 8{y_I} + 16 \hfill \cr
{x_I}^2 + 8{x_I} + 16 + {y_I}^2 - 2{y_I} + 1 = {x_I}^2 - 4{x_I} + 4 + {y_I}^2 + 4{y_I} + 4 \hfill \cr} \right. \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{
4{x_I} + 2{y_I} = 1 \hfill \cr
4{x_I} - 2{y_I} = - 3 \hfill \cr} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{
{x_I} = - {1 \over 4} \hfill \cr
{y_I} = 1 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \(I\,( - {1 \over 4}\,;\,1)\).
Khi đó, ta có \(\overrightarrow {IG} = \left( {{1 \over 4}\,;\,0} \right)\,,\,\,\,\overrightarrow {IH} = \left( {{3 \over 4}\,;\,0} \right)\).
Do đó \(\overrightarrow {IG} = {1 \over 3}\overrightarrow {IH} \) ,
Suy ra \(I, G, H\) thẳng hàng.