Bài 3. Hệ thức lượng trong tam giác

Bài 16. Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 5,\,AC = 8,\,\widehat A = {60^0}\). Kết quả nào trong các kết quả sau là độ dài cạnh \(BC\) ?

a) \(\sqrt {129} \);                                            b) \(7\);

c) \(49\);                                                  d) \(\sqrt {69} \).

Bài 17. Hình 59 vẽ một hồ nước nằm ở góc tạo bởi hai con đường. Bốn bạn An, Cường , Trí, Đức dự đoán khoảng cách từ B đến C như sau

An :         \(5 km\)

Cường :   \(6 km\)

Trí :         \(7 km\)

Đức :       \(5,5 km\).

Biết rằng khoảng cách từ \(A\) đến \(B\) là \(3 km\), khoảng cách từ \(A\) đến \(C\) là \(4 km\), góc \(BAC\) là \({120^0}\).

Hỏi dự đoán của bạn nào sát với thực tế nhất ?

Bài 18. Cho tam giác \(ABC\). Chứng minh các khẳng định sau

a) Góc \(A\) nhọn khi và chỉ khi \({a^2} < {b^2} + {c^2}\);

a) Góc \(A\) tù khi và chỉ khi \({a^2} > {b^2} + {c^2}\);

a) Góc \(A\) vuông khi và chỉ khi \({a^2} = {b^2} + {c^2}\).

Bài 21. Chứng minh rằng nếu ba góc của tam giác \(ABC\) thỏa mãn hệ thức \(\sin A = 2\sin B.\cos C\) thì \(ABC\) là tam giác cân.

Bài 22. Hình 60 vẽ một chiếc tàu thủy đang neo đậu ở vị trí \(C\) trên biển và hai người ở các vị trí quan sát \(A\) và \(B\) cách nhau \(500m\). Họ đo được góc \(CAB\) bằng \({87^0}\) và góc \(CBA\) bằng \({62^0}\).

Tính các khoảng cách \(AC\) và \(BC\).

Bài 23. Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác không vuông \(ABC\). Chứng minh rằng bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác \(ABC,\,HBC,\,HCA,\,HAB\) bằng nhau.

Bài 24. Tam giác \(ABC\) có \(a = 7,\,b = 8,\,c = 6\). Tính \({m_a}\).

Bài 25. Tam giác \(ABC\) có \(a = 5,\,b = 4,\,c = 3\). Lấy điểm \(D\) đối xứng với \(B\) qua \(C\). Tính độ dài \(AD\).

Bài 29. Tam giác \(ABC\) có \(b = 6,12\,;\,c = 5,35\,;\,\widehat A = {84^0}\). Tính diện tích tam giác đó.

Bài 30. Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BD\). Chứng minh rằng \(A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} = A{C^2} + B{D^2} + 4M{N^2}\).

Bài 32. Chứng minh rằng diện tích của một tứ giác bằng nửa tích hai đường chéo và sin của góc hợp bởi hai đường chéo đó.

Bài 33. Giải tam giác \(ABC\), biết

a) \(c = 14,\,\widehat A = {60^0},\,\widehat B = {40^0}\);                                

b) \(b = 4,5,\,\widehat A = {30^0},\,\widehat C = {75^0}\);

c) \(c = 35,\,\widehat A = {40^0},\,\widehat C = {120^0}\);                              

d) \(a = 137,5;\;\widehat B = {83^0},\,\widehat C = {57^0}\).

Bài 34. Giải tam giác \(ABC\), biết

a) \(a = 6,3,\,\,b = 6,3,\,\,\widehat C = {54^0}\);                            

b) \(b = 32,\,c = 45,\,\widehat A = {87^0}\);

c) \(a = 7,\,\,b = 23,\,\,\widehat C = {130^0}\).

Bài 35. Giải tam giác \(ABC\), biết

a) \(a = 14,\,\,b = 18,\,\,c = 20\);                                 

b) \(a = 6,\,\,b = 7,3,\,\,c = 4,8\);

c) \(a = 4,\,\,b = 5,\,\,c = 7\)

Bài 37. Từ vị trí \(A\) người  ta quan sát một cây cao (h.61)

Biết \(AH = 4\,m,\,HB = 20\,m,\,\widehat {BAC} = {45^0}\). Tính chiều cao của cây.