a)
Hình nón \((N)\) có đỉnh \(S\) và đường tròn đáy là \((O;r)\). Lấy điểm \(M\) trên \((O;r)\) thì \(\Delta SOM\) vuông tại \(O\).
\(SO\) là trục của đường tròn \((O;r)\) nên \(I\) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình nón khi và chỉ khi \(I\) thuộc \(SO\) và cách đều hai điểm \(S, M\). Vậy \(I\) là giao điểm của \(SO\) với mặt phẳng trung trực của \(SM\). Mặt cầu tâm \(I\) bán kính \(R = IS\) là mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.
b)
Kẻ đường kính \(SS’\) của mặt cầu ngoại tiếp hình nón \((SS’ > h)\)
\(\Delta MSS'\) vuông tại \(M\) có đường cao \(MO = r\).
Ta có:
\(\eqalign{
& M{O^2} = OS.OS' \Rightarrow {r^2} = h\left( {SS' - h} \right) \cr
& \Rightarrow SS' = {{{r^2}} \over h} + h = {{{r^2} + {h^2}} \over h} \cr} \)
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là \(R = {1 \over 2}SS' = {{{r^2} + {h^2}} \over {2h}}\)
c) Nếu hình nón có chiều cao \(h\), bán kính đáy là \(r\) nội tiếp mặt cầu bán kính \(R\) thì theo câu b) ta có hệ thức \({r^2} = h\left( {2R - h} \right)\).
Vậy \(r = \sqrt {h\left( {2R - h} \right)} \)
Độ dài đường sinh \(l = SM = \sqrt {SO.SS'} = \sqrt {2R.h} \)
Diện tích xung quanh của hình nón là \({S_{xq}} = \pi rl = \pi \sqrt {h\left( {2R - h} \right)} .\sqrt {2Rh} = \pi h\sqrt {2R\left( {2R - h} \right)} \)
